Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aomclem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aomclem2 42099
Description: Lemma for dfac11 42106. Successor case 2, a choice function for subsets of (𝑅1‘dom 𝑧). (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
aomclem2.b 𝐵 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ∃𝑐 ∈ (𝑅1 dom 𝑧)((𝑐𝑏 ∧ ¬ 𝑐𝑎) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝑅1 dom 𝑧)(𝑑(𝑧 dom 𝑧)𝑐 → (𝑑𝑎𝑑𝑏)))}
aomclem2.c 𝐶 = (𝑎 ∈ V ↦ sup((𝑦𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵))
aomclem2.on (𝜑 → dom 𝑧 ∈ On)
aomclem2.su (𝜑 → dom 𝑧 = suc dom 𝑧)
aomclem2.we (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑧(𝑧𝑎) We (𝑅1𝑎))
aomclem2.a (𝜑𝐴 ∈ On)
aomclem2.za (𝜑 → dom 𝑧𝐴)
aomclem2.y (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1𝐴)(𝑎 ≠ ∅ → (𝑦𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅})))
Assertion
Ref Expression
aomclem2 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧)(𝑎 ≠ ∅ → (𝐶𝑎) ∈ 𝑎))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝜑,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐵(𝑦,𝑧,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem aomclem2
StepHypRef Expression
1 vex 3478 . . . . 5 𝑎 ∈ V
2 aomclem2.y . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1𝐴)(𝑎 ≠ ∅ → (𝑦𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅})))
3 aomclem2.on . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom 𝑧 ∈ On)
4 aomclem2.a . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ On)
53, 4jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (dom 𝑧 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
6 aomclem2.za . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → dom 𝑧𝐴)
7 r1ord3 9779 . . . . . . . . . . . . 13 ((dom 𝑧 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (dom 𝑧𝐴 → (𝑅1‘dom 𝑧) ⊆ (𝑅1𝐴)))
85, 6, 7sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑅1‘dom 𝑧) ⊆ (𝑅1𝐴))
98sspwd 4615 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ⊆ 𝒫 (𝑅1𝐴))
109sseld 3981 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) → 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1𝐴)))
11 rsp 3244 . . . . . . . . . 10 (∀𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1𝐴)(𝑎 ≠ ∅ → (𝑦𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1𝐴) → (𝑎 ≠ ∅ → (𝑦𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅}))))
122, 10, 11sylsyld 61 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) → (𝑎 ≠ ∅ → (𝑦𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅}))))
13123imp 1111 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝑦𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅}))
1413eldifad 3960 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝑦𝑎) ∈ (𝒫 𝑎 ∩ Fin))
15 inss1 4228 . . . . . . . . 9 (𝒫 𝑎 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝑎
1615sseli 3978 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑎) ∈ (𝒫 𝑎 ∩ Fin) → (𝑦𝑎) ∈ 𝒫 𝑎)
1716elpwid 4611 . . . . . . 7 ((𝑦𝑎) ∈ (𝒫 𝑎 ∩ Fin) → (𝑦𝑎) ⊆ 𝑎)
1814, 17syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝑦𝑎) ⊆ 𝑎)
19 aomclem2.b . . . . . . . . 9 𝐵 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ∃𝑐 ∈ (𝑅1 dom 𝑧)((𝑐𝑏 ∧ ¬ 𝑐𝑎) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝑅1 dom 𝑧)(𝑑(𝑧 dom 𝑧)𝑐 → (𝑑𝑎𝑑𝑏)))}
20 aomclem2.su . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝑧 = suc dom 𝑧)
21 aomclem2.we . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑧(𝑧𝑎) We (𝑅1𝑎))
2219, 3, 20, 21aomclem1 42098 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 Or (𝑅1‘dom 𝑧))
23223ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → 𝐵 Or (𝑅1‘dom 𝑧))
24 inss2 4229 . . . . . . . 8 (𝒫 𝑎 ∩ Fin) ⊆ Fin
2524, 14sselid 3980 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝑦𝑎) ∈ Fin)
26 eldifsni 4793 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅}) → (𝑦𝑎) ≠ ∅)
2713, 26syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝑦𝑎) ≠ ∅)
28 elpwi 4609 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) → 𝑎 ⊆ (𝑅1‘dom 𝑧))
29283ad2ant2 1134 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → 𝑎 ⊆ (𝑅1‘dom 𝑧))
3018, 29sstrd 3992 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝑦𝑎) ⊆ (𝑅1‘dom 𝑧))
31 fisupcl 9466 . . . . . . 7 ((𝐵 Or (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ ((𝑦𝑎) ∈ Fin ∧ (𝑦𝑎) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝑎) ⊆ (𝑅1‘dom 𝑧))) → sup((𝑦𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵) ∈ (𝑦𝑎))
3223, 25, 27, 30, 31syl13anc 1372 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → sup((𝑦𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵) ∈ (𝑦𝑎))
3318, 32sseldd 3983 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → sup((𝑦𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵) ∈ 𝑎)
34 aomclem2.c . . . . . 6 𝐶 = (𝑎 ∈ V ↦ sup((𝑦𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵))
3534fvmpt2 7009 . . . . 5 ((𝑎 ∈ V ∧ sup((𝑦𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵) ∈ 𝑎) → (𝐶𝑎) = sup((𝑦𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵))
361, 33, 35sylancr 587 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝐶𝑎) = sup((𝑦𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵))
3736, 33eqeltrd 2833 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝐶𝑎) ∈ 𝑎)
38373exp 1119 . 2 (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) → (𝑎 ≠ ∅ → (𝐶𝑎) ∈ 𝑎)))
3938ralrimiv 3145 1 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧)(𝑎 ≠ ∅ → (𝐶𝑎) ∈ 𝑎))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3474  cdif 3945  cin 3947  wss 3948  c0 4322  𝒫 cpw 4602  {csn 4628   cuni 4908   class class class wbr 5148  {copab 5210  cmpt 5231   Or wor 5587   We wwe 5630  dom cdm 5676  Oncon0 6364  suc csuc 6366  cfv 6543  Fincfn 8941  supcsup 9437  𝑅1cr1 9759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-map 8824  df-en 8942  df-fin 8945  df-sup 9439  df-r1 9761
This theorem is referenced by:  aomclem3  42100
  Copyright terms: Public domain W3C validator