Theorem aomclem2 43412

Description: Lemma for dfac11 43419. Successor case 2, a choice function for subsets of (𝑅₁‘dom 𝑧). (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
aomclem2.b	⊢ 𝐵 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ∃𝑐 ∈ (𝑅1‘∪ dom 𝑧)((𝑐 ∈ 𝑏 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑎) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝑅1‘∪ dom 𝑧)(𝑑(𝑧‘∪ dom 𝑧)𝑐 → (𝑑 ∈ 𝑎 ↔ 𝑑 ∈ 𝑏)))}
aomclem2.c	⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V ↦ sup((𝑦‘𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵))
aomclem2.on	⊢ (𝜑 → dom 𝑧 ∈ On)
aomclem2.su	⊢ (𝜑 → dom 𝑧 = suc ∪ dom 𝑧)
aomclem2.we	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑧(𝑧‘𝑎) We (𝑅1‘𝑎))
aomclem2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
aomclem2.za	⊢ (𝜑 → dom 𝑧 ⊆ 𝐴)
aomclem2.y	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝐴)(𝑎 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅})))

Assertion

Ref	Expression
aomclem2	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧)(𝑎 ≠ ∅ → (𝐶‘𝑎) ∈ 𝑎))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝜑,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐵(𝑦,𝑧,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem aomclem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3446	. . . . 5 ⊢ 𝑎 ∈ V
2		aomclem2.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝐴)(𝑎 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅})))
3		aomclem2.on	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → dom 𝑧 ∈ On)
4		aomclem2.a	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
5	3, 4	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (dom 𝑧 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On))
6		aomclem2.za	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → dom 𝑧 ⊆ 𝐴)
7		r1ord3 9706	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((dom 𝑧 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (dom 𝑧 ⊆ 𝐴 → (𝑅1‘dom 𝑧) ⊆ (𝑅1‘𝐴)))
8	5, 6, 7	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑅1‘dom 𝑧) ⊆ (𝑅1‘𝐴))
9	8	sspwd 4569	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ⊆ 𝒫 (𝑅1‘𝐴))
10	9	sseld 3934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) → 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝐴)))
11		rsp 3226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝐴)(𝑎 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅})) → (𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝐴) → (𝑎 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅}))))
12	2, 10, 11	sylsyld 61	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) → (𝑎 ≠ ∅ → (𝑦‘𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅}))))
13	12	3imp 1111	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝑦‘𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅}))
14	13	eldifad 3915	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝑦‘𝑎) ∈ (𝒫 𝑎 ∩ Fin))
15		inss1 4191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝒫 𝑎 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝑎
16	15	sseli 3931	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦‘𝑎) ∈ (𝒫 𝑎 ∩ Fin) → (𝑦‘𝑎) ∈ 𝒫 𝑎)
17	16	elpwid 4565	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦‘𝑎) ∈ (𝒫 𝑎 ∩ Fin) → (𝑦‘𝑎) ⊆ 𝑎)
18	14, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝑦‘𝑎) ⊆ 𝑎)
19		aomclem2.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ∃𝑐 ∈ (𝑅1‘∪ dom 𝑧)((𝑐 ∈ 𝑏 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝑎) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝑅1‘∪ dom 𝑧)(𝑑(𝑧‘∪ dom 𝑧)𝑐 → (𝑑 ∈ 𝑎 ↔ 𝑑 ∈ 𝑏)))}
20		aomclem2.su	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝑧 = suc ∪ dom 𝑧)
21		aomclem2.we	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑧(𝑧‘𝑎) We (𝑅1‘𝑎))
22	19, 3, 20, 21	aomclem1 43411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 Or (𝑅1‘dom 𝑧))
23	22	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → 𝐵 Or (𝑅1‘dom 𝑧))
24		inss2 4192	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 𝑎 ∩ Fin) ⊆ Fin
25	24, 14	sselid 3933	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝑦‘𝑎) ∈ Fin)
26		eldifsni 4748	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦‘𝑎) ∈ ((𝒫 𝑎 ∩ Fin) ∖ {∅}) → (𝑦‘𝑎) ≠ ∅)
27	13, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝑦‘𝑎) ≠ ∅)
28		elpwi 4563	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) → 𝑎 ⊆ (𝑅1‘dom 𝑧))
29	28	3ad2ant2 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → 𝑎 ⊆ (𝑅1‘dom 𝑧))
30	18, 29	sstrd 3946	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝑦‘𝑎) ⊆ (𝑅1‘dom 𝑧))
31		fisupcl 9385	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 Or (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ ((𝑦‘𝑎) ∈ Fin ∧ (𝑦‘𝑎) ≠ ∅ ∧ (𝑦‘𝑎) ⊆ (𝑅1‘dom 𝑧))) → sup((𝑦‘𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵) ∈ (𝑦‘𝑎))
32	23, 25, 27, 30, 31	syl13anc 1375	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → sup((𝑦‘𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵) ∈ (𝑦‘𝑎))
33	18, 32	sseldd 3936	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → sup((𝑦‘𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵) ∈ 𝑎)
34		aomclem2.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V ↦ sup((𝑦‘𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵))
35	34	fvmpt2 6961	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ V ∧ sup((𝑦‘𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵) ∈ 𝑎) → (𝐶‘𝑎) = sup((𝑦‘𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵))
36	1, 33, 35	sylancr 588	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝐶‘𝑎) = sup((𝑦‘𝑎), (𝑅1‘dom 𝑧), 𝐵))
37	36, 33	eqeltrd 2837	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) ∧ 𝑎 ≠ ∅) → (𝐶‘𝑎) ∈ 𝑎)
38	37	3exp 1120	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧) → (𝑎 ≠ ∅ → (𝐶‘𝑎) ∈ 𝑎)))
39	38	ralrimiv 3129	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝒫 (𝑅1‘dom 𝑧)(𝑎 ≠ ∅ → (𝐶‘𝑎) ∈ 𝑎))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3442   ∖ cdif 3900   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4556  {csn 4582  ∪ cuni 4865   class class class wbr 5100  {copab 5162   ↦ cmpt 5181   Or wor 5539   We wwe 5584  dom cdm 5632  Oncon0 6325  suc csuc 6327  ‘cfv 6500  Fincfn 8895  supcsup 9355  𝑅₁cr1 9686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-map 8777  df-en 8896  df-fin 8899  df-sup 9357  df-r1 9688

This theorem is referenced by:  aomclem3  43413