Theorem elreal 11084

Description: Membership in class of real numbers. (Contributed by NM, 31-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
elreal	⊢ (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem elreal

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-r 11078	. . 3 ⊢ ℝ = (R × {0R})
2	1	eleq2i 2820	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ (R × {0R}))
3		elxp2 5662	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (R × {0R}) ↔ ∃𝑥 ∈ R ∃𝑦 ∈ {0R}𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
4		0r 11033	. . . . . . 7 ⊢ 0R ∈ R
5	4	elexi 3470	. . . . . 6 ⊢ 0R ∈ V
6		opeq2 4838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0R → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 0R⟩)
7	6	eqeq2d 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0R → (𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝐴 = ⟨𝑥, 0R⟩))
8	5, 7	rexsn 4646	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ {0R}𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝐴 = ⟨𝑥, 0R⟩)
9		eqcom 2736	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ⟨𝑥, 0R⟩ ↔ ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
10	8, 9	bitri 275	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ {0R}𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
11	10	rexbii 3076	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ R ∃𝑦 ∈ {0R}𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
12	3, 11	bitri 275	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (R × {0R}) ↔ ∃𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
13	2, 12	bitri 275	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  {csn 4589  ⟨cop 4595   × cxp 5636  Rcnr 10818  0_Rc0r 10819  ℝcr 11067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-oadd 8438  df-omul 8439  df-er 8671  df-ec 8673  df-qs 8677  df-ni 10825  df-pli 10826  df-mi 10827  df-lti 10828  df-plpq 10861  df-mpq 10862  df-ltpq 10863  df-enq 10864  df-nq 10865  df-erq 10866  df-plq 10867  df-mq 10868  df-1nq 10869  df-rq 10870  df-ltnq 10871  df-np 10934  df-1p 10935  df-enr 11008  df-nr 11009  df-0r 11013  df-r 11078

This theorem is referenced by:  axaddrcl  11105  axmulrcl  11107  axrrecex  11116  axpre-lttri  11118  axpre-lttrn  11119  axpre-ltadd  11120  axpre-mulgt0  11121