Theorem divdird 12003

Description: Distribution of division over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divdir 11869	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1376	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075   + caddc 11078   / cdiv 11842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843

This theorem is referenced by:  zesq  14198  sqreulem  15333  bitsp1o  16410  bitsmod  16413  lcmgcdlem  16583  pythagtriplem19  16811  fldivp1  16875  mul4sqlem  16931  4sqlem17  16939  metnrmlem3  24757  pcoass  24931  ovollb2lem  25396  opnmbllem  25509  dvaddbr  25847  dvmulbr  25848  dvmulbrOLD  25849  ftc1lem4  25953  vieta1lem2  26226  cosargd  26524  tanarg  26535  cxpaddle  26669  cxpeq  26674  dcubic1lem  26760  dcubic2  26761  mcubic  26764  cubic2  26765  dquartlem1  26768  dquart  26770  cosatan  26838  atantan  26840  dvatan  26852  jensenlem2  26905  logdifbnd  26911  emcllem3  26915  emcllem5  26917  dmgmdivn0  26945  lgamgulmlem2  26947  lgamgulmlem5  26950  lgamcvg2  26972  lgam1  26981  basellem3  27000  basellem8  27005  perfectlem2  27148  bclbnd  27198  lgseisenlem1  27293  lgsquad2lem1  27302  dchrvmasum2if  27415  selberg3  27477  selberg4  27479  selberg34r  27489  pntrlog2bndlem2  27496  pntrlog2bndlem4  27498  pntrlog2bndlem5  27499  pntrlog2bndlem6  27501  pntibndlem2  27509  brbtwn2  28839  axsegconlem10  28860  axeuclidlem  28896  axcontlem8  28905  quad3d  32680  constrrtlc1  33729  constrresqrtcl  33774  dya2icoseg  34275  divcnvlin  35727  iprodgam  35736  knoppndvlem9  36515  bj-bary1lem  37305  bj-bary1  37307  poimirlem29  37650  opnmbllem0  37657  dvtan  37671  ftc1cnnclem  37692  dvasin  37705  areacirclem1  37709  aks4d1p1p2  42065  aks4d1p1p4  42066  aks4d1p1p7  42069  cxp112d  42336  cxp111d  42337  fltdiv  42631  flt4lem6  42653  3cubeslem4  42684  reglogmul  42888  binomcxplemwb  44344  clim1fr1  45606  coseq0  45869  stirlinglem4  46082  stirlinglem6  46084  dirkerper  46101  dirkertrigeqlem3  46105  dirkercncflem1  46108  dirkercncflem2  46109  fourierdlem4  46116  fourierdlem26  46138  fourierdlem42  46154  fourierdlem83  46194  fourierdlem112  46223  sqwvfourb  46234  etransclem44  46283  quad1  47625  requad1  47627  perfectALTVlem2  47727  eenglngeehlnmlem1  48730  line2  48745  itsclc0xyqsolr  48762  itsclquadb  48769  cotsqcscsq  49755