Theorem divdird 12002

Description: Distribution of division over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divdir 11867	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1392	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  0cc0 11070   + caddc 11073   / cdiv 11841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842

This theorem is referenced by:  zesq  14236  sqreulem  15370  bitsp1o  16450  bitsmod  16453  lcmgcdlem  16623  pythagtriplem19  16852  fldivp1  16916  mul4sqlem  16972  4sqlem17  16980  metnrmlem3  24902  pcoass  25066  ovollb2lem  25530  opnmbllem  25643  dvaddbr  25980  dvmulbr  25981  ftc1lem4  26081  vieta1lem2  26352  cosargd  26650  tanarg  26661  cxpaddle  26794  cxpeq  26799  dcubic1lem  26885  dcubic2  26886  mcubic  26889  cubic2  26890  dquartlem1  26893  dquart  26895  cosatan  26963  atantan  26965  dvatan  26977  jensenlem2  27029  logdifbnd  27035  emcllem3  27039  emcllem5  27041  dmgmdivn0  27069  lgamgulmlem2  27071  lgamgulmlem5  27074  lgamcvg2  27096  lgam1  27105  basellem3  27124  basellem8  27129  perfectlem2  27271  bclbnd  27321  lgseisenlem1  27416  lgsquad2lem1  27425  dchrvmasum2if  27538  selberg3  27600  selberg4  27602  selberg34r  27612  pntrlog2bndlem2  27619  pntrlog2bndlem4  27621  pntrlog2bndlem5  27622  pntrlog2bndlem6  27624  pntibndlem2  27632  brbtwn2  29052  axsegconlem10  29073  axeuclidlem  29109  axcontlem8  29118  quad3d  32901  constrrtlc1  33990  constrresqrtcl  34035  dya2icoseg  34535  divcnvlin  36047  iprodgam  36056  knoppndvlem9  36922  bj-bary1lem  37766  bj-bary1  37768  poimirlem29  38112  opnmbllem0  38119  dvtan  38133  ftc1cnnclem  38154  dvasin  38167  areacirclem1  38171  aks4d1p1p2  42651  aks4d1p1p4  42652  aks4d1p1p7  42655  cxp112d  42914  cxp111d  42915  fltdiv  43182  flt4lem6  43204  3cubeslem4  43234  reglogmul  43434  binomcxplemwb  44888  clim1fr1  46141  coseq0  46402  stirlinglem4  46615  stirlinglem6  46617  dirkerper  46634  dirkertrigeqlem3  46638  dirkercncflem1  46641  dirkercncflem2  46642  fourierdlem4  46649  fourierdlem26  46671  fourierdlem42  46687  fourierdlem83  46727  fourierdlem112  46756  sqwvfourb  46767  etransclem44  46816  quad1  48206  requad1  48208  perfectALTVlem2  48308  eenglngeehlnmlem1  49323  line2  49338  itsclc0xyqsolr  49355  itsclquadb  49362  cotsqcscsq  50347