Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reff 33838
Description: For any cover refinement, there exists a function associating with each set in the refinement a set in the original cover containing it. This is sometimes used as a definition of refinement. Note that this definition uses the axiom of choice through ac6sg 10528. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
reff (𝐴𝑉 → (𝐴Ref𝐵 ↔ ( 𝐵 𝐴 ∧ ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑣   𝐵,𝑓,𝑣   𝑓,𝑉,𝑣

Proof of Theorem reff
Dummy variables 𝑥 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 4006 . . . 4 𝐵 𝐵
2 eqid 2737 . . . . . 6 𝐴 = 𝐴
3 eqid 2737 . . . . . 6 𝐵 = 𝐵
42, 3isref 23517 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (𝐴Ref𝐵 ↔ ( 𝐵 = 𝐴 ∧ ∀𝑣𝐴𝑢𝐵 𝑣𝑢)))
54simprbda 498 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐴Ref𝐵) → 𝐵 = 𝐴)
61, 5sseqtrid 4026 . . 3 ((𝐴𝑉𝐴Ref𝐵) → 𝐵 𝐴)
74simplbda 499 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐴Ref𝐵) → ∀𝑣𝐴𝑢𝐵 𝑣𝑢)
8 sseq2 4010 . . . . . 6 (𝑢 = (𝑓𝑣) → (𝑣𝑢𝑣 ⊆ (𝑓𝑣)))
98ac6sg 10528 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (∀𝑣𝐴𝑢𝐵 𝑣𝑢 → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))))
109adantr 480 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐴Ref𝐵) → (∀𝑣𝐴𝑢𝐵 𝑣𝑢 → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))))
117, 10mpd 15 . . 3 ((𝐴𝑉𝐴Ref𝐵) → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣)))
126, 11jca 511 . 2 ((𝐴𝑉𝐴Ref𝐵) → ( 𝐵 𝐴 ∧ ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))))
13 simplr 769 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) → 𝐵 𝐴)
14 nfv 1914 . . . . . . . . . . 11 𝑣(𝐴𝑉 𝐵 𝐴)
15 nfv 1914 . . . . . . . . . . . 12 𝑣 𝑓:𝐴𝐵
16 nfra1 3284 . . . . . . . . . . . 12 𝑣𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣)
1715, 16nfan 1899 . . . . . . . . . . 11 𝑣(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))
1814, 17nfan 1899 . . . . . . . . . 10 𝑣((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣)))
19 nfv 1914 . . . . . . . . . 10 𝑣 𝑥 𝐴
2018, 19nfan 1899 . . . . . . . . 9 𝑣(((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑥 𝐴)
21 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑣𝐴) → 𝑓:𝐴𝐵)
22 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑣𝐴) → 𝑣𝐴)
2321, 22ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑣𝐴) → (𝑓𝑣) ∈ 𝐵)
2423adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑣𝐴) → (𝑓𝑣) ∈ 𝐵)
2524adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑣𝐴) ∧ 𝑥𝑣) → (𝑓𝑣) ∈ 𝐵)
26 simplrr 778 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑣𝐴) → ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))
2726adantlr 715 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑣𝐴) → ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))
28 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑣𝐴) → 𝑣𝐴)
29 rspa 3248 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣) ∧ 𝑣𝐴) → 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))
3027, 28, 29syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑣𝐴) → 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))
3130sselda 3983 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑣𝐴) ∧ 𝑥𝑣) → 𝑥 ∈ (𝑓𝑣))
32 eleq2 2830 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = (𝑓𝑣) → (𝑥𝑢𝑥 ∈ (𝑓𝑣)))
3332rspcev 3622 . . . . . . . . . 10 (((𝑓𝑣) ∈ 𝐵𝑥 ∈ (𝑓𝑣)) → ∃𝑢𝐵 𝑥𝑢)
3425, 31, 33syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑥 𝐴) ∧ 𝑣𝐴) ∧ 𝑥𝑣) → ∃𝑢𝐵 𝑥𝑢)
35 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑥 𝐴) → 𝑥 𝐴)
36 eluni2 4911 . . . . . . . . . 10 (𝑥 𝐴 ↔ ∃𝑣𝐴 𝑥𝑣)
3735, 36sylib 218 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑥 𝐴) → ∃𝑣𝐴 𝑥𝑣)
3820, 34, 37r19.29af 3268 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑥 𝐴) → ∃𝑢𝐵 𝑥𝑢)
39 eluni2 4911 . . . . . . . 8 (𝑥 𝐵 ↔ ∃𝑢𝐵 𝑥𝑢)
4038, 39sylibr 234 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑥 𝐴) → 𝑥 𝐵)
4113, 40eqelssd 4005 . . . . . 6 (((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) → 𝐵 = 𝐴)
4226, 22, 29syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑣𝐴) → 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))
438rspcev 3622 . . . . . . . . 9 (((𝑓𝑣) ∈ 𝐵𝑣 ⊆ (𝑓𝑣)) → ∃𝑢𝐵 𝑣𝑢)
4423, 42, 43syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) ∧ 𝑣𝐴) → ∃𝑢𝐵 𝑣𝑢)
4544ex 412 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) → (𝑣𝐴 → ∃𝑢𝐵 𝑣𝑢))
4618, 45ralrimi 3257 . . . . . 6 (((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) → ∀𝑣𝐴𝑢𝐵 𝑣𝑢)
474ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) → (𝐴Ref𝐵 ↔ ( 𝐵 = 𝐴 ∧ ∀𝑣𝐴𝑢𝐵 𝑣𝑢)))
4841, 46, 47mpbir2and 713 . . . . 5 (((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) ∧ (𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣))) → 𝐴Ref𝐵)
4948ex 412 . . . 4 ((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) → ((𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣)) → 𝐴Ref𝐵))
5049exlimdv 1933 . . 3 ((𝐴𝑉 𝐵 𝐴) → (∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣)) → 𝐴Ref𝐵))
5150impr 454 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ( 𝐵 𝐴 ∧ ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣)))) → 𝐴Ref𝐵)
5212, 51impbida 801 1 (𝐴𝑉 → (𝐴Ref𝐵 ↔ ( 𝐵 𝐴 ∧ ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑣𝐴 𝑣 ⊆ (𝑓𝑣)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  wss 3951   cuni 4907   class class class wbr 5143  wf 6557  cfv 6561  Refcref 23510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-reg 9632  ax-inf2 9681  ax-ac2 10503
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-en 8986  df-r1 9804  df-rank 9805  df-card 9979  df-ac 10156  df-ref 23513
This theorem is referenced by:  locfinreflem  33839
  Copyright terms: Public domain W3C validator