Theorem aomclem2 43030

Description: Lemma for dfac11 43037. Successor case 2, a choice function for subsets of (𝑅₁‘dom 𝑧). (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
aomclem2.b	⊢ 𝐵 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ∃𝑐 ∈ (𝑅1‘∪ dom 𝑧)((𝑐 ∈ 𝑏 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑎) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝑅1‘∪ dom 𝑧)(𝑑(𝑧‘∪ dom 𝑧)𝑐 → (𝑑 ∈ 𝑎 ↔ 𝑑 ∈ 𝑏)))}
aomclem2.c	⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V ↦ sup((𝑦‘𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵))
aomclem2.on	⊢ (𝜑 → dom 𝑧 ∈ On)
aomclem2.su	⊢ (𝜑 → dom 𝑧 = suc ∪ dom 𝑧)
aomclem2.we	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑧(𝑧‘𝑎) We (𝑅1‘𝑎))
aomclem2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
aomclem2.za	⊢ (𝜑 → dom 𝑧 ⊆ 𝐴)
aomclem2.y	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝐴)(𝑎 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅})))

Assertion

Ref	Expression
aomclem2	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧)(𝑎 ≠ ∅ → (𝐶‘𝑎) ∈ 𝑎))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝜑,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐵(𝑦,𝑧,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem aomclem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3467	. . . . 5 ⊢ 𝑎 ∈ V
2		aomclem2.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝐴)(𝑎 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅})))
3		aomclem2.on	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → dom 𝑧 ∈ On)
4		aomclem2.a	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
5	3, 4	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (dom 𝑧 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
6		aomclem2.za	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → dom 𝑧 ⊆ 𝐴)
7		r1ord3 9804	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((dom 𝑧 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (dom 𝑧 ⊆ 𝐴 → (𝑅1‘dom 𝑧) ⊆ (𝑅1‘𝐴)))
8	5, 6, 7	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑅1‘dom 𝑧) ⊆ (𝑅1‘𝐴))
9	8	sspwd 4593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ⊆ 𝒫 (𝑅1‘𝐴))
10	9	sseld 3962	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) → 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝐴)))
11		rsp 3233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝐴)(𝑎 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝐴) → (𝑎 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅}))))
12	2, 10, 11	sylsyld 61	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) → (𝑎 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅}))))
13	12	3imp 1110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝑦‘𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅}))
14	13	eldifad 3943	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝑦‘𝑎) ∈ (𝒫 𝑎 ∩ Fin))
15		inss1 4217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝒫 𝑎 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝑎
16	15	sseli 3959	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦‘𝑎) ∈ (𝒫 𝑎 ∩ Fin) → (𝑦‘𝑎) ∈ 𝒫 𝑎)
17	16	elpwid 4589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦‘𝑎) ∈ (𝒫 𝑎 ∩ Fin) → (𝑦‘𝑎) ⊆ 𝑎)
18	14, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝑦‘𝑎) ⊆ 𝑎)
19		aomclem2.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ∃𝑐 ∈ (𝑅1‘∪ dom 𝑧)((𝑐 ∈ 𝑏 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑎) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝑅1‘∪ dom 𝑧)(𝑑(𝑧‘∪ dom 𝑧)𝑐 → (𝑑 ∈ 𝑎 ↔ 𝑑 ∈ 𝑏)))}
20		aomclem2.su	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝑧 = suc ∪ dom 𝑧)
21		aomclem2.we	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑧(𝑧‘𝑎) We (𝑅1‘𝑎))
22	19, 3, 20, 21	aomclem1 43029	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 Or (𝑅1‘dom 𝑧))
23	22	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → 𝐵 Or (𝑅1‘dom 𝑧))
24		inss2 4218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 𝑎 ∩ Fin) ⊆ Fin
25	24, 14	sselid 3961	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝑦‘𝑎) ∈ Fin)
26		eldifsni 4770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦‘𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅}) → (𝑦‘𝑎) ≠ ∅)
27	13, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝑦‘𝑎) ≠ ∅)
28		elpwi 4587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) → 𝑎 ⊆ (𝑅1‘dom 𝑧))
29	28	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → 𝑎 ⊆ (𝑅1‘dom 𝑧))
30	18, 29	sstrd 3974	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝑦‘𝑎) ⊆ (𝑅1‘dom 𝑧))
31		fisupcl 9491	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 Or (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ ((𝑦‘𝑎) ∈ Fin ∧ (𝑦‘𝑎) ≠ ∅ ∧ (𝑦‘𝑎) ⊆ (𝑅1‘dom 𝑧))) → sup((𝑦‘𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵) ∈ (𝑦‘𝑎))
32	23, 25, 27, 30, 31	syl13anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → sup((𝑦‘𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵) ∈ (𝑦‘𝑎))
33	18, 32	sseldd 3964	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → sup((𝑦‘𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵) ∈ 𝑎)
34		aomclem2.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V ↦ sup((𝑦‘𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵))
35	34	fvmpt2 7007	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ V ∧ sup((𝑦‘𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵) ∈ 𝑎) → (𝐶‘𝑎) = sup((𝑦‘𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵))
36	1, 33, 35	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝐶‘𝑎) = sup((𝑦‘𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵))
37	36, 33	eqeltrd 2833	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝐶‘𝑎) ∈ 𝑎)
38	37	3exp 1119	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) → (𝑎 ≠ ∅ → (𝐶‘𝑎) ∈ 𝑎)))
39	38	ralrimiv 3132	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧)(𝑎 ≠ ∅ → (𝐶‘𝑎) ∈ 𝑎))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  ∀wral 3050  ∃wrex 3059  Vcvv 3463   ∖ cdif 3928   ∩ cin 3930   ⊆ wss 3931  ∅c0 4313  𝒫 cpw 4580  {csn 4606  ∪ cuni 4887   class class class wbr 5123  {copab 5185   ↦ cmpt 5205   Or wor 5571   We wwe 5616  dom cdm 5665  Oncon0 6363  suc csuc 6365  ‘cfv 6541  Fincfn 8967  supcsup 9462  𝑅₁cr1 9784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-map 8850  df-en 8968  df-fin 8971  df-sup 9464  df-r1 9786

This theorem is referenced by:  aomclem3  43031