Theorem aomclem2 43629

Description: Lemma for dfac11 43636. Successor case 2, a choice function for subsets of (𝑅₁‘dom 𝑧). (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
aomclem2.b	⊢ 𝐵 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ∃𝑐 ∈ (𝑅1‘∪ dom 𝑧)((𝑐 ∈ 𝑏 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑎) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝑅1‘∪ dom 𝑧)(𝑑(𝑧‘∪ dom 𝑧)𝑐 → (𝑑 ∈ 𝑎 ↔ 𝑑 ∈ 𝑏)))}
aomclem2.c	⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V ↦ sup((𝑦‘𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵))
aomclem2.on	⊢ (𝜑 → dom 𝑧 ∈ On)
aomclem2.su	⊢ (𝜑 → dom 𝑧 = suc ∪ dom 𝑧)
aomclem2.we	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑧(𝑧‘𝑎) We (𝑅1‘𝑎))
aomclem2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
aomclem2.za	⊢ (𝜑 → dom 𝑧 ⊆ 𝐴)
aomclem2.y	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝐴)(𝑎 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅})))

Assertion

Ref	Expression
aomclem2	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧)(𝑎 ≠ ∅ → (𝐶‘𝑎) ∈ 𝑎))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝜑,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐵(𝑦,𝑧,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem aomclem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3458	. . . . 5 ⊢ 𝑎 ∈ V
2		aomclem2.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝐴)(𝑎 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅})))
3		aomclem2.on	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → dom 𝑧 ∈ On)
4		aomclem2.a	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
5	3, 4	jca 519	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (dom 𝑧 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
6		aomclem2.za	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → dom 𝑧 ⊆ 𝐴)
7		r1ord3 9740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((dom 𝑧 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (dom 𝑧 ⊆ 𝐴 → (𝑅1‘dom 𝑧) ⊆ (𝑅1‘𝐴)))
8	5, 6, 7	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑅1‘dom 𝑧) ⊆ (𝑅1‘𝐴))
9	8	sspwd 4568	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ⊆ 𝒫 (𝑅1‘𝐴))
10	9	sseld 3935	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) → 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝐴)))
11		rsp 3250	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝐴)(𝑎 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝐴) → (𝑎 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅}))))
12	2, 10, 11	sylsyld 61	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) → (𝑎 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅}))))
13	12	3imp 1123	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝑦‘𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅}))
14	13	eldifad 3916	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝑦‘𝑎) ∈ (𝒫 𝑎 ∩ Fin))
15		inss1 4188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝒫 𝑎 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝑎
16	15	sseli 3932	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦‘𝑎) ∈ (𝒫 𝑎 ∩ Fin) → (𝑦‘𝑎) ∈ 𝒫 𝑎)
17	16	elpwid 4564	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦‘𝑎) ∈ (𝒫 𝑎 ∩ Fin) → (𝑦‘𝑎) ⊆ 𝑎)
18	14, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝑦‘𝑎) ⊆ 𝑎)
19		aomclem2.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ∃𝑐 ∈ (𝑅1‘∪ dom 𝑧)((𝑐 ∈ 𝑏 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑎) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝑅1‘∪ dom 𝑧)(𝑑(𝑧‘∪ dom 𝑧)𝑐 → (𝑑 ∈ 𝑎 ↔ 𝑑 ∈ 𝑏)))}
20		aomclem2.su	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝑧 = suc ∪ dom 𝑧)
21		aomclem2.we	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑧(𝑧‘𝑎) We (𝑅1‘𝑎))
22	19, 3, 20, 21	aomclem1 43628	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 Or (𝑅1‘dom 𝑧))
23	22	3ad2ant1 1146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → 𝐵 Or (𝑅1‘dom 𝑧))
24		inss2 4189	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 𝑎 ∩ Fin) ⊆ Fin
25	24, 14	sselid 3934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝑦‘𝑎) ∈ Fin)
26		eldifsni 4750	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦‘𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅}) → (𝑦‘𝑎) ≠ ∅)
27	13, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝑦‘𝑎) ≠ ∅)
28		elpwi 4562	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) → 𝑎 ⊆ (𝑅1‘dom 𝑧))
29	28	3ad2ant2 1147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → 𝑎 ⊆ (𝑅1‘dom 𝑧))
30	18, 29	sstrd 3946	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝑦‘𝑎) ⊆ (𝑅1‘dom 𝑧))
31		fisupcl 9416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 Or (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ ((𝑦‘𝑎) ∈ Fin ∧ (𝑦‘𝑎) ≠ ∅ ∧ (𝑦‘𝑎) ⊆ (𝑅1‘dom 𝑧))) → sup((𝑦‘𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵) ∈ (𝑦‘𝑎))
32	23, 25, 27, 30, 31	syl13anc 1391	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → sup((𝑦‘𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵) ∈ (𝑦‘𝑎))
33	18, 32	sseldd 3937	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → sup((𝑦‘𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵) ∈ 𝑎)
34		aomclem2.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V ↦ sup((𝑦‘𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵))
35	34	fvmpt2 6987	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ V ∧ sup((𝑦‘𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵) ∈ 𝑎) → (𝐶‘𝑎) = sup((𝑦‘𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵))
36	1, 33, 35	sylancr 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝐶‘𝑎) = sup((𝑦‘𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵))
37	36, 33	eqeltrd 2862	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝐶‘𝑎) ∈ 𝑎)
38	37	3exp 1132	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) → (𝑎 ≠ ∅ → (𝐶‘𝑎) ∈ 𝑎)))
39	38	ralrimiv 3153	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧)(𝑎 ≠ ∅ → (𝐶‘𝑎) ∈ 𝑎))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3454   ∖ cdif 3901   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4555  {csn 4582  ∪ cuni 4865   class class class wbr 5100  {copab 5162   ↦ cmpt 5181   Or wor 5554   We wwe 5599  dom cdm 5647  Oncon0 6346  suc csuc 6348  ‘cfv 6521  Fincfn 8927  supcsup 9386  𝑅₁cr1 9720

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-map 8810  df-en 8928  df-fin 8931  df-sup 9388  df-r1 9722

This theorem is referenced by:  aomclem3  43630