Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aomclem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aomclem2 42099
Description: Lemma for dfac11 42106. Successor case 2, a choice function for subsets of (𝑅1‘dom 𝑧). (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
aomclem2.b 𝐵 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ∃𝑐 ∈ (𝑅1 dom 𝑧)((𝑐𝑏 ∧ ¬ 𝑐𝑎) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝑅1 dom 𝑧)(𝑑(𝑧 dom 𝑧)𝑐 → (𝑑𝑎𝑑𝑏)))}
aomclem2.c 𝐶 = (𝑎 ∈ V ↦ sup((𝑦𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵))
aomclem2.on (𝜑 → dom 𝑧 ∈ On)
aomclem2.su (𝜑 → dom 𝑧 = suc dom 𝑧)
aomclem2.we (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑧(𝑧𝑎) We (𝑅1𝑎))
aomclem2.a (𝜑𝐴 ∈ On)
aomclem2.za (𝜑 → dom 𝑧𝐴)
aomclem2.y (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1𝐴)(𝑎 ≠ ∅ → (𝑦𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅})))
Assertion
Ref Expression
aomclem2 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧)(𝑎 ≠ ∅ → (𝐶𝑎) ∈ 𝑎))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝜑,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐵(𝑦,𝑧,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem aomclem2
StepHypRef Expression
1 vex 3476 . . . . 5 𝑎 ∈ V
2 aomclem2.y . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1𝐴)(𝑎 ≠ ∅ → (𝑦𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅})))
3 aomclem2.on . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom 𝑧 ∈ On)
4 aomclem2.a . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ On)
53, 4jca 510 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (dom 𝑧 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
6 aomclem2.za . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → dom 𝑧𝐴)
7 r1ord3 9779 . . . . . . . . . . . . 13 ((dom 𝑧 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (dom 𝑧𝐴 → (𝑅1‘dom 𝑧) ⊆ (𝑅1𝐴)))
85, 6, 7sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑅1‘dom 𝑧) ⊆ (𝑅1𝐴))
98sspwd 4614 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ⊆ 𝒫 (𝑅1𝐴))
109sseld 3980 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) → 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1𝐴)))
11 rsp 3242 . . . . . . . . . 10 (∀𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1𝐴)(𝑎 ≠ ∅ → (𝑦𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1𝐴) → (𝑎 ≠ ∅ → (𝑦𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅}))))
122, 10, 11sylsyld 61 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) → (𝑎 ≠ ∅ → (𝑦𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅}))))
13123imp 1109 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝑦𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅}))
1413eldifad 3959 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝑦𝑎) ∈ (𝒫 𝑎 ∩ Fin))
15 inss1 4227 . . . . . . . . 9 (𝒫 𝑎 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝑎
1615sseli 3977 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑎) ∈ (𝒫 𝑎 ∩ Fin) → (𝑦𝑎) ∈ 𝒫 𝑎)
1716elpwid 4610 . . . . . . 7 ((𝑦𝑎) ∈ (𝒫 𝑎 ∩ Fin) → (𝑦𝑎) ⊆ 𝑎)
1814, 17syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝑦𝑎) ⊆ 𝑎)
19 aomclem2.b . . . . . . . . 9 𝐵 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ∃𝑐 ∈ (𝑅1 dom 𝑧)((𝑐𝑏 ∧ ¬ 𝑐𝑎) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝑅1 dom 𝑧)(𝑑(𝑧 dom 𝑧)𝑐 → (𝑑𝑎𝑑𝑏)))}
20 aomclem2.su . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝑧 = suc dom 𝑧)
21 aomclem2.we . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑧(𝑧𝑎) We (𝑅1𝑎))
2219, 3, 20, 21aomclem1 42098 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 Or (𝑅1‘dom 𝑧))
23223ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → 𝐵 Or (𝑅1‘dom 𝑧))
24 inss2 4228 . . . . . . . 8 (𝒫 𝑎 ∩ Fin) ⊆ Fin
2524, 14sselid 3979 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝑦𝑎) ∈ Fin)
26 eldifsni 4792 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅}) → (𝑦𝑎) ≠ ∅)
2713, 26syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝑦𝑎) ≠ ∅)
28 elpwi 4608 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) → 𝑎 ⊆ (𝑅1‘dom 𝑧))
29283ad2ant2 1132 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → 𝑎 ⊆ (𝑅1‘dom 𝑧))
3018, 29sstrd 3991 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝑦𝑎) ⊆ (𝑅1‘dom 𝑧))
31 fisupcl 9466 . . . . . . 7 ((𝐵 Or (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ ((𝑦𝑎) ∈ Fin ∧ (𝑦𝑎) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝑎) ⊆ (𝑅1‘dom 𝑧))) → sup((𝑦𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵) ∈ (𝑦𝑎))
3223, 25, 27, 30, 31syl13anc 1370 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → sup((𝑦𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵) ∈ (𝑦𝑎))
3318, 32sseldd 3982 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → sup((𝑦𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵) ∈ 𝑎)
34 aomclem2.c . . . . . 6 𝐶 = (𝑎 ∈ V ↦ sup((𝑦𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵))
3534fvmpt2 7008 . . . . 5 ((𝑎 ∈ V ∧ sup((𝑦𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵) ∈ 𝑎) → (𝐶𝑎) = sup((𝑦𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵))
361, 33, 35sylancr 585 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝐶𝑎) = sup((𝑦𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵))
3736, 33eqeltrd 2831 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝐶𝑎) ∈ 𝑎)
38373exp 1117 . 2 (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) → (𝑎 ≠ ∅ → (𝐶𝑎) ∈ 𝑎)))
3938ralrimiv 3143 1 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧)(𝑎 ≠ ∅ → (𝐶𝑎) ∈ 𝑎))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1085   = wceq 1539  wcel 2104  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3472  cdif 3944  cin 3946  wss 3947  c0 4321  𝒫 cpw 4601  {csn 4627   cuni 4907   class class class wbr 5147  {copab 5209  cmpt 5230   Or wor 5586   We wwe 5629  dom cdm 5675  Oncon0 6363  suc csuc 6365  cfv 6542  Fincfn 8941  supcsup 9437  𝑅1cr1 9759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-map 8824  df-en 8942  df-fin 8945  df-sup 9439  df-r1 9761
This theorem is referenced by:  aomclem3  42100
  Copyright terms: Public domain W3C validator