Theorem bj-bary1lem 37333

Description: Lemma for bj-bary1 37335: expression for a barycenter of two points in one dimension (complex line). (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
bj-bary1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
bj-bary1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
bj-bary1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
bj-bary1.neq	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
bj-bary1lem	⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐵)))

Proof of Theorem bj-bary1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-bary1.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
2		bj-bary1.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	mulcld 11260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐴) ∈ ℂ)
4		bj-bary1.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
5	4, 2	mulcld 11260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐴) ∈ ℂ)
6	3, 5	subcld 11599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) ∈ ℂ)
7	4, 1	mulcld 11260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐵) ∈ ℂ)
8	2, 1	mulcld 11260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
9	6, 7, 8	addsub12d 11622	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) + ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵))) = ((𝑋 · 𝐵) + (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) − (𝐴 · 𝐵))))
10	3, 5, 8	sub32d 11631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) − (𝐴 · 𝐵)) = (((𝐵 · 𝐴) − (𝐴 · 𝐵)) − (𝑋 · 𝐴)))
11	1, 2	bj-subcom 37331	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) − (𝐴 · 𝐵)) = 0)
12	11	oveq1d 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝐴 · 𝐵)) − (𝑋 · 𝐴)) = (0 − (𝑋 · 𝐴)))
13	10, 12	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) − (𝐴 · 𝐵)) = (0 − (𝑋 · 𝐴)))
14	13	oveq2d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐵) + (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) − (𝐴 · 𝐵))) = ((𝑋 · 𝐵) + (0 − (𝑋 · 𝐴))))
15	9, 14	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) + ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵))) = ((𝑋 · 𝐵) + (0 − (𝑋 · 𝐴))))
16		0cnd 11233	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
17	7, 16, 5	addsubassd 11619	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵) + 0) − (𝑋 · 𝐴)) = ((𝑋 · 𝐵) + (0 − (𝑋 · 𝐴))))
18	7	addridd 11440	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐵) + 0) = (𝑋 · 𝐵))
19	18	oveq1d 7425	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵) + 0) − (𝑋 · 𝐴)) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝑋 · 𝐴)))
20	15, 17, 19	3eqtr2d 2777	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) + ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵))) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝑋 · 𝐴)))
21	1, 4, 2	subdird 11699	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) = ((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)))
22	4, 2, 1	subdird 11699	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵)))
23	21, 22	oveq12d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) + ((𝑋 − 𝐴) · 𝐵)) = (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) + ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵))))
24	4, 1, 2	subdid 11698	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐵 − 𝐴)) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝑋 · 𝐴)))
25	20, 23, 24	3eqtr4rd 2782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐵 − 𝐴)) = (((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) + ((𝑋 − 𝐴) · 𝐵)))
26	25	oveq1d 7425	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝐵 − 𝐴)) / (𝐵 − 𝐴)) = ((((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) + ((𝑋 − 𝐴) · 𝐵)) / (𝐵 − 𝐴)))
27	1, 4	subcld 11599	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑋) ∈ ℂ)
28	27, 2	mulcld 11260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) ∈ ℂ)
29	4, 2	subcld 11599	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) ∈ ℂ)
30	29, 1	mulcld 11260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) ∈ ℂ)
31	1, 2	subcld 11599	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
32		bj-bary1.neq	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
33	32	necomd 2988	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
34	1, 2, 33	subne0d 11608	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ≠ 0)
35	28, 30, 31, 34	divdird 12060	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) + ((𝑋 − 𝐴) · 𝐵)) / (𝐵 − 𝐴)) = ((((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) + (((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) / (𝐵 − 𝐴))))
36	26, 35	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝐵 − 𝐴)) / (𝐵 − 𝐴)) = ((((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) + (((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) / (𝐵 − 𝐴))))
37	4, 31, 34	divcan4d 12028	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝐵 − 𝐴)) / (𝐵 − 𝐴)) = 𝑋)
38	27, 2, 31, 34	div23d 12059	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) = (((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐴))
39	29, 1, 31, 34	div23d 12059	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) / (𝐵 − 𝐴)) = (((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐵))
40	38, 39	oveq12d 7428	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) + (((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) / (𝐵 − 𝐴))) = ((((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐵)))
41	36, 37, 40	3eqtr3d 2779	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  0cc0 11134   + caddc 11137   · cmul 11139   − cmin 11471   / cdiv 11899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900

This theorem is referenced by:  bj-bary1  37335