Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reff 32757
Description: For any cover refinement, there exists a function associating with each set in the refinement a set in the original cover containing it. This is sometimes used as a definition of refinement. Note that this definition uses the axiom of choice through ac6sg 10479. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
reff (𝐴𝑉 → (𝐴Ref𝐵 ↔ ( 𝐵 𝐴 ∧ ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑣   𝐵,𝑓,𝑣   𝑓,𝑉,𝑣

Proof of Theorem reff
Dummy variables 𝑥 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 4003 . . . 4 𝐵 𝐵
2 eqid 2733 . . . . . 6 𝐴 = 𝐴
3 eqid 2733 . . . . . 6 𝐵 = 𝐵
42, 3isref 22995 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (𝐴Ref𝐵 ↔ ( 𝐵 = 𝐴 ∧ ∀𝑣𝐴𝑢𝐵 𝑣𝑢)))
54simprbda 500 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐴Ref𝐵) → 𝐵 = 𝐴)
61, 5sseqtrid 4033 . . 3 ((𝐴𝑉𝐴Ref𝐵) → 𝐵 𝐴)
74simplbda 501 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐴Ref𝐵) → ∀𝑣𝐴𝑢𝐵 𝑣𝑢)
8 sseq2 4007 . . . . . 6 (𝑢 = (𝑓𝑣) → (𝑣𝑢𝑣 ⊆ (𝑓𝑣)))
98ac6sg 10479 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (∀𝑣𝐴𝑢𝐵 𝑣𝑢 → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))))
109adantr 482 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐴Ref𝐵) → (∀𝑣𝐴𝑢𝐵 𝑣𝑢 → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))))
117, 10mpd 15 . . 3 ((𝐴𝑉𝐴Ref𝐵) → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣)))
126, 11jca 513 . 2 ((𝐴𝑉𝐴Ref𝐵) → ( 𝐵 𝐴 ∧ ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))))
13 simplr 768 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) → 𝐵 𝐴)
14 nfv 1918 . . . . . . . . . . 11 𝑣(𝐴𝑉 𝐵 𝐴)
15 nfv 1918 . . . . . . . . . . . 12 𝑣 𝑓:𝐴𝐵
16 nfra1 3282 . . . . . . . . . . . 12 𝑣𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣)
1715, 16nfan 1903 . . . . . . . . . . 11 𝑣(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))
1814, 17nfan 1903 . . . . . . . . . 10 𝑣((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣)))
19 nfv 1918 . . . . . . . . . 10 𝑣 𝑥 𝐴
2018, 19nfan 1903 . . . . . . . . 9 𝑣(((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑥 𝐴)
21 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑣𝐴) → 𝑓:𝐴𝐵)
22 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑣𝐴) → 𝑣𝐴)
2321, 22ffvelcdmd 7083 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑣𝐴) → (𝑓𝑣) ∈ 𝐵)
2423adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑣𝐴) → (𝑓𝑣) ∈ 𝐵)
2524adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑣𝐴) ∧ 𝑥𝑣) → (𝑓𝑣) ∈ 𝐵)
26 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑣𝐴) → ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))
2726adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑣𝐴) → ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))
28 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑣𝐴) → 𝑣𝐴)
29 rspa 3246 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣) ∧ 𝑣𝐴) → 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))
3027, 28, 29syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑣𝐴) → 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))
3130sselda 3981 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑣𝐴) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑥 ∈ (𝑓𝑣))
32 eleq2 2823 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = (𝑓𝑣) → (𝑥𝑢𝑥 ∈ (𝑓𝑣)))
3332rspcev 3612 . . . . . . . . . 10 (((𝑓𝑣) ∈ 𝐵𝑥 ∈ (𝑓𝑣)) → ∃𝑢𝐵 𝑥𝑢)
3425, 31, 33syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑣𝐴) ∧ 𝑥𝑣) → ∃𝑢𝐵 𝑥𝑢)
35 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑥 𝐴) → 𝑥 𝐴)
36 eluni2 4911 . . . . . . . . . 10 (𝑥 𝐴 ↔ ∃𝑣𝐴 𝑥𝑣)
3735, 36sylib 217 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑥 𝐴) → ∃𝑣𝐴 𝑥𝑣)
3820, 34, 37r19.29af 3266 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑥 𝐴) → ∃𝑢𝐵 𝑥𝑢)
39 eluni2 4911 . . . . . . . 8 (𝑥 𝐵 ↔ ∃𝑢𝐵 𝑥𝑢)
4038, 39sylibr 233 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑥 𝐴) → 𝑥 𝐵)
4113, 40eqelssd 4002 . . . . . 6 (((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) → 𝐵 = 𝐴)
4226, 22, 29syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑣𝐴) → 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))
438rspcev 3612 . . . . . . . . 9 (((𝑓𝑣) ∈ 𝐵𝑣 ⊆ (𝑓𝑣)) → ∃𝑢𝐵 𝑣𝑢)
4423, 42, 43syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑣𝐴) → ∃𝑢𝐵 𝑣𝑢)
4544ex 414 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) → (𝑣𝐴 → ∃𝑢𝐵 𝑣𝑢))
4618, 45ralrimi 3255 . . . . . 6 (((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) → ∀𝑣𝐴𝑢𝐵 𝑣𝑢)
474ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) → (𝐴Ref𝐵 ↔ ( 𝐵 = 𝐴 ∧ ∀𝑣𝐴𝑢𝐵 𝑣𝑢)))
4841, 46, 47mpbir2and 712 . . . . 5 (((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) → 𝐴Ref𝐵)
4948ex 414 . . . 4 ((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) → ((𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣)) → 𝐴Ref𝐵))
5049exlimdv 1937 . . 3 ((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) → (∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣)) → 𝐴Ref𝐵))
5150impr 456 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ( 𝐵 𝐴 ∧ ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣)))) → 𝐴Ref𝐵)
5212, 51impbida 800 1 (𝐴𝑉 → (𝐴Ref𝐵 ↔ ( 𝐵 𝐴 ∧ ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wral 3062  wrex 3071  wss 3947   cuni 4907   class class class wbr 5147  wf 6536  cfv 6540  Refcref 22988
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-reg 9583  ax-inf2 9632  ax-ac2 10454
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-om 7851  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-en 8936  df-r1 9755  df-rank 9756  df-card 9930  df-ac 10107  df-ref 22991
This theorem is referenced by:  locfinreflem  32758
  Copyright terms: Public domain W3C validator