Theorem elreal 11219

Description: Membership in class of real numbers. (Contributed by NM, 31-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
elreal	⊢ (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem elreal

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-r 11213	. . 3 ⊢ ℝ = (R × {0R})
2	1	eleq2i 2852	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ (R × {0R}))
3		elxp2 5674	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (R × {0R}) ↔ ∃𝑥 ∈ R ∃𝑦 ∈ {0R}𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
4		0r 11168	. . . . . . 7 ⊢ 0R ∈ R
5	4	elexi 3472	. . . . . 6 ⊢ 0R ∈ V
6		opeq2 4840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0R → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 0R⟩)
7	6	eqeq2d 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0R → (𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝐴 = ⟨𝑥, 0R⟩))
8	5, 7	rexsn 4639	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ {0R}𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝐴 = ⟨𝑥, 0R⟩)
9		eqcom 2767	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ⟨𝑥, 0R⟩ ↔ ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
10	8, 9	bitri 278	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ {0R}𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
11	10	rexbii 3109	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ R ∃𝑦 ∈ {0R}𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
12	3, 11	bitri 278	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (R × {0R}) ↔ ∃𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
13	2, 12	bitri 278	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086  {csn 4584  ⟨cop 4834   × cxp 5648  Rcnr 10953  0_Rc0r 10954  ℝcr 11202

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-oadd 8483  df-omul 8484  df-er 8720  df-ec 8722  df-qs 8726  df-ni 10960  df-pli 10961  df-mi 10962  df-lti 10963  df-plpq 10996  df-mpq 10997  df-ltpq 10998  df-enq 10999  df-nq 11000  df-erq 11001  df-plq 11002  df-mq 11003  df-1nq 11004  df-rq 11005  df-ltnq 11006  df-np 11069  df-1p 11070  df-enr 11143  df-nr 11144  df-0r 11148  df-r 11213

This theorem is used by:  axaddrcl  11240  axmulrcl  11242  axrrecex  11251  axpre-lttri  11253  axpre-lttrn  11254  axpre-ltadd  11255  axpre-mulgt0  11256