Theorem bj-bary1lem 34583

Description: Lemma for bj-bary1 34585: expression for a barycenter of two points in one dimension (complex line). (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
bj-bary1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
bj-bary1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
bj-bary1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
bj-bary1.neq	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
bj-bary1lem	⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐵)))

Proof of Theorem bj-bary1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-bary1.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
2		bj-bary1.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	mulcld 10653	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐴) ∈ ℂ)
4		bj-bary1.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
5	4, 2	mulcld 10653	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐴) ∈ ℂ)
6	3, 5	subcld 10989	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) ∈ ℂ)
7	4, 1	mulcld 10653	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐵) ∈ ℂ)
8	2, 1	mulcld 10653	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
9	6, 7, 8	addsub12d 11012	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) + ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵))) = ((𝑋 · 𝐵) + (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) − (𝐴 · 𝐵))))
10	3, 5, 8	sub32d 11021	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) − (𝐴 · 𝐵)) = (((𝐵 · 𝐴) − (𝐴 · 𝐵)) − (𝑋 · 𝐴)))
11	1, 2	bj-subcom 34581	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) − (𝐴 · 𝐵)) = 0)
12	11	oveq1d 7163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝐴 · 𝐵)) − (𝑋 · 𝐴)) = (0 − (𝑋 · 𝐴)))
13	10, 12	eqtrd 2854	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) − (𝐴 · 𝐵)) = (0 − (𝑋 · 𝐴)))
14	13	oveq2d 7164	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐵) + (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) − (𝐴 · 𝐵))) = ((𝑋 · 𝐵) + (0 − (𝑋 · 𝐴))))
15	9, 14	eqtrd 2854	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) + ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵))) = ((𝑋 · 𝐵) + (0 − (𝑋 · 𝐴))))
16		0cnd 10626	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
17	7, 16, 5	addsubassd 11009	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵) + 0) − (𝑋 · 𝐴)) = ((𝑋 · 𝐵) + (0 − (𝑋 · 𝐴))))
18	7	addid1d 10832	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐵) + 0) = (𝑋 · 𝐵))
19	18	oveq1d 7163	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵) + 0) − (𝑋 · 𝐴)) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝑋 · 𝐴)))
20	15, 17, 19	3eqtr2d 2860	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) + ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵))) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝑋 · 𝐴)))
21	1, 4, 2	subdird 11089	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) = ((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)))
22	4, 2, 1	subdird 11089	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵)))
23	21, 22	oveq12d 7166	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) + ((𝑋 − 𝐴) · 𝐵)) = (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) + ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵))))
24	4, 1, 2	subdid 11088	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐵 − 𝐴)) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝑋 · 𝐴)))
25	20, 23, 24	3eqtr4rd 2865	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐵 − 𝐴)) = (((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) + ((𝑋 − 𝐴) · 𝐵)))
26	25	oveq1d 7163	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝐵 − 𝐴)) / (𝐵 − 𝐴)) = ((((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) + ((𝑋 − 𝐴) · 𝐵)) / (𝐵 − 𝐴)))
27	1, 4	subcld 10989	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑋) ∈ ℂ)
28	27, 2	mulcld 10653	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) ∈ ℂ)
29	4, 2	subcld 10989	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) ∈ ℂ)
30	29, 1	mulcld 10653	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) ∈ ℂ)
31	1, 2	subcld 10989	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
32		bj-bary1.neq	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
33	32	necomd 3069	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
34	1, 2, 33	subne0d 10998	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ≠ 0)
35	28, 30, 31, 34	divdird 11446	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) + ((𝑋 − 𝐴) · 𝐵)) / (𝐵 − 𝐴)) = ((((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) + (((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) / (𝐵 − 𝐴))))
36	26, 35	eqtrd 2854	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝐵 − 𝐴)) / (𝐵 − 𝐴)) = ((((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) + (((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) / (𝐵 − 𝐴))))
37	4, 31, 34	divcan4d 11414	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝐵 − 𝐴)) / (𝐵 − 𝐴)) = 𝑋)
38	27, 2, 31, 34	div23d 11445	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) = (((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐴))
39	29, 1, 31, 34	div23d 11445	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) / (𝐵 − 𝐴)) = (((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐵))
40	38, 39	oveq12d 7166	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) + (((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) / (𝐵 − 𝐴))) = ((((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐵)))
41	36, 37, 40	3eqtr3d 2862	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ≠ wne 3014  (class class class)co 7148  ℂcc 10527  0cc0 10529   + caddc 10532   · cmul 10534   − cmin 10862   / cdiv 11289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290

This theorem is referenced by:  bj-bary1  34585