Theorem elreal 11086

Description: Membership in class of real numbers. (Contributed by NM, 31-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
elreal	⊢ (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem elreal

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-r 11080	. . 3 ⊢ ℝ = (R × {0R})
2	1	eleq2i 2853	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ (R × {0R}))
3		elxp2 5669	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (R × {0R}) ↔ ∃𝑥 ∈ R ∃𝑦 ∈ {0R}𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
4		0r 11035	. . . . . . 7 ⊢ 0R ∈ R
5	4	elexi 3475	. . . . . 6 ⊢ 0R ∈ V
6		opeq2 4831	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0R → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 0R⟩)
7	6	eqeq2d 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0R → (𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝐴 = ⟨𝑥, 0R⟩))
8	5, 7	rexsn 4640	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ {0R}𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝐴 = ⟨𝑥, 0R⟩)
9		eqcom 2768	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ⟨𝑥, 0R⟩ ↔ ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
10	8, 9	bitri 277	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ {0R}𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
11	10	rexbii 3108	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ R ∃𝑦 ∈ {0R}𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
12	3, 11	bitri 277	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (R × {0R}) ↔ ∃𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
13	2, 12	bitri 277	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 208   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∃wrex 3085  {csn 4581  ⟨cop 4587   × cxp 5643  Rcnr 10820  0_Rc0r 10821  ℝcr 11069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-inf2 9593

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-oadd 8436  df-omul 8437  df-er 8673  df-ec 8675  df-qs 8679  df-ni 10827  df-pli 10828  df-mi 10829  df-lti 10830  df-plpq 10863  df-mpq 10864  df-ltpq 10865  df-enq 10866  df-nq 10867  df-erq 10868  df-plq 10869  df-mq 10870  df-1nq 10871  df-rq 10872  df-ltnq 10873  df-np 10936  df-1p 10937  df-enr 11010  df-nr 11011  df-0r 11015  df-r 11080

This theorem is referenced by:  axaddrcl  11107  axmulrcl  11109  axrrecex  11118  axpre-lttri  11120  axpre-lttrn  11121  axpre-ltadd  11122  axpre-mulgt0  11123