Theorem divdird 12030

Description: Distribution of division over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divdir 11898	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1401	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  0cc0 11101   + caddc 11104   / cdiv 11872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873

This theorem is referenced by:  zesq  14264  sqreulem  15413  bitsp1o  16492  bitsmod  16495  lcmgcdlem  16665  pythagtriplem19  16894  fldivp1  16958  mul4sqlem  17014  4sqlem17  17022  metnrmlem3  25000  pcoass  25164  ovollb2lem  25628  opnmbllem  25741  dvaddbr  26078  dvmulbr  26079  ftc1lem4  26179  vieta1lem2  26453  cosargd  26751  tanarg  26762  cxpaddle  26895  cxpeq  26900  dcubic1lem  26986  dcubic2  26987  mcubic  26990  cubic2  26991  dquartlem1  26994  dquart  26996  cosatan  27064  atantan  27066  dvatan  27078  jensenlem2  27130  logdifbnd  27136  emcllem3  27140  emcllem5  27142  dmgmdivn0  27170  lgamgulmlem2  27172  lgamgulmlem5  27175  lgamcvg2  27197  lgam1  27206  basellem3  27225  basellem8  27230  perfectlem2  27372  bclbnd  27422  lgseisenlem1  27517  lgsquad2lem1  27526  dchrvmasum2if  27639  selberg3  27701  selberg4  27703  selberg34r  27713  pntrlog2bndlem2  27720  pntrlog2bndlem4  27722  pntrlog2bndlem5  27723  pntrlog2bndlem6  27725  pntibndlem2  27733  brbtwn2  29233  axsegconlem10  29254  axeuclidlem  29290  axcontlem8  29299  quad3d  33072  constrrtlc1  34100  constrresqrtcl  34145  dya2icoseg  34645  divcnvlin  36203  iprodgam  36212  knoppndvlem9  37087  bj-bary1lem  37932  bj-bary1  37934  poimirlem29  38278  opnmbllem0  38285  dvtan  38299  ftc1cnnclem  38320  dvasin  38333  areacirclem1  38337  aks4d1p1p2  42815  aks4d1p1p4  42816  aks4d1p1p7  42819  cxp112d  43080  cxp111d  43081  fltdiv  43348  flt4lem6  43370  3cubeslem4  43400  reglogmul  43600  binomcxplemwb  45038  clim1fr1  46297  coseq0  46558  stirlinglem4  46771  stirlinglem6  46773  dirkerper  46790  dirkertrigeqlem3  46794  dirkercncflem1  46797  dirkercncflem2  46798  fourierdlem4  46805  fourierdlem26  46827  fourierdlem42  46843  fourierdlem83  46883  fourierdlem112  46912  sqwvfourb  46923  etransclem44  46972  quad1  48362  requad1  48364  perfectALTVlem2  48464  eenglngeehlnmlem1  49494  line2  49509  itsclc0xyqsolr  49526  itsclquadb  49533  cotsqcscsq  50517