Theorem divdird 12032

Description: Distribution of division over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divdir 11901	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1372	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  0cc0 11112   + caddc 11115   / cdiv 11875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876

This theorem is referenced by:  zesq  14193  sqreulem  15310  bitsp1o  16378  bitsmod  16381  lcmgcdlem  16547  pythagtriplem19  16770  fldivp1  16834  mul4sqlem  16890  4sqlem17  16898  metnrmlem3  24597  pcoass  24771  ovollb2lem  25237  opnmbllem  25350  dvaddbr  25688  dvmulbr  25689  dvmulbrOLD  25690  ftc1lem4  25791  vieta1lem2  26060  cosargd  26352  tanarg  26363  cxpaddle  26496  cxpeq  26501  dcubic1lem  26584  dcubic2  26585  mcubic  26588  cubic2  26589  dquartlem1  26592  dquart  26594  cosatan  26662  atantan  26664  dvatan  26676  jensenlem2  26728  logdifbnd  26734  emcllem3  26738  emcllem5  26740  dmgmdivn0  26768  lgamgulmlem2  26770  lgamgulmlem5  26773  lgamcvg2  26795  lgam1  26804  basellem3  26823  basellem8  26828  perfectlem2  26969  bclbnd  27019  lgseisenlem1  27114  lgsquad2lem1  27123  dchrvmasum2if  27236  selberg3  27298  selberg4  27300  selberg34r  27310  pntrlog2bndlem2  27317  pntrlog2bndlem4  27319  pntrlog2bndlem5  27320  pntrlog2bndlem6  27322  pntibndlem2  27330  brbtwn2  28430  axsegconlem10  28451  axeuclidlem  28487  axcontlem8  28496  dya2icoseg  33574  divcnvlin  35006  iprodgam  35016  knoppndvlem9  35699  bj-bary1lem  36494  bj-bary1  36496  poimirlem29  36820  opnmbllem0  36827  dvtan  36841  ftc1cnnclem  36862  dvasin  36875  areacirclem1  36879  aks4d1p1p2  41241  aks4d1p1p4  41242  aks4d1p1p7  41245  fltdiv  41680  flt4lem6  41702  3cubeslem4  41729  reglogmul  41933  binomcxplemwb  43409  clim1fr1  44615  coseq0  44878  stirlinglem4  45091  stirlinglem6  45093  dirkerper  45110  dirkertrigeqlem3  45114  dirkercncflem1  45117  dirkercncflem2  45118  fourierdlem4  45125  fourierdlem26  45147  fourierdlem42  45163  fourierdlem83  45203  fourierdlem112  45232  sqwvfourb  45243  etransclem44  45292  quad1  46586  requad1  46588  perfectALTVlem2  46688  eenglngeehlnmlem1  47510  line2  47525  itsclc0xyqsolr  47542  itsclquadb  47549  cotsqcscsq  47894