Theorem axaddrcl 11240

Description: Closure law for addition in the real subfield of complex numbers. Axiom 5 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-addrcl 11264 be used later. Instead, in most cases use readdcl 11286. (Contributed by NM, 31-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axaddrcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem axaddrcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 11219	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
2		elreal 11219	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ ↔ ∃𝑦 ∈ R ⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐵)
3		oveq1 7427	. . 3 ⊢ (⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 → (⟨𝑥, 0R⟩ + ⟨𝑦, 0R⟩) = (𝐴 + ⟨𝑦, 0R⟩))
4	3	eleq1d 2845	. 2 ⊢ (⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴 → ((⟨𝑥, 0R⟩ + ⟨𝑦, 0R⟩) ∈ ℝ ↔ (𝐴 + ⟨𝑦, 0R⟩) ∈ ℝ))
5		oveq2 7428	. . 3 ⊢ (⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐵 → (𝐴 + ⟨𝑦, 0R⟩) = (𝐴 + 𝐵))
6	5	eleq1d 2845	. 2 ⊢ (⟨𝑦, 0R⟩ = 𝐵 → ((𝐴 + ⟨𝑦, 0R⟩) ∈ ℝ ↔ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ))
7		addresr 11226	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) → (⟨𝑥, 0R⟩ + ⟨𝑦, 0R⟩) = ⟨(𝑥 +R 𝑦), 0R⟩)
8		addclsr 11171	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) → (𝑥 +R 𝑦) ∈ R)
9		opelreal 11218	. . . 4 ⊢ (⟨(𝑥 +R 𝑦), 0R⟩ ∈ ℝ ↔ (𝑥 +R 𝑦) ∈ R)
10	8, 9	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) → ⟨(𝑥 +R 𝑦), 0R⟩ ∈ ℝ)
11	7, 10	eqeltrd 2860	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) → (⟨𝑥, 0R⟩ + ⟨𝑦, 0R⟩) ∈ ℝ)
12	1, 2, 4, 6, 11	2gencl 3492	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ⟨cop 4834  (class class class)co 7420  Rcnr 10953  0_Rc0r 10954   +_R cplr 10957  ℝcr 11202   + caddc 11206

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-oadd 8483  df-omul 8484  df-er 8720  df-ec 8722  df-qs 8726  df-ni 10960  df-pli 10961  df-mi 10962  df-lti 10963  df-plpq 10996  df-mpq 10997  df-ltpq 10998  df-enq 10999  df-nq 11000  df-erq 11001  df-plq 11002  df-mq 11003  df-1nq 11004  df-rq 11005  df-ltnq 11006  df-np 11069  df-1p 11070  df-plp 11071  df-ltp 11073  df-enr 11143  df-nr 11144  df-plr 11145  df-0r 11148  df-c 11209  df-r 11213  df-add 11214

This theorem is used by: (None)