Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-bary1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bj-bary1lem 33707
Description: A lemma for barycentric coordinates in one dimension. (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
bj-bary1.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
bj-bary1.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
bj-bary1.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
bj-bary1.neq (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
bj-bary1lem (𝜑𝑋 = ((((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)) · 𝐵)))

Proof of Theorem bj-bary1lem
StepHypRef Expression
1 bj-bary1.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2 bj-bary1.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
31, 2mulcld 10376 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 · 𝐴) ∈ ℂ)
4 bj-bary1.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
54, 2mulcld 10376 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 · 𝐴) ∈ ℂ)
63, 5subcld 10712 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) ∈ ℂ)
74, 1mulcld 10376 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 · 𝐵) ∈ ℂ)
82, 1mulcld 10376 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
96, 7, 8addsub12d 10735 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) + ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵))) = ((𝑋 · 𝐵) + (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) − (𝐴 · 𝐵))))
103, 5, 8sub32d 10744 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) − (𝐴 · 𝐵)) = (((𝐵 · 𝐴) − (𝐴 · 𝐵)) − (𝑋 · 𝐴)))
111, 2bj-subcom 33705 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) − (𝐴 · 𝐵)) = 0)
1211oveq1d 6919 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝐴 · 𝐵)) − (𝑋 · 𝐴)) = (0 − (𝑋 · 𝐴)))
1310, 12eqtrd 2860 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) − (𝐴 · 𝐵)) = (0 − (𝑋 · 𝐴)))
1413oveq2d 6920 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 · 𝐵) + (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) − (𝐴 · 𝐵))) = ((𝑋 · 𝐵) + (0 − (𝑋 · 𝐴))))
159, 14eqtrd 2860 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) + ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵))) = ((𝑋 · 𝐵) + (0 − (𝑋 · 𝐴))))
16 0cnd 10348 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
177, 16, 5addsubassd 10732 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵) + 0) − (𝑋 · 𝐴)) = ((𝑋 · 𝐵) + (0 − (𝑋 · 𝐴))))
187addid1d 10554 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 · 𝐵) + 0) = (𝑋 · 𝐵))
1918oveq1d 6919 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵) + 0) − (𝑋 · 𝐴)) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝑋 · 𝐴)))
2015, 17, 193eqtr2d 2866 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) + ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵))) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝑋 · 𝐴)))
211, 4, 2subdird 10810 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵𝑋) · 𝐴) = ((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)))
224, 2, 1subdird 10810 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋𝐴) · 𝐵) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵)))
2321, 22oveq12d 6922 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐵𝑋) · 𝐴) + ((𝑋𝐴) · 𝐵)) = (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) + ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵))))
244, 1, 2subdid 10809 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 · (𝐵𝐴)) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝑋 · 𝐴)))
2520, 23, 243eqtr4rd 2871 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 · (𝐵𝐴)) = (((𝐵𝑋) · 𝐴) + ((𝑋𝐴) · 𝐵)))
2625oveq1d 6919 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 · (𝐵𝐴)) / (𝐵𝐴)) = ((((𝐵𝑋) · 𝐴) + ((𝑋𝐴) · 𝐵)) / (𝐵𝐴)))
271, 4subcld 10712 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ℂ)
2827, 2mulcld 10376 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵𝑋) · 𝐴) ∈ ℂ)
294, 2subcld 10712 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝐴) ∈ ℂ)
3029, 1mulcld 10376 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋𝐴) · 𝐵) ∈ ℂ)
311, 2subcld 10712 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
32 bj-bary1.neq . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
3332necomd 3053 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐴)
341, 2, 33subne0d 10721 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≠ 0)
3528, 30, 31, 34divdird 11164 . . 3 (𝜑 → ((((𝐵𝑋) · 𝐴) + ((𝑋𝐴) · 𝐵)) / (𝐵𝐴)) = ((((𝐵𝑋) · 𝐴) / (𝐵𝐴)) + (((𝑋𝐴) · 𝐵) / (𝐵𝐴))))
3626, 35eqtrd 2860 . 2 (𝜑 → ((𝑋 · (𝐵𝐴)) / (𝐵𝐴)) = ((((𝐵𝑋) · 𝐴) / (𝐵𝐴)) + (((𝑋𝐴) · 𝐵) / (𝐵𝐴))))
374, 31, 34divcan4d 11132 . 2 (𝜑 → ((𝑋 · (𝐵𝐴)) / (𝐵𝐴)) = 𝑋)
3827, 2, 31, 34div23d 11163 . . 3 (𝜑 → (((𝐵𝑋) · 𝐴) / (𝐵𝐴)) = (((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) · 𝐴))
3929, 1, 31, 34div23d 11163 . . 3 (𝜑 → (((𝑋𝐴) · 𝐵) / (𝐵𝐴)) = (((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)) · 𝐵))
4038, 39oveq12d 6922 . 2 (𝜑 → ((((𝐵𝑋) · 𝐴) / (𝐵𝐴)) + (((𝑋𝐴) · 𝐵) / (𝐵𝐴))) = ((((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)) · 𝐵)))
4136, 37, 403eqtr3d 2868 1 (𝜑𝑋 = ((((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)) · 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1658  wcel 2166  wne 2998  (class class class)co 6904  cc 10249  0cc0 10251   + caddc 10254   · cmul 10256  cmin 10584   / cdiv 11008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-op 4403  df-uni 4658  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-id 5249  df-po 5262  df-so 5263  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-er 8008  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-div 11009
This theorem is referenced by:  bj-bary1  33709
  Copyright terms: Public domain W3C validator