MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divdird Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divdird 11443
Description: Distribution of division over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4 (𝜑𝐶 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divdird (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divdird
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 divmuld.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 divassd.4 . 2 (𝜑𝐶 ≠ 0)
5 divdir 11312 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
61, 2, 3, 4, 5syl112anc 1366 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3016  (class class class)co 7145  cc 10524  0cc0 10526   + caddc 10529   / cdiv 11286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287
This theorem is referenced by:  zesq  13577  sqreulem  14709  bitsp1o  15772  bitsmod  15775  lcmgcdlem  15940  pythagtriplem19  16160  fldivp1  16223  mul4sqlem  16279  4sqlem17  16287  metnrmlem3  23398  pcoass  23557  ovollb2lem  24018  opnmbllem  24131  dvaddbr  24464  dvmulbr  24465  ftc1lem4  24565  vieta1lem2  24829  cosargd  25118  tanarg  25129  cxpaddle  25260  cxpeq  25265  dcubic1lem  25348  dcubic2  25349  mcubic  25352  cubic2  25353  dquartlem1  25356  dquart  25358  cosatan  25426  atantan  25428  dvatan  25440  jensenlem2  25493  logdifbnd  25499  emcllem3  25503  emcllem5  25505  dmgmdivn0  25533  lgamgulmlem2  25535  lgamgulmlem5  25538  lgamcvg2  25560  lgam1  25569  basellem3  25588  basellem8  25593  perfectlem2  25734  bclbnd  25784  lgseisenlem1  25879  lgsquad2lem1  25888  dchrvmasum2if  26001  selberg3  26063  selberg4  26065  selberg34r  26075  pntrlog2bndlem2  26082  pntrlog2bndlem4  26084  pntrlog2bndlem5  26085  pntrlog2bndlem6  26087  pntibndlem2  26095  brbtwn2  26619  axsegconlem10  26640  axeuclidlem  26676  axcontlem8  26685  dya2icoseg  31435  divcnvlin  32862  iprodgam  32872  knoppndvlem9  33757  bj-bary1lem  34480  bj-bary1  34482  poimirlem29  34803  opnmbllem0  34810  dvtan  34824  ftc1cnnclem  34847  dvasin  34860  areacirclem1  34864  3cubeslem4  39166  reglogmul  39370  binomcxplemwb  40560  clim1fr1  41762  coseq0  42025  stirlinglem4  42243  stirlinglem6  42245  dirkerper  42262  dirkertrigeqlem3  42266  dirkercncflem1  42269  dirkercncflem2  42270  fourierdlem4  42277  fourierdlem26  42299  fourierdlem42  42315  fourierdlem83  42355  fourierdlem112  42384  sqwvfourb  42395  etransclem44  42444  quad1  43632  requad1  43634  perfectALTVlem2  43734  eenglngeehlnmlem1  44622  line2  44637  itsclc0xyqsolr  44654  itsclquadb  44661  cotsqcscsq  44759
  Copyright terms: Public domain W3C validator