Theorem divdird 11960

Description: Distribution of division over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divdir 11825	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1377	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  0cc0 11029   + caddc 11032   / cdiv 11798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799

This theorem is referenced by:  zesq  14179  sqreulem  15313  bitsp1o  16393  bitsmod  16396  lcmgcdlem  16566  pythagtriplem19  16795  fldivp1  16859  mul4sqlem  16915  4sqlem17  16923  metnrmlem3  24837  pcoass  25001  ovollb2lem  25465  opnmbllem  25578  dvaddbr  25915  dvmulbr  25916  ftc1lem4  26016  vieta1lem2  26288  cosargd  26585  tanarg  26596  cxpaddle  26729  cxpeq  26734  dcubic1lem  26820  dcubic2  26821  mcubic  26824  cubic2  26825  dquartlem1  26828  dquart  26830  cosatan  26898  atantan  26900  dvatan  26912  jensenlem2  26965  logdifbnd  26971  emcllem3  26975  emcllem5  26977  dmgmdivn0  27005  lgamgulmlem2  27007  lgamgulmlem5  27010  lgamcvg2  27032  lgam1  27041  basellem3  27060  basellem8  27065  perfectlem2  27207  bclbnd  27257  lgseisenlem1  27352  lgsquad2lem1  27361  dchrvmasum2if  27474  selberg3  27536  selberg4  27538  selberg34r  27548  pntrlog2bndlem2  27555  pntrlog2bndlem4  27557  pntrlog2bndlem5  27558  pntrlog2bndlem6  27560  pntibndlem2  27568  brbtwn2  28988  axsegconlem10  29009  axeuclidlem  29045  axcontlem8  29054  quad3d  32837  constrrtlc1  33892  constrresqrtcl  33937  dya2icoseg  34437  divcnvlin  35931  iprodgam  35940  knoppndvlem9  36796  bj-bary1lem  37640  bj-bary1  37642  poimirlem29  37984  opnmbllem0  37991  dvtan  38005  ftc1cnnclem  38026  dvasin  38039  areacirclem1  38043  aks4d1p1p2  42523  aks4d1p1p4  42524  aks4d1p1p7  42527  cxp112d  42787  cxp111d  42788  fltdiv  43083  flt4lem6  43105  3cubeslem4  43135  reglogmul  43339  binomcxplemwb  44793  clim1fr1  46049  coseq0  46310  stirlinglem4  46523  stirlinglem6  46525  dirkerper  46542  dirkertrigeqlem3  46546  dirkercncflem1  46549  dirkercncflem2  46550  fourierdlem4  46557  fourierdlem26  46579  fourierdlem42  46595  fourierdlem83  46635  fourierdlem112  46664  sqwvfourb  46675  etransclem44  46724  quad1  48108  requad1  48110  perfectALTVlem2  48210  eenglngeehlnmlem1  49225  line2  49240  itsclc0xyqsolr  49257  itsclquadb  49264  cotsqcscsq  50249