Theorem divdird 11789

Description: Distribution of division over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divdir 11658	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871   + caddc 10874   / cdiv 11632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633

This theorem is referenced by:  zesq  13941  sqreulem  15071  bitsp1o  16140  bitsmod  16143  lcmgcdlem  16311  pythagtriplem19  16534  fldivp1  16598  mul4sqlem  16654  4sqlem17  16662  metnrmlem3  24024  pcoass  24187  ovollb2lem  24652  opnmbllem  24765  dvaddbr  25102  dvmulbr  25103  ftc1lem4  25203  vieta1lem2  25471  cosargd  25763  tanarg  25774  cxpaddle  25905  cxpeq  25910  dcubic1lem  25993  dcubic2  25994  mcubic  25997  cubic2  25998  dquartlem1  26001  dquart  26003  cosatan  26071  atantan  26073  dvatan  26085  jensenlem2  26137  logdifbnd  26143  emcllem3  26147  emcllem5  26149  dmgmdivn0  26177  lgamgulmlem2  26179  lgamgulmlem5  26182  lgamcvg2  26204  lgam1  26213  basellem3  26232  basellem8  26237  perfectlem2  26378  bclbnd  26428  lgseisenlem1  26523  lgsquad2lem1  26532  dchrvmasum2if  26645  selberg3  26707  selberg4  26709  selberg34r  26719  pntrlog2bndlem2  26726  pntrlog2bndlem4  26728  pntrlog2bndlem5  26729  pntrlog2bndlem6  26731  pntibndlem2  26739  brbtwn2  27273  axsegconlem10  27294  axeuclidlem  27330  axcontlem8  27339  dya2icoseg  32244  divcnvlin  33698  iprodgam  33708  knoppndvlem9  34700  bj-bary1lem  35481  bj-bary1  35483  poimirlem29  35806  opnmbllem0  35813  dvtan  35827  ftc1cnnclem  35848  dvasin  35861  areacirclem1  35865  aks4d1p1p2  40078  aks4d1p1p4  40079  aks4d1p1p7  40082  fltdiv  40473  flt4lem6  40495  3cubeslem4  40511  reglogmul  40715  binomcxplemwb  41966  clim1fr1  43142  coseq0  43405  stirlinglem4  43618  stirlinglem6  43620  dirkerper  43637  dirkertrigeqlem3  43641  dirkercncflem1  43644  dirkercncflem2  43645  fourierdlem4  43652  fourierdlem26  43674  fourierdlem42  43690  fourierdlem83  43730  fourierdlem112  43759  sqwvfourb  43770  etransclem44  43819  quad1  45072  requad1  45074  perfectALTVlem2  45174  eenglngeehlnmlem1  46083  line2  46098  itsclc0xyqsolr  46115  itsclquadb  46122  cotsqcscsq  46464