Theorem divdird 11932

Description: Distribution of division over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divdir 11798	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1376	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  (class class class)co 7346  ℂcc 11001  0cc0 11003   + caddc 11006   / cdiv 11771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772

This theorem is referenced by:  zesq  14130  sqreulem  15264  bitsp1o  16341  bitsmod  16344  lcmgcdlem  16514  pythagtriplem19  16742  fldivp1  16806  mul4sqlem  16862  4sqlem17  16870  metnrmlem3  24775  pcoass  24949  ovollb2lem  25414  opnmbllem  25527  dvaddbr  25865  dvmulbr  25866  dvmulbrOLD  25867  ftc1lem4  25971  vieta1lem2  26244  cosargd  26542  tanarg  26553  cxpaddle  26687  cxpeq  26692  dcubic1lem  26778  dcubic2  26779  mcubic  26782  cubic2  26783  dquartlem1  26786  dquart  26788  cosatan  26856  atantan  26858  dvatan  26870  jensenlem2  26923  logdifbnd  26929  emcllem3  26933  emcllem5  26935  dmgmdivn0  26963  lgamgulmlem2  26965  lgamgulmlem5  26968  lgamcvg2  26990  lgam1  26999  basellem3  27018  basellem8  27023  perfectlem2  27166  bclbnd  27216  lgseisenlem1  27311  lgsquad2lem1  27320  dchrvmasum2if  27433  selberg3  27495  selberg4  27497  selberg34r  27507  pntrlog2bndlem2  27514  pntrlog2bndlem4  27516  pntrlog2bndlem5  27517  pntrlog2bndlem6  27519  pntibndlem2  27527  brbtwn2  28881  axsegconlem10  28902  axeuclidlem  28938  axcontlem8  28947  quad3d  32728  constrrtlc1  33740  constrresqrtcl  33785  dya2icoseg  34285  divcnvlin  35765  iprodgam  35774  knoppndvlem9  36553  bj-bary1lem  37343  bj-bary1  37345  poimirlem29  37688  opnmbllem0  37695  dvtan  37709  ftc1cnnclem  37730  dvasin  37743  areacirclem1  37747  aks4d1p1p2  42102  aks4d1p1p4  42103  aks4d1p1p7  42106  cxp112d  42373  cxp111d  42374  fltdiv  42668  flt4lem6  42690  3cubeslem4  42721  reglogmul  42925  binomcxplemwb  44380  clim1fr1  45640  coseq0  45901  stirlinglem4  46114  stirlinglem6  46116  dirkerper  46133  dirkertrigeqlem3  46137  dirkercncflem1  46140  dirkercncflem2  46141  fourierdlem4  46148  fourierdlem26  46170  fourierdlem42  46186  fourierdlem83  46226  fourierdlem112  46255  sqwvfourb  46266  etransclem44  46315  quad1  47650  requad1  47652  perfectALTVlem2  47752  eenglngeehlnmlem1  48768  line2  48783  itsclc0xyqsolr  48800  itsclquadb  48807  cotsqcscsq  49793