Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reff 32460
Description: For any cover refinement, there exists a function associating with each set in the refinement a set in the original cover containing it. This is sometimes used as a definition of refinement. Note that this definition uses the axiom of choice through ac6sg 10431. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
reff (𝐴𝑉 → (𝐴Ref𝐵 ↔ ( 𝐵 𝐴 ∧ ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑣   𝐵,𝑓,𝑣   𝑓,𝑉,𝑣

Proof of Theorem reff
Dummy variables 𝑥 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3971 . . . 4 𝐵 𝐵
2 eqid 2737 . . . . . 6 𝐴 = 𝐴
3 eqid 2737 . . . . . 6 𝐵 = 𝐵
42, 3isref 22876 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (𝐴Ref𝐵 ↔ ( 𝐵 = 𝐴 ∧ ∀𝑣𝐴𝑢𝐵 𝑣𝑢)))
54simprbda 500 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐴Ref𝐵) → 𝐵 = 𝐴)
61, 5sseqtrid 4001 . . 3 ((𝐴𝑉𝐴Ref𝐵) → 𝐵 𝐴)
74simplbda 501 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐴Ref𝐵) → ∀𝑣𝐴𝑢𝐵 𝑣𝑢)
8 sseq2 3975 . . . . . 6 (𝑢 = (𝑓𝑣) → (𝑣𝑢𝑣 ⊆ (𝑓𝑣)))
98ac6sg 10431 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (∀𝑣𝐴𝑢𝐵 𝑣𝑢 → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))))
109adantr 482 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐴Ref𝐵) → (∀𝑣𝐴𝑢𝐵 𝑣𝑢 → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))))
117, 10mpd 15 . . 3 ((𝐴𝑉𝐴Ref𝐵) → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣)))
126, 11jca 513 . 2 ((𝐴𝑉𝐴Ref𝐵) → ( 𝐵 𝐴 ∧ ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))))
13 simplr 768 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) → 𝐵 𝐴)
14 nfv 1918 . . . . . . . . . . 11 𝑣(𝐴𝑉 𝐵 𝐴)
15 nfv 1918 . . . . . . . . . . . 12 𝑣 𝑓:𝐴𝐵
16 nfra1 3270 . . . . . . . . . . . 12 𝑣𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣)
1715, 16nfan 1903 . . . . . . . . . . 11 𝑣(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))
1814, 17nfan 1903 . . . . . . . . . 10 𝑣((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣)))
19 nfv 1918 . . . . . . . . . 10 𝑣 𝑥 𝐴
2018, 19nfan 1903 . . . . . . . . 9 𝑣(((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑥 𝐴)
21 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑣𝐴) → 𝑓:𝐴𝐵)
22 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑣𝐴) → 𝑣𝐴)
2321, 22ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑣𝐴) → (𝑓𝑣) ∈ 𝐵)
2423adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑣𝐴) → (𝑓𝑣) ∈ 𝐵)
2524adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑣𝐴) ∧ 𝑥𝑣) → (𝑓𝑣) ∈ 𝐵)
26 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑣𝐴) → ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))
2726adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑣𝐴) → ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))
28 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑣𝐴) → 𝑣𝐴)
29 rspa 3234 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣) ∧ 𝑣𝐴) → 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))
3027, 28, 29syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑣𝐴) → 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))
3130sselda 3949 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑣𝐴) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑥 ∈ (𝑓𝑣))
32 eleq2 2827 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = (𝑓𝑣) → (𝑥𝑢𝑥 ∈ (𝑓𝑣)))
3332rspcev 3584 . . . . . . . . . 10 (((𝑓𝑣) ∈ 𝐵𝑥 ∈ (𝑓𝑣)) → ∃𝑢𝐵 𝑥𝑢)
3425, 31, 33syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑣𝐴) ∧ 𝑥𝑣) → ∃𝑢𝐵 𝑥𝑢)
35 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑥 𝐴) → 𝑥 𝐴)
36 eluni2 4874 . . . . . . . . . 10 (𝑥 𝐴 ↔ ∃𝑣𝐴 𝑥𝑣)
3735, 36sylib 217 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑥 𝐴) → ∃𝑣𝐴 𝑥𝑣)
3820, 34, 37r19.29af 3254 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑥 𝐴) → ∃𝑢𝐵 𝑥𝑢)
39 eluni2 4874 . . . . . . . 8 (𝑥 𝐵 ↔ ∃𝑢𝐵 𝑥𝑢)
4038, 39sylibr 233 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑥 𝐴) → 𝑥 𝐵)
4113, 40eqelssd 3970 . . . . . 6 (((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) → 𝐵 = 𝐴)
4226, 22, 29syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑣𝐴) → 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))
438rspcev 3584 . . . . . . . . 9 (((𝑓𝑣) ∈ 𝐵𝑣 ⊆ (𝑓𝑣)) → ∃𝑢𝐵 𝑣𝑢)
4423, 42, 43syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑣𝐴) → ∃𝑢𝐵 𝑣𝑢)
4544ex 414 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) → (𝑣𝐴 → ∃𝑢𝐵 𝑣𝑢))
4618, 45ralrimi 3243 . . . . . 6 (((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) → ∀𝑣𝐴𝑢𝐵 𝑣𝑢)
474ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) → (𝐴Ref𝐵 ↔ ( 𝐵 = 𝐴 ∧ ∀𝑣𝐴𝑢𝐵 𝑣𝑢)))
4841, 46, 47mpbir2and 712 . . . . 5 (((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) → 𝐴Ref𝐵)
4948ex 414 . . . 4 ((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) → ((𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣)) → 𝐴Ref𝐵))
5049exlimdv 1937 . . 3 ((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) → (∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣)) → 𝐴Ref𝐵))
5150impr 456 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ( 𝐵 𝐴 ∧ ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣)))) → 𝐴Ref𝐵)
5212, 51impbida 800 1 (𝐴𝑉 → (𝐴Ref𝐵 ↔ ( 𝐵 𝐴 ∧ ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wral 3065  wrex 3074  wss 3915   cuni 4870   class class class wbr 5110  wf 6497  cfv 6501  Refcref 22869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-reg 9535  ax-inf2 9584  ax-ac2 10406
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-en 8891  df-r1 9707  df-rank 9708  df-card 9882  df-ac 10059  df-ref 22872
This theorem is referenced by:  locfinreflem  32461
  Copyright terms: Public domain W3C validator