Theorem bj-bary1lem 37685

Description: Lemma for bj-bary1 37687: expression for a barycenter of two points in one dimension (complex line). (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
bj-bary1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
bj-bary1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
bj-bary1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
bj-bary1.neq	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
bj-bary1lem	⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐵)))

Proof of Theorem bj-bary1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-bary1.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
2		bj-bary1.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	mulcld 11160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐴) ∈ ℂ)
4		bj-bary1.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
5	4, 2	mulcld 11160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐴) ∈ ℂ)
6	3, 5	subcld 11500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) ∈ ℂ)
7	4, 1	mulcld 11160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐵) ∈ ℂ)
8	2, 1	mulcld 11160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
9	6, 7, 8	addsub12d 11523	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) + ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵))) = ((𝑋 · 𝐵) + (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) − (𝐴 · 𝐵))))
10	3, 5, 8	sub32d 11532	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) − (𝐴 · 𝐵)) = (((𝐵 · 𝐴) − (𝐴 · 𝐵)) − (𝑋 · 𝐴)))
11	1, 2	bj-subcom 37683	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) − (𝐴 · 𝐵)) = 0)
12	11	oveq1d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝐴 · 𝐵)) − (𝑋 · 𝐴)) = (0 − (𝑋 · 𝐴)))
13	10, 12	eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) − (𝐴 · 𝐵)) = (0 − (𝑋 · 𝐴)))
14	13	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐵) + (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) − (𝐴 · 𝐵))) = ((𝑋 · 𝐵) + (0 − (𝑋 · 𝐴))))
15	9, 14	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) + ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵))) = ((𝑋 · 𝐵) + (0 − (𝑋 · 𝐴))))
16		0cnd 11132	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
17	7, 16, 5	addsubassd 11520	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵) + 0) − (𝑋 · 𝐴)) = ((𝑋 · 𝐵) + (0 − (𝑋 · 𝐴))))
18	7	addridd 11341	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐵) + 0) = (𝑋 · 𝐵))
19	18	oveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵) + 0) − (𝑋 · 𝐴)) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝑋 · 𝐴)))
20	15, 17, 19	3eqtr2d 2782	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) + ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵))) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝑋 · 𝐴)))
21	1, 4, 2	subdird 11602	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) = ((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)))
22	4, 2, 1	subdird 11602	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵)))
23	21, 22	oveq12d 7378	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) + ((𝑋 − 𝐴) · 𝐵)) = (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) + ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵))))
24	4, 1, 2	subdid 11601	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐵 − 𝐴)) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝑋 · 𝐴)))
25	20, 23, 24	3eqtr4rd 2787	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐵 − 𝐴)) = (((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) + ((𝑋 − 𝐴) · 𝐵)))
26	25	oveq1d 7375	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝐵 − 𝐴)) / (𝐵 − 𝐴)) = ((((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) + ((𝑋 − 𝐴) · 𝐵)) / (𝐵 − 𝐴)))
27	1, 4	subcld 11500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑋) ∈ ℂ)
28	27, 2	mulcld 11160	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) ∈ ℂ)
29	4, 2	subcld 11500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) ∈ ℂ)
30	29, 1	mulcld 11160	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) ∈ ℂ)
31	1, 2	subcld 11500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
32		bj-bary1.neq	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
33	32	necomd 2991	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
34	1, 2, 33	subne0d 11509	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ≠ 0)
35	28, 30, 31, 34	divdird 11964	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) + ((𝑋 − 𝐴) · 𝐵)) / (𝐵 − 𝐴)) = ((((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) + (((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) / (𝐵 − 𝐴))))
36	26, 35	eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝐵 − 𝐴)) / (𝐵 − 𝐴)) = ((((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) + (((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) / (𝐵 − 𝐴))))
37	4, 31, 34	divcan4d 11932	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝐵 − 𝐴)) / (𝐵 − 𝐴)) = 𝑋)
38	27, 2, 31, 34	div23d 11963	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) = (((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐴))
39	29, 1, 31, 34	div23d 11963	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) / (𝐵 − 𝐴)) = (((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐵))
40	38, 39	oveq12d 7378	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) + (((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) / (𝐵 − 𝐴))) = ((((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐵)))
41	36, 37, 40	3eqtr3d 2784	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  (class class class)co 7360  ℂcc 11031  0cc0 11033   + caddc 11036   · cmul 11038   − cmin 11372   / cdiv 11802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803

This theorem is referenced by:  bj-bary1  37687