Theorem enrer 10984

Description: The equivalence relation for signed reals is an equivalence relation. Proposition 9-4.1 of [Gleason] p. 126. (Contributed by NM, 3-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
enrer	⊢ ~R Er (P × P)

Proof of Theorem enrer

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-enr 10976	. 2 ⊢ ~R = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (P × P) ∧ 𝑦 ∈ (P × P)) ∧ ∃𝑧∃𝑤∃𝑣∃𝑢((𝑥 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ 𝑦 = ⟨𝑣, 𝑢⟩) ∧ (𝑧 +P 𝑢) = (𝑤 +P 𝑣)))}
2		addcompr 10942	. 2 ⊢ (𝑥 +P 𝑦) = (𝑦 +P 𝑥)
3		addclpr 10939	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → (𝑥 +P 𝑦) ∈ P)
4		addasspr 10943	. 2 ⊢ ((𝑥 +P 𝑦) +P 𝑧) = (𝑥 +P (𝑦 +P 𝑧))
5		addcanpr 10967	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → ((𝑥 +P 𝑦) = (𝑥 +P 𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
6	1, 2, 3, 4, 5	ecopover 8765	1 ⊢ ~R Er (P × P)

Syntax hints:   × cxp 5623   Er wer 8637  Pcnp 10780   +_P cpp 10782   ~_R cer 10785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-oadd 8406  df-omul 8407  df-er 8640  df-ni 10793  df-pli 10794  df-mi 10795  df-lti 10796  df-plpq 10829  df-mpq 10830  df-ltpq 10831  df-enq 10832  df-nq 10833  df-erq 10834  df-plq 10835  df-mq 10836  df-1nq 10837  df-rq 10838  df-ltnq 10839  df-np 10902  df-plp 10904  df-ltp 10906  df-enr 10976

This theorem is referenced by:  nrex1  10985  enreceq  10987  prsrlem1  10993  addsrmo  10994  mulsrmo  10995  ltsrpr  10998  0nsr  11000  wuncn  11091