Theorem bj-bary1lem 35123

Description: Lemma for bj-bary1 35125: expression for a barycenter of two points in one dimension (complex line). (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
bj-bary1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
bj-bary1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
bj-bary1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
bj-bary1.neq	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
bj-bary1lem	⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐵)))

Proof of Theorem bj-bary1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-bary1.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
2		bj-bary1.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	mulcld 10741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐴) ∈ ℂ)
4		bj-bary1.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
5	4, 2	mulcld 10741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐴) ∈ ℂ)
6	3, 5	subcld 11077	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) ∈ ℂ)
7	4, 1	mulcld 10741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐵) ∈ ℂ)
8	2, 1	mulcld 10741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
9	6, 7, 8	addsub12d 11100	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) + ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵))) = ((𝑋 · 𝐵) + (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) − (𝐴 · 𝐵))))
10	3, 5, 8	sub32d 11109	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) − (𝐴 · 𝐵)) = (((𝐵 · 𝐴) − (𝐴 · 𝐵)) − (𝑋 · 𝐴)))
11	1, 2	bj-subcom 35121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) − (𝐴 · 𝐵)) = 0)
12	11	oveq1d 7187	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝐴 · 𝐵)) − (𝑋 · 𝐴)) = (0 − (𝑋 · 𝐴)))
13	10, 12	eqtrd 2773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) − (𝐴 · 𝐵)) = (0 − (𝑋 · 𝐴)))
14	13	oveq2d 7188	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐵) + (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) − (𝐴 · 𝐵))) = ((𝑋 · 𝐵) + (0 − (𝑋 · 𝐴))))
15	9, 14	eqtrd 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) + ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵))) = ((𝑋 · 𝐵) + (0 − (𝑋 · 𝐴))))
16		0cnd 10714	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
17	7, 16, 5	addsubassd 11097	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵) + 0) − (𝑋 · 𝐴)) = ((𝑋 · 𝐵) + (0 − (𝑋 · 𝐴))))
18	7	addid1d 10920	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐵) + 0) = (𝑋 · 𝐵))
19	18	oveq1d 7187	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · 𝐵) + 0) − (𝑋 · 𝐴)) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝑋 · 𝐴)))
20	15, 17, 19	3eqtr2d 2779	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) + ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵))) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝑋 · 𝐴)))
21	1, 4, 2	subdird 11177	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) = ((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)))
22	4, 2, 1	subdird 11177	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵)))
23	21, 22	oveq12d 7190	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) + ((𝑋 − 𝐴) · 𝐵)) = (((𝐵 · 𝐴) − (𝑋 · 𝐴)) + ((𝑋 · 𝐵) − (𝐴 · 𝐵))))
24	4, 1, 2	subdid 11176	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐵 − 𝐴)) = ((𝑋 · 𝐵) − (𝑋 · 𝐴)))
25	20, 23, 24	3eqtr4rd 2784	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝐵 − 𝐴)) = (((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) + ((𝑋 − 𝐴) · 𝐵)))
26	25	oveq1d 7187	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝐵 − 𝐴)) / (𝐵 − 𝐴)) = ((((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) + ((𝑋 − 𝐴) · 𝐵)) / (𝐵 − 𝐴)))
27	1, 4	subcld 11077	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑋) ∈ ℂ)
28	27, 2	mulcld 10741	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) ∈ ℂ)
29	4, 2	subcld 11077	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) ∈ ℂ)
30	29, 1	mulcld 10741	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) ∈ ℂ)
31	1, 2	subcld 11077	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
32		bj-bary1.neq	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
33	32	necomd 2989	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
34	1, 2, 33	subne0d 11086	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ≠ 0)
35	28, 30, 31, 34	divdird 11534	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) + ((𝑋 − 𝐴) · 𝐵)) / (𝐵 − 𝐴)) = ((((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) + (((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) / (𝐵 − 𝐴))))
36	26, 35	eqtrd 2773	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝐵 − 𝐴)) / (𝐵 − 𝐴)) = ((((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) + (((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) / (𝐵 − 𝐴))))
37	4, 31, 34	divcan4d 11502	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝐵 − 𝐴)) / (𝐵 − 𝐴)) = 𝑋)
38	27, 2, 31, 34	div23d 11533	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) = (((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐴))
39	29, 1, 31, 34	div23d 11533	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) / (𝐵 − 𝐴)) = (((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐵))
40	38, 39	oveq12d 7190	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐵 − 𝑋) · 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) + (((𝑋 − 𝐴) · 𝐵) / (𝐵 − 𝐴))) = ((((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐵)))
41	36, 37, 40	3eqtr3d 2781	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((((𝐵 − 𝑋) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐴) + (((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2934  (class class class)co 7172  ℂcc 10615  0cc0 10617   + caddc 10620   · cmul 10622   − cmin 10950   / cdiv 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-resscn 10674  ax-1cn 10675  ax-icn 10676  ax-addcl 10677  ax-addrcl 10678  ax-mulcl 10679  ax-mulrcl 10680  ax-mulcom 10681  ax-addass 10682  ax-mulass 10683  ax-distr 10684  ax-i2m1 10685  ax-1ne0 10686  ax-1rid 10687  ax-rnegex 10688  ax-rrecex 10689  ax-cnre 10690  ax-pre-lttri 10691  ax-pre-lttrn 10692  ax-pre-ltadd 10693  ax-pre-mulgt0 10694

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7129  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-er 8322  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-pnf 10757  df-mnf 10758  df-xr 10759  df-ltxr 10760  df-le 10761  df-sub 10952  df-neg 10953  df-div 11378

This theorem is referenced by:  bj-bary1  35125