Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aomclem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aomclem2 43044
Description: Lemma for dfac11 43051. Successor case 2, a choice function for subsets of (𝑅1‘dom 𝑧). (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
aomclem2.b 𝐵 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ∃𝑐 ∈ (𝑅1 dom 𝑧)((𝑐𝑏 ∧ ¬ 𝑐𝑎) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝑅1 dom 𝑧)(𝑑(𝑧 dom 𝑧)𝑐 → (𝑑𝑎𝑑𝑏)))}
aomclem2.c 𝐶 = (𝑎 ∈ V ↦ sup((𝑦𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵))
aomclem2.on (𝜑 → dom 𝑧 ∈ On)
aomclem2.su (𝜑 → dom 𝑧 = suc dom 𝑧)
aomclem2.we (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑧(𝑧𝑎) We (𝑅1𝑎))
aomclem2.a (𝜑𝐴 ∈ On)
aomclem2.za (𝜑 → dom 𝑧𝐴)
aomclem2.y (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1𝐴)(𝑎 ≠ ∅ → (𝑦𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅})))
Assertion
Ref Expression
aomclem2 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧)(𝑎 ≠ ∅ → (𝐶𝑎) ∈ 𝑎))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝜑,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐵(𝑦,𝑧,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem aomclem2
StepHypRef Expression
1 vex 3482 . . . . 5 𝑎 ∈ V
2 aomclem2.y . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1𝐴)(𝑎 ≠ ∅ → (𝑦𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅})))
3 aomclem2.on . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom 𝑧 ∈ On)
4 aomclem2.a . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ On)
53, 4jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (dom 𝑧 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
6 aomclem2.za . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → dom 𝑧𝐴)
7 r1ord3 9820 . . . . . . . . . . . . 13 ((dom 𝑧 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (dom 𝑧𝐴 → (𝑅1‘dom 𝑧) ⊆ (𝑅1𝐴)))
85, 6, 7sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑅1‘dom 𝑧) ⊆ (𝑅1𝐴))
98sspwd 4618 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ⊆ 𝒫 (𝑅1𝐴))
109sseld 3994 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) → 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1𝐴)))
11 rsp 3245 . . . . . . . . . 10 (∀𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1𝐴)(𝑎 ≠ ∅ → (𝑦𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1𝐴) → (𝑎 ≠ ∅ → (𝑦𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅}))))
122, 10, 11sylsyld 61 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) → (𝑎 ≠ ∅ → (𝑦𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅}))))
13123imp 1110 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝑦𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅}))
1413eldifad 3975 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝑦𝑎) ∈ (𝒫 𝑎 ∩ Fin))
15 inss1 4245 . . . . . . . . 9 (𝒫 𝑎 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝑎
1615sseli 3991 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑎) ∈ (𝒫 𝑎 ∩ Fin) → (𝑦𝑎) ∈ 𝒫 𝑎)
1716elpwid 4614 . . . . . . 7 ((𝑦𝑎) ∈ (𝒫 𝑎 ∩ Fin) → (𝑦𝑎) ⊆ 𝑎)
1814, 17syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝑦𝑎) ⊆ 𝑎)
19 aomclem2.b . . . . . . . . 9 𝐵 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ∃𝑐 ∈ (𝑅1 dom 𝑧)((𝑐𝑏 ∧ ¬ 𝑐𝑎) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝑅1 dom 𝑧)(𝑑(𝑧 dom 𝑧)𝑐 → (𝑑𝑎𝑑𝑏)))}
20 aomclem2.su . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝑧 = suc dom 𝑧)
21 aomclem2.we . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑧(𝑧𝑎) We (𝑅1𝑎))
2219, 3, 20, 21aomclem1 43043 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 Or (𝑅1‘dom 𝑧))
23223ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → 𝐵 Or (𝑅1‘dom 𝑧))
24 inss2 4246 . . . . . . . 8 (𝒫 𝑎 ∩ Fin) ⊆ Fin
2524, 14sselid 3993 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝑦𝑎) ∈ Fin)
26 eldifsni 4795 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅}) → (𝑦𝑎) ≠ ∅)
2713, 26syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝑦𝑎) ≠ ∅)
28 elpwi 4612 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) → 𝑎 ⊆ (𝑅1‘dom 𝑧))
29283ad2ant2 1133 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → 𝑎 ⊆ (𝑅1‘dom 𝑧))
3018, 29sstrd 4006 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝑦𝑎) ⊆ (𝑅1‘dom 𝑧))
31 fisupcl 9507 . . . . . . 7 ((𝐵 Or (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ ((𝑦𝑎) ∈ Fin ∧ (𝑦𝑎) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝑎) ⊆ (𝑅1‘dom 𝑧))) → sup((𝑦𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵) ∈ (𝑦𝑎))
3223, 25, 27, 30, 31syl13anc 1371 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → sup((𝑦𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵) ∈ (𝑦𝑎))
3318, 32sseldd 3996 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → sup((𝑦𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵) ∈ 𝑎)
34 aomclem2.c . . . . . 6 𝐶 = (𝑎 ∈ V ↦ sup((𝑦𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵))
3534fvmpt2 7027 . . . . 5 ((𝑎 ∈ V ∧ sup((𝑦𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵) ∈ 𝑎) → (𝐶𝑎) = sup((𝑦𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵))
361, 33, 35sylancr 587 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝐶𝑎) = sup((𝑦𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵))
3736, 33eqeltrd 2839 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝐶𝑎) ∈ 𝑎)
38373exp 1118 . 2 (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) → (𝑎 ≠ ∅ → (𝐶𝑎) ∈ 𝑎)))
3938ralrimiv 3143 1 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧)(𝑎 ≠ ∅ → (𝐶𝑎) ∈ 𝑎))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3478  cdif 3960  cin 3962  wss 3963  c0 4339  𝒫 cpw 4605  {csn 4631   cuni 4912   class class class wbr 5148  {copab 5210  cmpt 5231   Or wor 5596   We wwe 5640  dom cdm 5689  Oncon0 6386  suc csuc 6388  cfv 6563  Fincfn 8984  supcsup 9478  𝑅1cr1 9800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-map 8867  df-en 8985  df-fin 8988  df-sup 9480  df-r1 9802
This theorem is referenced by:  aomclem3  43045
  Copyright terms: Public domain W3C validator