Theorem bj-bary1lem 36129

Description: Lemma for bj-bary1 36131: expression for a barycenter of two points in one dimension (complex line). (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
bj-bary1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
bj-bary1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
bj-bary1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
bj-bary1.neq	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
bj-bary1lem	⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐵)))

Proof of Theorem bj-bary1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-bary1.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
2		bj-bary1.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	mulcld 11230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐴) ∈ ℂ)
4		bj-bary1.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
5	4, 2	mulcld 11230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐴) ∈ ℂ)
6	3, 5	subcld 11567	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) ∈ ℂ)
7	4, 1	mulcld 11230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐵) ∈ ℂ)
8	2, 1	mulcld 11230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
9	6, 7, 8	addsub12d 11590	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) + ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵))) = ((𝑋 · 𝐵) + (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) − (𝐴 · 𝐵))))
10	3, 5, 8	sub32d 11599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) − (𝐴 · 𝐵)) = (((𝐵 · 𝐴) − (𝐴 · 𝐵)) − (𝑋 · 𝐴)))
11	1, 2	bj-subcom 36127	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) − (𝐴 · 𝐵)) = 0)
12	11	oveq1d 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝐴 · 𝐵)) − (𝑋 · 𝐴)) = (0 − (𝑋 · 𝐴)))
13	10, 12	eqtrd 2773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) − (𝐴 · 𝐵)) = (0 − (𝑋 · 𝐴)))
14	13	oveq2d 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐵) + (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) − (𝐴 · 𝐵))) = ((𝑋 · 𝐵) + (0 − (𝑋 · 𝐴))))
15	9, 14	eqtrd 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) + ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵))) = ((𝑋 · 𝐵) + (0 − (𝑋 · 𝐴))))
16		0cnd 11203	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
17	7, 16, 5	addsubassd 11587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵) + 0) − (𝑋 · 𝐴)) = ((𝑋 · 𝐵) + (0 − (𝑋 · 𝐴))))
18	7	addridd 11410	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐵) + 0) = (𝑋 · 𝐵))
19	18	oveq1d 7419	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵) + 0) − (𝑋 · 𝐴)) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝑋 · 𝐴)))
20	15, 17, 19	3eqtr2d 2779	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) + ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵))) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝑋 · 𝐴)))
21	1, 4, 2	subdird 11667	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) = ((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)))
22	4, 2, 1	subdird 11667	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵)))
23	21, 22	oveq12d 7422	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) + ((𝑋 − 𝐴) · 𝐵)) = (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) + ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵))))
24	4, 1, 2	subdid 11666	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐵 − 𝐴)) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝑋 · 𝐴)))
25	20, 23, 24	3eqtr4rd 2784	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐵 − 𝐴)) = (((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) + ((𝑋 − 𝐴) · 𝐵)))
26	25	oveq1d 7419	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝐵 − 𝐴)) / (𝐵 − 𝐴)) = ((((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) + ((𝑋 − 𝐴) · 𝐵)) / (𝐵 − 𝐴)))
27	1, 4	subcld 11567	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑋) ∈ ℂ)
28	27, 2	mulcld 11230	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) ∈ ℂ)
29	4, 2	subcld 11567	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) ∈ ℂ)
30	29, 1	mulcld 11230	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) ∈ ℂ)
31	1, 2	subcld 11567	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
32		bj-bary1.neq	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
33	32	necomd 2997	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
34	1, 2, 33	subne0d 11576	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ≠ 0)
35	28, 30, 31, 34	divdird 12024	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) + ((𝑋 − 𝐴) · 𝐵)) / (𝐵 − 𝐴)) = ((((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) + (((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) / (𝐵 − 𝐴))))
36	26, 35	eqtrd 2773	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝐵 − 𝐴)) / (𝐵 − 𝐴)) = ((((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) + (((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) / (𝐵 − 𝐴))))
37	4, 31, 34	divcan4d 11992	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝐵 − 𝐴)) / (𝐵 − 𝐴)) = 𝑋)
38	27, 2, 31, 34	div23d 12023	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) = (((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐴))
39	29, 1, 31, 34	div23d 12023	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) / (𝐵 − 𝐴)) = (((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐵))
40	38, 39	oveq12d 7422	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) + (((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) / (𝐵 − 𝐴))) = ((((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐵)))
41	36, 37, 40	3eqtr3d 2781	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  (class class class)co 7404  ℂcc 11104  0cc0 11106   + caddc 11109   · cmul 11111   − cmin 11440   / cdiv 11867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868

This theorem is referenced by:  bj-bary1  36131