MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divdird Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divdird 11448
Description: Distribution of division over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4 (𝜑𝐶 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divdird (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divdird
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 divmuld.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 divassd.4 . 2 (𝜑𝐶 ≠ 0)
5 divdir 11317 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
61, 2, 3, 4, 5syl112anc 1368 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  (class class class)co 7150  cc 10529  0cc0 10531   + caddc 10534   / cdiv 11291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292
This theorem is referenced by:  zesq  13582  sqreulem  14714  bitsp1o  15777  bitsmod  15780  lcmgcdlem  15945  pythagtriplem19  16165  fldivp1  16228  mul4sqlem  16284  4sqlem17  16292  metnrmlem3  23403  pcoass  23562  ovollb2lem  24023  opnmbllem  24136  dvaddbr  24469  dvmulbr  24470  ftc1lem4  24570  vieta1lem2  24834  cosargd  25123  tanarg  25134  cxpaddle  25265  cxpeq  25270  dcubic1lem  25353  dcubic2  25354  mcubic  25357  cubic2  25358  dquartlem1  25361  dquart  25363  cosatan  25431  atantan  25433  dvatan  25445  jensenlem2  25498  logdifbnd  25504  emcllem3  25508  emcllem5  25510  dmgmdivn0  25538  lgamgulmlem2  25540  lgamgulmlem5  25543  lgamcvg2  25565  lgam1  25574  basellem3  25593  basellem8  25598  perfectlem2  25739  bclbnd  25789  lgseisenlem1  25884  lgsquad2lem1  25893  dchrvmasum2if  26006  selberg3  26068  selberg4  26070  selberg34r  26080  pntrlog2bndlem2  26087  pntrlog2bndlem4  26089  pntrlog2bndlem5  26090  pntrlog2bndlem6  26092  pntibndlem2  26100  brbtwn2  26624  axsegconlem10  26645  axeuclidlem  26681  axcontlem8  26690  dya2icoseg  31440  divcnvlin  32867  iprodgam  32877  knoppndvlem9  33762  bj-bary1lem  34485  bj-bary1  34487  poimirlem29  34807  opnmbllem0  34814  dvtan  34828  ftc1cnnclem  34851  dvasin  34864  areacirclem1  34868  3cubeslem4  39170  reglogmul  39374  binomcxplemwb  40564  clim1fr1  41766  coseq0  42029  stirlinglem4  42247  stirlinglem6  42249  dirkerper  42266  dirkertrigeqlem3  42270  dirkercncflem1  42273  dirkercncflem2  42274  fourierdlem4  42281  fourierdlem26  42303  fourierdlem42  42319  fourierdlem83  42359  fourierdlem112  42388  sqwvfourb  42399  etransclem44  42448  quad1  43636  requad1  43638  perfectALTVlem2  43738  eenglngeehlnmlem1  44626  line2  44641  itsclc0xyqsolr  44658  itsclquadb  44665  cotsqcscsq  44763
  Copyright terms: Public domain W3C validator