Theorem divdird 11996

Description: Distribution of division over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divdir 11862	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1376	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068   + caddc 11071   / cdiv 11835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836

This theorem is referenced by:  zesq  14191  sqreulem  15326  bitsp1o  16403  bitsmod  16406  lcmgcdlem  16576  pythagtriplem19  16804  fldivp1  16868  mul4sqlem  16924  4sqlem17  16932  metnrmlem3  24750  pcoass  24924  ovollb2lem  25389  opnmbllem  25502  dvaddbr  25840  dvmulbr  25841  dvmulbrOLD  25842  ftc1lem4  25946  vieta1lem2  26219  cosargd  26517  tanarg  26528  cxpaddle  26662  cxpeq  26667  dcubic1lem  26753  dcubic2  26754  mcubic  26757  cubic2  26758  dquartlem1  26761  dquart  26763  cosatan  26831  atantan  26833  dvatan  26845  jensenlem2  26898  logdifbnd  26904  emcllem3  26908  emcllem5  26910  dmgmdivn0  26938  lgamgulmlem2  26940  lgamgulmlem5  26943  lgamcvg2  26965  lgam1  26974  basellem3  26993  basellem8  26998  perfectlem2  27141  bclbnd  27191  lgseisenlem1  27286  lgsquad2lem1  27295  dchrvmasum2if  27408  selberg3  27470  selberg4  27472  selberg34r  27482  pntrlog2bndlem2  27489  pntrlog2bndlem4  27491  pntrlog2bndlem5  27492  pntrlog2bndlem6  27494  pntibndlem2  27502  brbtwn2  28832  axsegconlem10  28853  axeuclidlem  28889  axcontlem8  28898  quad3d  32673  constrrtlc1  33722  constrresqrtcl  33767  dya2icoseg  34268  divcnvlin  35720  iprodgam  35729  knoppndvlem9  36508  bj-bary1lem  37298  bj-bary1  37300  poimirlem29  37643  opnmbllem0  37650  dvtan  37664  ftc1cnnclem  37685  dvasin  37698  areacirclem1  37702  aks4d1p1p2  42058  aks4d1p1p4  42059  aks4d1p1p7  42062  cxp112d  42329  cxp111d  42330  fltdiv  42624  flt4lem6  42646  3cubeslem4  42677  reglogmul  42881  binomcxplemwb  44337  clim1fr1  45599  coseq0  45862  stirlinglem4  46075  stirlinglem6  46077  dirkerper  46094  dirkertrigeqlem3  46098  dirkercncflem1  46101  dirkercncflem2  46102  fourierdlem4  46109  fourierdlem26  46131  fourierdlem42  46147  fourierdlem83  46187  fourierdlem112  46216  sqwvfourb  46227  etransclem44  46276  quad1  47621  requad1  47623  perfectALTVlem2  47723  eenglngeehlnmlem1  48726  line2  48741  itsclc0xyqsolr  48758  itsclquadb  48765  cotsqcscsq  49751