MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divdird Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divdird 11977
Description: Distribution of division over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4 (𝜑𝐶 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divdird (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divdird
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 divmuld.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 divassd.4 . 2 (𝜑𝐶 ≠ 0)
5 divdir 11846 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
61, 2, 3, 4, 5syl112anc 1375 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  (class class class)co 7361  cc 11057  0cc0 11059   + caddc 11062   / cdiv 11820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821
This theorem is referenced by:  zesq  14138  sqreulem  15253  bitsp1o  16321  bitsmod  16324  lcmgcdlem  16490  pythagtriplem19  16713  fldivp1  16777  mul4sqlem  16833  4sqlem17  16841  metnrmlem3  24247  pcoass  24410  ovollb2lem  24875  opnmbllem  24988  dvaddbr  25325  dvmulbr  25326  ftc1lem4  25426  vieta1lem2  25694  cosargd  25986  tanarg  25997  cxpaddle  26128  cxpeq  26133  dcubic1lem  26216  dcubic2  26217  mcubic  26220  cubic2  26221  dquartlem1  26224  dquart  26226  cosatan  26294  atantan  26296  dvatan  26308  jensenlem2  26360  logdifbnd  26366  emcllem3  26370  emcllem5  26372  dmgmdivn0  26400  lgamgulmlem2  26402  lgamgulmlem5  26405  lgamcvg2  26427  lgam1  26436  basellem3  26455  basellem8  26460  perfectlem2  26601  bclbnd  26651  lgseisenlem1  26746  lgsquad2lem1  26755  dchrvmasum2if  26868  selberg3  26930  selberg4  26932  selberg34r  26942  pntrlog2bndlem2  26949  pntrlog2bndlem4  26951  pntrlog2bndlem5  26952  pntrlog2bndlem6  26954  pntibndlem2  26962  brbtwn2  27903  axsegconlem10  27924  axeuclidlem  27960  axcontlem8  27969  dya2icoseg  32941  divcnvlin  34368  iprodgam  34378  knoppndvlem9  35036  bj-bary1lem  35831  bj-bary1  35833  poimirlem29  36157  opnmbllem0  36164  dvtan  36178  ftc1cnnclem  36199  dvasin  36212  areacirclem1  36216  aks4d1p1p2  40577  aks4d1p1p4  40578  aks4d1p1p7  40581  fltdiv  41021  flt4lem6  41043  3cubeslem4  41059  reglogmul  41263  binomcxplemwb  42720  clim1fr1  43932  coseq0  44195  stirlinglem4  44408  stirlinglem6  44410  dirkerper  44427  dirkertrigeqlem3  44431  dirkercncflem1  44434  dirkercncflem2  44435  fourierdlem4  44442  fourierdlem26  44464  fourierdlem42  44480  fourierdlem83  44520  fourierdlem112  44549  sqwvfourb  44560  etransclem44  44609  quad1  45902  requad1  45904  perfectALTVlem2  46004  eenglngeehlnmlem1  46913  line2  46928  itsclc0xyqsolr  46945  itsclquadb  46952  cotsqcscsq  47297
  Copyright terms: Public domain W3C validator