Theorem aomclem2 42510

Description: Lemma for dfac11 42517. Successor case 2, a choice function for subsets of (𝑅₁‘dom 𝑧). (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
aomclem2.b	⊢ 𝐵 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ∃𝑐 ∈ (𝑅1‘∪ dom 𝑧)((𝑐 ∈ 𝑏 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑎) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝑅1‘∪ dom 𝑧)(𝑑(𝑧‘∪ dom 𝑧)𝑐 → (𝑑 ∈ 𝑎 ↔ 𝑑 ∈ 𝑏)))}
aomclem2.c	⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V ↦ sup((𝑦‘𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵))
aomclem2.on	⊢ (𝜑 → dom 𝑧 ∈ On)
aomclem2.su	⊢ (𝜑 → dom 𝑧 = suc ∪ dom 𝑧)
aomclem2.we	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑧(𝑧‘𝑎) We (𝑅1‘𝑎))
aomclem2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
aomclem2.za	⊢ (𝜑 → dom 𝑧 ⊆ 𝐴)
aomclem2.y	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝐴)(𝑎 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅})))

Assertion

Ref	Expression
aomclem2	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧)(𝑎 ≠ ∅ → (𝐶‘𝑎) ∈ 𝑎))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝜑,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐵(𝑦,𝑧,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem aomclem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3477	. . . . 5 ⊢ 𝑎 ∈ V
2		aomclem2.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝐴)(𝑎 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅})))
3		aomclem2.on	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → dom 𝑧 ∈ On)
4		aomclem2.a	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
5	3, 4	jca 510	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (dom 𝑧 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
6		aomclem2.za	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → dom 𝑧 ⊆ 𝐴)
7		r1ord3 9813	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((dom 𝑧 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (dom 𝑧 ⊆ 𝐴 → (𝑅1‘dom 𝑧) ⊆ (𝑅1‘𝐴)))
8	5, 6, 7	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑅1‘dom 𝑧) ⊆ (𝑅1‘𝐴))
9	8	sspwd 4619	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ⊆ 𝒫 (𝑅1‘𝐴))
10	9	sseld 3981	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) → 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝐴)))
11		rsp 3242	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝐴)(𝑎 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝐴) → (𝑎 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅}))))
12	2, 10, 11	sylsyld 61	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) → (𝑎 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅}))))
13	12	3imp 1108	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝑦‘𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅}))
14	13	eldifad 3961	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝑦‘𝑎) ∈ (𝒫 𝑎 ∩ Fin))
15		inss1 4231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝒫 𝑎 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝑎
16	15	sseli 3978	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦‘𝑎) ∈ (𝒫 𝑎 ∩ Fin) → (𝑦‘𝑎) ∈ 𝒫 𝑎)
17	16	elpwid 4615	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦‘𝑎) ∈ (𝒫 𝑎 ∩ Fin) → (𝑦‘𝑎) ⊆ 𝑎)
18	14, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝑦‘𝑎) ⊆ 𝑎)
19		aomclem2.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ∃𝑐 ∈ (𝑅1‘∪ dom 𝑧)((𝑐 ∈ 𝑏 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑎) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝑅1‘∪ dom 𝑧)(𝑑(𝑧‘∪ dom 𝑧)𝑐 → (𝑑 ∈ 𝑎 ↔ 𝑑 ∈ 𝑏)))}
20		aomclem2.su	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝑧 = suc ∪ dom 𝑧)
21		aomclem2.we	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑧(𝑧‘𝑎) We (𝑅1‘𝑎))
22	19, 3, 20, 21	aomclem1 42509	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 Or (𝑅1‘dom 𝑧))
23	22	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → 𝐵 Or (𝑅1‘dom 𝑧))
24		inss2 4232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 𝑎 ∩ Fin) ⊆ Fin
25	24, 14	sselid 3980	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝑦‘𝑎) ∈ Fin)
26		eldifsni 4798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦‘𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅}) → (𝑦‘𝑎) ≠ ∅)
27	13, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝑦‘𝑎) ≠ ∅)
28		elpwi 4613	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) → 𝑎 ⊆ (𝑅1‘dom 𝑧))
29	28	3ad2ant2 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → 𝑎 ⊆ (𝑅1‘dom 𝑧))
30	18, 29	sstrd 3992	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝑦‘𝑎) ⊆ (𝑅1‘dom 𝑧))
31		fisupcl 9500	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 Or (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ ((𝑦‘𝑎) ∈ Fin ∧ (𝑦‘𝑎) ≠ ∅ ∧ (𝑦‘𝑎) ⊆ (𝑅1‘dom 𝑧))) → sup((𝑦‘𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵) ∈ (𝑦‘𝑎))
32	23, 25, 27, 30, 31	syl13anc 1369	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → sup((𝑦‘𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵) ∈ (𝑦‘𝑎))
33	18, 32	sseldd 3983	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → sup((𝑦‘𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵) ∈ 𝑎)
34		aomclem2.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V ↦ sup((𝑦‘𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵))
35	34	fvmpt2 7021	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ V ∧ sup((𝑦‘𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵) ∈ 𝑎) → (𝐶‘𝑎) = sup((𝑦‘𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵))
36	1, 33, 35	sylancr 585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝐶‘𝑎) = sup((𝑦‘𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵))
37	36, 33	eqeltrd 2829	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝐶‘𝑎) ∈ 𝑎)
38	37	3exp 1116	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) → (𝑎 ≠ ∅ → (𝐶‘𝑎) ∈ 𝑎)))
39	38	ralrimiv 3142	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧)(𝑎 ≠ ∅ → (𝐶‘𝑎) ∈ 𝑎))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937  ∀wral 3058  ∃wrex 3067  Vcvv 3473   ∖ cdif 3946   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949  ∅c0 4326  𝒫 cpw 4606  {csn 4632  ∪ cuni 4912   class class class wbr 5152  {copab 5214   ↦ cmpt 5235   Or wor 5593   We wwe 5636  dom cdm 5682  Oncon0 6374  suc csuc 6376  ‘cfv 6553  Fincfn 8970  supcsup 9471  𝑅₁cr1 9793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-map 8853  df-en 8971  df-fin 8974  df-sup 9473  df-r1 9795

This theorem is referenced by:  aomclem3  42511