Theorem aomclem2 43067

Description: Lemma for dfac11 43074. Successor case 2, a choice function for subsets of (𝑅₁‘dom 𝑧). (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
aomclem2.b	⊢ 𝐵 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ∃𝑐 ∈ (𝑅1‘∪ dom 𝑧)((𝑐 ∈ 𝑏 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑎) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝑅1‘∪ dom 𝑧)(𝑑(𝑧‘∪ dom 𝑧)𝑐 → (𝑑 ∈ 𝑎 ↔ 𝑑 ∈ 𝑏)))}
aomclem2.c	⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V ↦ sup((𝑦‘𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵))
aomclem2.on	⊢ (𝜑 → dom 𝑧 ∈ On)
aomclem2.su	⊢ (𝜑 → dom 𝑧 = suc ∪ dom 𝑧)
aomclem2.we	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑧(𝑧‘𝑎) We (𝑅1‘𝑎))
aomclem2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
aomclem2.za	⊢ (𝜑 → dom 𝑧 ⊆ 𝐴)
aomclem2.y	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝐴)(𝑎 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅})))

Assertion

Ref	Expression
aomclem2	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧)(𝑎 ≠ ∅ → (𝐶‘𝑎) ∈ 𝑎))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝜑,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐵(𝑦,𝑧,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem aomclem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3484	. . . . 5 ⊢ 𝑎 ∈ V
2		aomclem2.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝐴)(𝑎 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅})))
3		aomclem2.on	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → dom 𝑧 ∈ On)
4		aomclem2.a	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
5	3, 4	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (dom 𝑧 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
6		aomclem2.za	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → dom 𝑧 ⊆ 𝐴)
7		r1ord3 9822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((dom 𝑧 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (dom 𝑧 ⊆ 𝐴 → (𝑅1‘dom 𝑧) ⊆ (𝑅1‘𝐴)))
8	5, 6, 7	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑅1‘dom 𝑧) ⊆ (𝑅1‘𝐴))
9	8	sspwd 4613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ⊆ 𝒫 (𝑅1‘𝐴))
10	9	sseld 3982	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) → 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝐴)))
11		rsp 3247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝐴)(𝑎 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝐴) → (𝑎 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅}))))
12	2, 10, 11	sylsyld 61	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) → (𝑎 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅}))))
13	12	3imp 1111	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝑦‘𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅}))
14	13	eldifad 3963	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝑦‘𝑎) ∈ (𝒫 𝑎 ∩ Fin))
15		inss1 4237	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝒫 𝑎 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝑎
16	15	sseli 3979	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦‘𝑎) ∈ (𝒫 𝑎 ∩ Fin) → (𝑦‘𝑎) ∈ 𝒫 𝑎)
17	16	elpwid 4609	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦‘𝑎) ∈ (𝒫 𝑎 ∩ Fin) → (𝑦‘𝑎) ⊆ 𝑎)
18	14, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝑦‘𝑎) ⊆ 𝑎)
19		aomclem2.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ∃𝑐 ∈ (𝑅1‘∪ dom 𝑧)((𝑐 ∈ 𝑏 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑎) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝑅1‘∪ dom 𝑧)(𝑑(𝑧‘∪ dom 𝑧)𝑐 → (𝑑 ∈ 𝑎 ↔ 𝑑 ∈ 𝑏)))}
20		aomclem2.su	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝑧 = suc ∪ dom 𝑧)
21		aomclem2.we	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑧(𝑧‘𝑎) We (𝑅1‘𝑎))
22	19, 3, 20, 21	aomclem1 43066	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 Or (𝑅1‘dom 𝑧))
23	22	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → 𝐵 Or (𝑅1‘dom 𝑧))
24		inss2 4238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 𝑎 ∩ Fin) ⊆ Fin
25	24, 14	sselid 3981	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝑦‘𝑎) ∈ Fin)
26		eldifsni 4790	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦‘𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅}) → (𝑦‘𝑎) ≠ ∅)
27	13, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝑦‘𝑎) ≠ ∅)
28		elpwi 4607	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) → 𝑎 ⊆ (𝑅1‘dom 𝑧))
29	28	3ad2ant2 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → 𝑎 ⊆ (𝑅1‘dom 𝑧))
30	18, 29	sstrd 3994	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝑦‘𝑎) ⊆ (𝑅1‘dom 𝑧))
31		fisupcl 9509	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 Or (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ ((𝑦‘𝑎) ∈ Fin ∧ (𝑦‘𝑎) ≠ ∅ ∧ (𝑦‘𝑎) ⊆ (𝑅1‘dom 𝑧))) → sup((𝑦‘𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵) ∈ (𝑦‘𝑎))
32	23, 25, 27, 30, 31	syl13anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → sup((𝑦‘𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵) ∈ (𝑦‘𝑎))
33	18, 32	sseldd 3984	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → sup((𝑦‘𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵) ∈ 𝑎)
34		aomclem2.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V ↦ sup((𝑦‘𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵))
35	34	fvmpt2 7027	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ V ∧ sup((𝑦‘𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵) ∈ 𝑎) → (𝐶‘𝑎) = sup((𝑦‘𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵))
36	1, 33, 35	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝐶‘𝑎) = sup((𝑦‘𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵))
37	36, 33	eqeltrd 2841	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝐶‘𝑎) ∈ 𝑎)
38	37	3exp 1120	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) → (𝑎 ≠ ∅ → (𝐶‘𝑎) ∈ 𝑎)))
39	38	ralrimiv 3145	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧)(𝑎 ≠ ∅ → (𝐶‘𝑎) ∈ 𝑎))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  Vcvv 3480   ∖ cdif 3948   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  𝒫 cpw 4600  {csn 4626  ∪ cuni 4907   class class class wbr 5143  {copab 5205   ↦ cmpt 5225   Or wor 5591   We wwe 5636  dom cdm 5685  Oncon0 6384  suc csuc 6386  ‘cfv 6561  Fincfn 8985  supcsup 9480  𝑅₁cr1 9802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-map 8868  df-en 8986  df-fin 8989  df-sup 9482  df-r1 9804

This theorem is referenced by:  aomclem3  43068