Theorem enrer 11103

Description: The equivalence relation for signed reals is an equivalence relation. Proposition 9-4.1 of [Gleason] p. 126. (Contributed by NM, 3-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
enrer	⊢ ~R Er (P × P)

Proof of Theorem enrer

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-enr 11095	. 2 ⊢ ~R = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (P × P) ∧ 𝑦 ∈ (P × P)) ∧ ∃𝑧∃𝑤∃𝑣∃𝑢((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑣, 𝑢⟩) ∧ (𝑧 +P 𝑢) = (𝑤 +P 𝑣)))}
2		addcompr 11061	. 2 ⊢ (𝑥 +P 𝑦) = (𝑦 +P 𝑥)
3		addclpr 11058	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → (𝑥 +P 𝑦) ∈ P)
4		addasspr 11062	. 2 ⊢ ((𝑥 +P 𝑦) +P 𝑧) = (𝑥 +P (𝑦 +P 𝑧))
5		addcanpr 11086	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → ((𝑥 +P 𝑦) = (𝑥 +P 𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
6	1, 2, 3, 4, 5	ecopover 8861	1 ⊢ ~R Er (P × P)

Syntax hints:   × cxp 5683   Er wer 8742  Pcnp 10899   +_P cpp 10901   ~_R cer 10904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-ni 10912  df-pli 10913  df-mi 10914  df-lti 10915  df-plpq 10948  df-mpq 10949  df-ltpq 10950  df-enq 10951  df-nq 10952  df-erq 10953  df-plq 10954  df-mq 10955  df-1nq 10956  df-rq 10957  df-ltnq 10958  df-np 11021  df-plp 11023  df-ltp 11025  df-enr 11095

This theorem is referenced by:  nrex1  11104  enreceq  11106  prsrlem1  11112  addsrmo  11113  mulsrmo  11114  ltsrpr  11117  0nsr  11119  wuncn  11210