Theorem divdird 12081

Description: Distribution of division over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divdir 11947	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1376	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155   + caddc 11158   / cdiv 11920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921

This theorem is referenced by:  zesq  14265  sqreulem  15398  bitsp1o  16470  bitsmod  16473  lcmgcdlem  16643  pythagtriplem19  16871  fldivp1  16935  mul4sqlem  16991  4sqlem17  16999  metnrmlem3  24883  pcoass  25057  ovollb2lem  25523  opnmbllem  25636  dvaddbr  25974  dvmulbr  25975  dvmulbrOLD  25976  ftc1lem4  26080  vieta1lem2  26353  cosargd  26650  tanarg  26661  cxpaddle  26795  cxpeq  26800  dcubic1lem  26886  dcubic2  26887  mcubic  26890  cubic2  26891  dquartlem1  26894  dquart  26896  cosatan  26964  atantan  26966  dvatan  26978  jensenlem2  27031  logdifbnd  27037  emcllem3  27041  emcllem5  27043  dmgmdivn0  27071  lgamgulmlem2  27073  lgamgulmlem5  27076  lgamcvg2  27098  lgam1  27107  basellem3  27126  basellem8  27131  perfectlem2  27274  bclbnd  27324  lgseisenlem1  27419  lgsquad2lem1  27428  dchrvmasum2if  27541  selberg3  27603  selberg4  27605  selberg34r  27615  pntrlog2bndlem2  27622  pntrlog2bndlem4  27624  pntrlog2bndlem5  27625  pntrlog2bndlem6  27627  pntibndlem2  27635  brbtwn2  28920  axsegconlem10  28941  axeuclidlem  28977  axcontlem8  28986  quad3d  32754  constrrtlc1  33773  dya2icoseg  34279  divcnvlin  35733  iprodgam  35742  knoppndvlem9  36521  bj-bary1lem  37311  bj-bary1  37313  poimirlem29  37656  opnmbllem0  37663  dvtan  37677  ftc1cnnclem  37698  dvasin  37711  areacirclem1  37715  aks4d1p1p2  42071  aks4d1p1p4  42072  aks4d1p1p7  42075  cxp112d  42377  cxp111d  42378  fltdiv  42646  flt4lem6  42668  3cubeslem4  42700  reglogmul  42904  binomcxplemwb  44367  clim1fr1  45616  coseq0  45879  stirlinglem4  46092  stirlinglem6  46094  dirkerper  46111  dirkertrigeqlem3  46115  dirkercncflem1  46118  dirkercncflem2  46119  fourierdlem4  46126  fourierdlem26  46148  fourierdlem42  46164  fourierdlem83  46204  fourierdlem112  46233  sqwvfourb  46244  etransclem44  46293  quad1  47607  requad1  47609  perfectALTVlem2  47709  eenglngeehlnmlem1  48658  line2  48673  itsclc0xyqsolr  48690  itsclquadb  48697  cotsqcscsq  49281