Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-bary1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bj-bary1lem 37312
Description: Lemma for bj-bary1 37314: expression for a barycenter of two points in one dimension (complex line). (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
bj-bary1.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
bj-bary1.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
bj-bary1.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
bj-bary1.neq (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
bj-bary1lem (𝜑𝑋 = ((((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)) · 𝐵)))

Proof of Theorem bj-bary1lem
StepHypRef Expression
1 bj-bary1.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
2 bj-bary1.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
31, 2mulcld 11282 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 · 𝐴) ∈ ℂ)
4 bj-bary1.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
54, 2mulcld 11282 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 · 𝐴) ∈ ℂ)
63, 5subcld 11621 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) ∈ ℂ)
74, 1mulcld 11282 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 · 𝐵) ∈ ℂ)
82, 1mulcld 11282 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
96, 7, 8addsub12d 11644 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) + ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵))) = ((𝑋 · 𝐵) + (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) − (𝐴 · 𝐵))))
103, 5, 8sub32d 11653 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) − (𝐴 · 𝐵)) = (((𝐵 · 𝐴) − (𝐴 · 𝐵)) − (𝑋 · 𝐴)))
111, 2bj-subcom 37310 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) − (𝐴 · 𝐵)) = 0)
1211oveq1d 7447 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝐴 · 𝐵)) − (𝑋 · 𝐴)) = (0 − (𝑋 · 𝐴)))
1310, 12eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) − (𝐴 · 𝐵)) = (0 − (𝑋 · 𝐴)))
1413oveq2d 7448 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 · 𝐵) + (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) − (𝐴 · 𝐵))) = ((𝑋 · 𝐵) + (0 − (𝑋 · 𝐴))))
159, 14eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) + ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵))) = ((𝑋 · 𝐵) + (0 − (𝑋 · 𝐴))))
16 0cnd 11255 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
177, 16, 5addsubassd 11641 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵) + 0) − (𝑋 · 𝐴)) = ((𝑋 · 𝐵) + (0 − (𝑋 · 𝐴))))
187addridd 11462 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 · 𝐵) + 0) = (𝑋 · 𝐵))
1918oveq1d 7447 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵) + 0) − (𝑋 · 𝐴)) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝑋 · 𝐴)))
2015, 17, 193eqtr2d 2782 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) + ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵))) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝑋 · 𝐴)))
211, 4, 2subdird 11721 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵𝑋) · 𝐴) = ((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)))
224, 2, 1subdird 11721 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋𝐴) · 𝐵) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵)))
2321, 22oveq12d 7450 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐵𝑋) · 𝐴) + ((𝑋𝐴) · 𝐵)) = (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) + ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵))))
244, 1, 2subdid 11720 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 · (𝐵𝐴)) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝑋 · 𝐴)))
2520, 23, 243eqtr4rd 2787 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 · (𝐵𝐴)) = (((𝐵𝑋) · 𝐴) + ((𝑋𝐴) · 𝐵)))
2625oveq1d 7447 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 · (𝐵𝐴)) / (𝐵𝐴)) = ((((𝐵𝑋) · 𝐴) + ((𝑋𝐴) · 𝐵)) / (𝐵𝐴)))
271, 4subcld 11621 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ℂ)
2827, 2mulcld 11282 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵𝑋) · 𝐴) ∈ ℂ)
294, 2subcld 11621 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝐴) ∈ ℂ)
3029, 1mulcld 11282 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋𝐴) · 𝐵) ∈ ℂ)
311, 2subcld 11621 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
32 bj-bary1.neq . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
3332necomd 2995 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐴)
341, 2, 33subne0d 11630 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≠ 0)
3528, 30, 31, 34divdird 12082 . . 3 (𝜑 → ((((𝐵𝑋) · 𝐴) + ((𝑋𝐴) · 𝐵)) / (𝐵𝐴)) = ((((𝐵𝑋) · 𝐴) / (𝐵𝐴)) + (((𝑋𝐴) · 𝐵) / (𝐵𝐴))))
3626, 35eqtrd 2776 . 2 (𝜑 → ((𝑋 · (𝐵𝐴)) / (𝐵𝐴)) = ((((𝐵𝑋) · 𝐴) / (𝐵𝐴)) + (((𝑋𝐴) · 𝐵) / (𝐵𝐴))))
374, 31, 34divcan4d 12050 . 2 (𝜑 → ((𝑋 · (𝐵𝐴)) / (𝐵𝐴)) = 𝑋)
3827, 2, 31, 34div23d 12081 . . 3 (𝜑 → (((𝐵𝑋) · 𝐴) / (𝐵𝐴)) = (((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) · 𝐴))
3929, 1, 31, 34div23d 12081 . . 3 (𝜑 → (((𝑋𝐴) · 𝐵) / (𝐵𝐴)) = (((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)) · 𝐵))
4038, 39oveq12d 7450 . 2 (𝜑 → ((((𝐵𝑋) · 𝐴) / (𝐵𝐴)) + (((𝑋𝐴) · 𝐵) / (𝐵𝐴))) = ((((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)) · 𝐵)))
4136, 37, 403eqtr3d 2784 1 (𝜑𝑋 = ((((𝐵𝑋) / (𝐵𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴)) · 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  (class class class)co 7432  cc 11154  0cc0 11156   + caddc 11159   · cmul 11161  cmin 11493   / cdiv 11921
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922
This theorem is referenced by:  bj-bary1  37314
  Copyright terms: Public domain W3C validator