Theorem divdird 12055

Description: Distribution of division over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divdir 11921	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1376	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  0cc0 11129   + caddc 11132   / cdiv 11894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895

This theorem is referenced by:  zesq  14244  sqreulem  15378  bitsp1o  16452  bitsmod  16455  lcmgcdlem  16625  pythagtriplem19  16853  fldivp1  16917  mul4sqlem  16973  4sqlem17  16981  metnrmlem3  24801  pcoass  24975  ovollb2lem  25441  opnmbllem  25554  dvaddbr  25892  dvmulbr  25893  dvmulbrOLD  25894  ftc1lem4  25998  vieta1lem2  26271  cosargd  26569  tanarg  26580  cxpaddle  26714  cxpeq  26719  dcubic1lem  26805  dcubic2  26806  mcubic  26809  cubic2  26810  dquartlem1  26813  dquart  26815  cosatan  26883  atantan  26885  dvatan  26897  jensenlem2  26950  logdifbnd  26956  emcllem3  26960  emcllem5  26962  dmgmdivn0  26990  lgamgulmlem2  26992  lgamgulmlem5  26995  lgamcvg2  27017  lgam1  27026  basellem3  27045  basellem8  27050  perfectlem2  27193  bclbnd  27243  lgseisenlem1  27338  lgsquad2lem1  27347  dchrvmasum2if  27460  selberg3  27522  selberg4  27524  selberg34r  27534  pntrlog2bndlem2  27541  pntrlog2bndlem4  27543  pntrlog2bndlem5  27544  pntrlog2bndlem6  27546  pntibndlem2  27554  brbtwn2  28884  axsegconlem10  28905  axeuclidlem  28941  axcontlem8  28950  quad3d  32727  constrrtlc1  33766  constrresqrtcl  33811  dya2icoseg  34309  divcnvlin  35750  iprodgam  35759  knoppndvlem9  36538  bj-bary1lem  37328  bj-bary1  37330  poimirlem29  37673  opnmbllem0  37680  dvtan  37694  ftc1cnnclem  37715  dvasin  37728  areacirclem1  37732  aks4d1p1p2  42083  aks4d1p1p4  42084  aks4d1p1p7  42087  cxp112d  42390  cxp111d  42391  fltdiv  42659  flt4lem6  42681  3cubeslem4  42712  reglogmul  42916  binomcxplemwb  44372  clim1fr1  45630  coseq0  45893  stirlinglem4  46106  stirlinglem6  46108  dirkerper  46125  dirkertrigeqlem3  46129  dirkercncflem1  46132  dirkercncflem2  46133  fourierdlem4  46140  fourierdlem26  46162  fourierdlem42  46178  fourierdlem83  46218  fourierdlem112  46247  sqwvfourb  46258  etransclem44  46307  quad1  47634  requad1  47636  perfectALTVlem2  47736  eenglngeehlnmlem1  48717  line2  48732  itsclc0xyqsolr  48749  itsclquadb  48756  cotsqcscsq  49626