| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | ssid 4006 |
. . . 4
⊢ ∪ 𝐵
⊆ ∪ 𝐵 |
| 2 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
⊢ ∪ 𝐴 =
∪ 𝐴 |
| 3 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
⊢ ∪ 𝐵 =
∪ 𝐵 |
| 4 | 2, 3 | isref 23517 |
. . . . 5
⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴Ref𝐵 ↔ (∪ 𝐵 = ∪
𝐴 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑣 ⊆ 𝑢))) |
| 5 | 4 | simprbda 498 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴Ref𝐵) → ∪ 𝐵 = ∪
𝐴) |
| 6 | 1, 5 | sseqtrid 4026 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴Ref𝐵) → ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴) |
| 7 | 4 | simplbda 499 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴Ref𝐵) → ∀𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑣 ⊆ 𝑢) |
| 8 | | sseq2 4010 |
. . . . . 6
⊢ (𝑢 = (𝑓‘𝑣) → (𝑣 ⊆ 𝑢 ↔ 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) |
| 9 | 8 | ac6sg 10528 |
. . . . 5
⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∀𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑣 ⊆ 𝑢 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣)))) |
| 10 | 9 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴Ref𝐵) → (∀𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑣 ⊆ 𝑢 → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣)))) |
| 11 | 7, 10 | mpd 15 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴Ref𝐵) → ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) |
| 12 | 6, 11 | jca 511 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴Ref𝐵) → (∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴
∧ ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣)))) |
| 13 | | simplr 769 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴)
∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) → ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴) |
| 14 | | nfv 1914 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑣(𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴) |
| 15 | | nfv 1914 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
Ⅎ𝑣 𝑓:𝐴⟶𝐵 |
| 16 | | nfra1 3284 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
Ⅎ𝑣∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣) |
| 17 | 15, 16 | nfan 1899 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑣(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣)) |
| 18 | 14, 17 | nfan 1899 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑣((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴)
∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) |
| 19 | | nfv 1914 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑣 𝑥 ∈ ∪ 𝐴 |
| 20 | 18, 19 | nfan 1899 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑣(((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴)
∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) |
| 21 | | simplrl 777 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴)
∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝐴⟶𝐵) |
| 22 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴)
∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → 𝑣 ∈ 𝐴) |
| 23 | 21, 22 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴)
∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑣) ∈ 𝐵) |
| 24 | 23 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵
⊆ ∪ 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑣) ∈ 𝐵) |
| 25 | 24 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵
⊆ ∪ 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → (𝑓‘𝑣) ∈ 𝐵) |
| 26 | | simplrr 778 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴)
∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣)) |
| 27 | 26 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵
⊆ ∪ 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣)) |
| 28 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵
⊆ ∪ 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → 𝑣 ∈ 𝐴) |
| 29 | | rspa 3248 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((∀𝑣 ∈
𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣)) |
| 30 | 27, 28, 29 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵
⊆ ∪ 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣)) |
| 31 | 30 | sselda 3983 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵
⊆ ∪ 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → 𝑥 ∈ (𝑓‘𝑣)) |
| 32 | | eleq2 2830 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑢 = (𝑓‘𝑣) → (𝑥 ∈ 𝑢 ↔ 𝑥 ∈ (𝑓‘𝑣))) |
| 33 | 32 | rspcev 3622 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑓‘𝑣) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑓‘𝑣)) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ 𝑢) |
| 34 | 25, 31, 33 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵
⊆ ∪ 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑣) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ 𝑢) |
| 35 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴)
∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) |
| 36 | | eluni2 4911 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝐴
↔ ∃𝑣 ∈
𝐴 𝑥 ∈ 𝑣) |
| 37 | 35, 36 | sylib 218 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴)
∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) → ∃𝑣 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑣) |
| 38 | 20, 34, 37 | r19.29af 3268 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴)
∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ 𝑢) |
| 39 | | eluni2 4911 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵
↔ ∃𝑢 ∈
𝐵 𝑥 ∈ 𝑢) |
| 40 | 38, 39 | sylibr 234 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴)
∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝐴) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐵) |
| 41 | 13, 40 | eqelssd 4005 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴)
∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) → ∪ 𝐵 = ∪
𝐴) |
| 42 | 26, 22, 29 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴)
∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣)) |
| 43 | 8 | rspcev 3622 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑓‘𝑣) ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣)) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑣 ⊆ 𝑢) |
| 44 | 23, 42, 43 | syl2anc 584 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴)
∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑣 ⊆ 𝑢) |
| 45 | 44 | ex 412 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴)
∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) → (𝑣 ∈ 𝐴 → ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑣 ⊆ 𝑢)) |
| 46 | 18, 45 | ralrimi 3257 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴)
∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) → ∀𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑣 ⊆ 𝑢) |
| 47 | 4 | ad2antrr 726 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴)
∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) → (𝐴Ref𝐵 ↔ (∪ 𝐵 = ∪
𝐴 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 ∃𝑢 ∈ 𝐵 𝑣 ⊆ 𝑢))) |
| 48 | 41, 46, 47 | mpbir2and 713 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴)
∧ (𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))) → 𝐴Ref𝐵) |
| 49 | 48 | ex 412 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴)
→ ((𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣)) → 𝐴Ref𝐵)) |
| 50 | 49 | exlimdv 1933 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴)
→ (∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣)) → 𝐴Ref𝐵)) |
| 51 | 50 | impr 454 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴
∧ ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣)))) → 𝐴Ref𝐵) |
| 52 | 12, 51 | impbida 801 |
1
⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴Ref𝐵 ↔ (∪ 𝐵 ⊆ ∪ 𝐴
∧ ∃𝑓(𝑓:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓‘𝑣))))) |