Theorem divdird 12134

Description: Distribution of division over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divdir 12002	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1401	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  0cc0 11203   + caddc 11206   / cdiv 11976

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977

This theorem is used by:  zesq  14373  sqreulem  15532  bitsp1o  16608  bitsmod  16611  lcmgcdlem  16786  pythagtriplem19  17016  fldivp1  17080  mul4sqlem  17136  4sqlem17  17144  metnrmlem3  25186  pcoass  25350  ovollb2lem  25814  opnmbllem  25927  dvaddbr  26263  dvmulbr  26264  ftc1lem4  26364  vieta1lem2  26639  cosargd  26941  tanarg  26952  cxpaddle  27085  cxpeq  27090  dcubic1lem  27176  dcubic2  27177  mcubic  27180  cubic2  27181  dquartlem1  27184  dquart  27186  cosatan  27254  atantan  27256  dvatan  27268  jensenlem2  27320  logdifbnd  27326  emcllem3  27330  emcllem5  27332  dmgmdivn0  27360  lgamgulmlem2  27362  lgamgulmlem5  27365  lgamcvg2  27387  lgam1  27396  basellem3  27415  basellem8  27420  perfectlem2  27562  bclbnd  27612  lgseisenlem1  27707  lgsquad2lem1  27716  dchrvmasum2if  27829  selberg3  27891  selberg4  27893  selberg34r  27903  pntrlog2bndlem2  27910  pntrlog2bndlem4  27912  pntrlog2bndlem5  27913  pntrlog2bndlem6  27915  pntibndlem2  27923  fltdiv  27973  flt4lem6  27993  brbtwn2  29488  axsegconlem10  29509  axeuclidlem  29545  axcontlem8  29554  quad3d  33387  constrrtlc1  34410  constrresqrtcl  34455  dya2icoseg  34955  divcnvlin  36590  iprodgam  36599  knoppndvlem9  37478  bj-bary1lem  38324  bj-bary1  38326  poimirlem29  38660  opnmbllem0  38667  dvtan  38681  ftc1cnnclem  38702  dvasin  38715  areacirclem1  38719  aks4d1p1p2  43213  aks4d1p1p4  43214  aks4d1p1p7  43217  cxp112d  43485  cxp111d  43486  3cubeslem4  43792  reglogmul  43993  binomcxplemwb  45425  clim1fr1  46706  coseq0  46967  stirlinglem4  47180  stirlinglem6  47182  dirkerper  47199  dirkertrigeqlem3  47203  dirkercncflem1  47206  dirkercncflem2  47207  fourierdlem4  47214  fourierdlem26  47236  fourierdlem42  47252  fourierdlem83  47292  fourierdlem112  47321  sqwvfourb  47332  etransclem44  47381  quad1  48811  requad1  48813  perfectALTVlem2  48913  eenglngeehlnmlem1  49943  line2  49957  itsclc0xyqsolr  49974  itsclquadb  49981  cotsqcscsq  51023