Theorem elreal 10887

Description: Membership in class of real numbers. (Contributed by NM, 31-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
elreal	⊢ (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem elreal

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-r 10881	. . 3 ⊢ ℝ = (R × {0R})
2	1	eleq2i 2830	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ (R × {0R}))
3		elxp2 5613	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (R × {0R}) ↔ ∃𝑥 ∈ R ∃𝑦 ∈ {0R}𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
4		0r 10836	. . . . . . 7 ⊢ 0R ∈ R
5	4	elexi 3451	. . . . . 6 ⊢ 0R ∈ V
6		opeq2 4805	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0R → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 0R⟩)
7	6	eqeq2d 2749	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0R → (𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝐴 = ⟨𝑥, 0R⟩))
8	5, 7	rexsn 4618	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ {0R}𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝐴 = ⟨𝑥, 0R⟩)
9		eqcom 2745	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ⟨𝑥, 0R⟩ ↔ ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
10	8, 9	bitri 274	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ {0R}𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
11	10	rexbii 3181	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ R ∃𝑦 ∈ {0R}𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
12	3, 11	bitri 274	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (R × {0R}) ↔ ∃𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)
13	2, 12	bitri 274	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ ↔ ∃𝑥 ∈ R ⟨𝑥, 0R⟩ = 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065  {csn 4561  ⟨cop 4567   × cxp 5587  Rcnr 10621  0_Rc0r 10622  ℝcr 10870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-ec 8500  df-qs 8504  df-ni 10628  df-pli 10629  df-mi 10630  df-lti 10631  df-plpq 10664  df-mpq 10665  df-ltpq 10666  df-enq 10667  df-nq 10668  df-erq 10669  df-plq 10670  df-mq 10671  df-1nq 10672  df-rq 10673  df-ltnq 10674  df-np 10737  df-1p 10738  df-enr 10811  df-nr 10812  df-0r 10816  df-r 10881

This theorem is referenced by:  axaddrcl  10908  axmulrcl  10910  axrrecex  10919  axpre-lttri  10921  axpre-lttrn  10922  axpre-ltadd  10923  axpre-mulgt0  10924