Theorem divdird 11969

Description: Distribution of division over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divdir 11834	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1377	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038   + caddc 11041   / cdiv 11807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808

This theorem is referenced by:  zesq  14188  sqreulem  15322  bitsp1o  16402  bitsmod  16405  lcmgcdlem  16575  pythagtriplem19  16804  fldivp1  16868  mul4sqlem  16924  4sqlem17  16932  metnrmlem3  24827  pcoass  24991  ovollb2lem  25455  opnmbllem  25568  dvaddbr  25905  dvmulbr  25906  ftc1lem4  26006  vieta1lem2  26277  cosargd  26572  tanarg  26583  cxpaddle  26716  cxpeq  26721  dcubic1lem  26807  dcubic2  26808  mcubic  26811  cubic2  26812  dquartlem1  26815  dquart  26817  cosatan  26885  atantan  26887  dvatan  26899  jensenlem2  26951  logdifbnd  26957  emcllem3  26961  emcllem5  26963  dmgmdivn0  26991  lgamgulmlem2  26993  lgamgulmlem5  26996  lgamcvg2  27018  lgam1  27027  basellem3  27046  basellem8  27051  perfectlem2  27193  bclbnd  27243  lgseisenlem1  27338  lgsquad2lem1  27347  dchrvmasum2if  27460  selberg3  27522  selberg4  27524  selberg34r  27534  pntrlog2bndlem2  27541  pntrlog2bndlem4  27543  pntrlog2bndlem5  27544  pntrlog2bndlem6  27546  pntibndlem2  27554  brbtwn2  28974  axsegconlem10  28995  axeuclidlem  29031  axcontlem8  29040  quad3d  32822  constrrtlc1  33876  constrresqrtcl  33921  dya2icoseg  34421  divcnvlin  35915  iprodgam  35924  knoppndvlem9  36780  bj-bary1lem  37624  bj-bary1  37626  poimirlem29  37970  opnmbllem0  37977  dvtan  37991  ftc1cnnclem  38012  dvasin  38025  areacirclem1  38029  aks4d1p1p2  42509  aks4d1p1p4  42510  aks4d1p1p7  42513  cxp112d  42773  cxp111d  42774  fltdiv  43069  flt4lem6  43091  3cubeslem4  43121  reglogmul  43321  binomcxplemwb  44775  clim1fr1  46031  coseq0  46292  stirlinglem4  46505  stirlinglem6  46507  dirkerper  46524  dirkertrigeqlem3  46528  dirkercncflem1  46531  dirkercncflem2  46532  fourierdlem4  46539  fourierdlem26  46561  fourierdlem42  46577  fourierdlem83  46617  fourierdlem112  46646  sqwvfourb  46657  etransclem44  46706  quad1  48096  requad1  48098  perfectALTVlem2  48198  eenglngeehlnmlem1  49213  line2  49228  itsclc0xyqsolr  49245  itsclquadb  49252  cotsqcscsq  50237