Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-bary1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bj-bary1lem 36129
Description: Lemma for bj-bary1 36131: expression for a barycenter of two points in one dimension (complex line). (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
bj-bary1.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
bj-bary1.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
bj-bary1.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
bj-bary1.neq (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
bj-bary1lem (𝜑𝑋 = ((((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)) · 𝐵)))

Proof of Theorem bj-bary1lem
StepHypRef Expression
1 bj-bary1.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2 bj-bary1.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
31, 2mulcld 11230 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 · 𝐴) ∈ ℂ)
4 bj-bary1.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
54, 2mulcld 11230 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 · 𝐴) ∈ ℂ)
63, 5subcld 11567 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) ∈ ℂ)
74, 1mulcld 11230 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 · 𝐵) ∈ ℂ)
82, 1mulcld 11230 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
96, 7, 8addsub12d 11590 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) + ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵))) = ((𝑋 · 𝐵) + (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) − (𝐴 · 𝐵))))
103, 5, 8sub32d 11599 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) − (𝐴 · 𝐵)) = (((𝐵 · 𝐴) − (𝐴 · 𝐵)) − (𝑋 · 𝐴)))
111, 2bj-subcom 36127 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) − (𝐴 · 𝐵)) = 0)
1211oveq1d 7419 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝐴 · 𝐵)) − (𝑋 · 𝐴)) = (0 − (𝑋 · 𝐴)))
1310, 12eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) − (𝐴 · 𝐵)) = (0 − (𝑋 · 𝐴)))
1413oveq2d 7420 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 · 𝐵) + (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) − (𝐴 · 𝐵))) = ((𝑋 · 𝐵) + (0 − (𝑋 · 𝐴))))
159, 14eqtrd 2773 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) + ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵))) = ((𝑋 · 𝐵) + (0 − (𝑋 · 𝐴))))
16 0cnd 11203 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
177, 16, 5addsubassd 11587 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵) + 0) − (𝑋 · 𝐴)) = ((𝑋 · 𝐵) + (0 − (𝑋 · 𝐴))))
187addridd 11410 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 · 𝐵) + 0) = (𝑋 · 𝐵))
1918oveq1d 7419 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵) + 0) − (𝑋 · 𝐴)) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝑋 · 𝐴)))
2015, 17, 193eqtr2d 2779 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) + ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵))) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝑋 · 𝐴)))
211, 4, 2subdird 11667 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵𝑋) · 𝐴) = ((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)))
224, 2, 1subdird 11667 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋𝐴) · 𝐵) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵)))
2321, 22oveq12d 7422 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐵𝑋) · 𝐴) + ((𝑋𝐴) · 𝐵)) = (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) + ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵))))
244, 1, 2subdid 11666 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 · (𝐵𝐴)) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝑋 · 𝐴)))
2520, 23, 243eqtr4rd 2784 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 · (𝐵𝐴)) = (((𝐵𝑋) · 𝐴) + ((𝑋𝐴) · 𝐵)))
2625oveq1d 7419 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 · (𝐵𝐴)) / (𝐵𝐴)) = ((((𝐵𝑋) · 𝐴) + ((𝑋𝐴) · 𝐵)) / (𝐵𝐴)))
271, 4subcld 11567 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ℂ)
2827, 2mulcld 11230 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵𝑋) · 𝐴) ∈ ℂ)
294, 2subcld 11567 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝐴) ∈ ℂ)
3029, 1mulcld 11230 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋𝐴) · 𝐵) ∈ ℂ)
311, 2subcld 11567 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
32 bj-bary1.neq . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
3332necomd 2997 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐴)
341, 2, 33subne0d 11576 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≠ 0)
3528, 30, 31, 34divdird 12024 . . 3 (𝜑 → ((((𝐵𝑋) · 𝐴) + ((𝑋𝐴) · 𝐵)) / (𝐵𝐴)) = ((((𝐵𝑋) · 𝐴) / (𝐵𝐴)) + (((𝑋𝐴) · 𝐵) / (𝐵𝐴))))
3626, 35eqtrd 2773 . 2 (𝜑 → ((𝑋 · (𝐵𝐴)) / (𝐵𝐴)) = ((((𝐵𝑋) · 𝐴) / (𝐵𝐴)) + (((𝑋𝐴) · 𝐵) / (𝐵𝐴))))
374, 31, 34divcan4d 11992 . 2 (𝜑 → ((𝑋 · (𝐵𝐴)) / (𝐵𝐴)) = 𝑋)
3827, 2, 31, 34div23d 12023 . . 3 (𝜑 → (((𝐵𝑋) · 𝐴) / (𝐵𝐴)) = (((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) · 𝐴))
3929, 1, 31, 34div23d 12023 . . 3 (𝜑 → (((𝑋𝐴) · 𝐵) / (𝐵𝐴)) = (((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)) · 𝐵))
4038, 39oveq12d 7422 . 2 (𝜑 → ((((𝐵𝑋) · 𝐴) / (𝐵𝐴)) + (((𝑋𝐴) · 𝐵) / (𝐵𝐴))) = ((((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)) · 𝐵)))
4136, 37, 403eqtr3d 2781 1 (𝜑𝑋 = ((((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)) · 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  (class class class)co 7404  cc 11104  0cc0 11106   + caddc 11109   · cmul 11111  cmin 11440   / cdiv 11867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868
This theorem is referenced by:  bj-bary1  36131
  Copyright terms: Public domain W3C validator