Theorem divdird 12028

Description: Distribution of division over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divdir 11897	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1375	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  0cc0 11110   + caddc 11113   / cdiv 11871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872

This theorem is referenced by:  zesq  14189  sqreulem  15306  bitsp1o  16374  bitsmod  16377  lcmgcdlem  16543  pythagtriplem19  16766  fldivp1  16830  mul4sqlem  16886  4sqlem17  16894  metnrmlem3  24377  pcoass  24540  ovollb2lem  25005  opnmbllem  25118  dvaddbr  25455  dvmulbr  25456  ftc1lem4  25556  vieta1lem2  25824  cosargd  26116  tanarg  26127  cxpaddle  26260  cxpeq  26265  dcubic1lem  26348  dcubic2  26349  mcubic  26352  cubic2  26353  dquartlem1  26356  dquart  26358  cosatan  26426  atantan  26428  dvatan  26440  jensenlem2  26492  logdifbnd  26498  emcllem3  26502  emcllem5  26504  dmgmdivn0  26532  lgamgulmlem2  26534  lgamgulmlem5  26537  lgamcvg2  26559  lgam1  26568  basellem3  26587  basellem8  26592  perfectlem2  26733  bclbnd  26783  lgseisenlem1  26878  lgsquad2lem1  26887  dchrvmasum2if  27000  selberg3  27062  selberg4  27064  selberg34r  27074  pntrlog2bndlem2  27081  pntrlog2bndlem4  27083  pntrlog2bndlem5  27084  pntrlog2bndlem6  27086  pntibndlem2  27094  brbtwn2  28163  axsegconlem10  28184  axeuclidlem  28220  axcontlem8  28229  dya2icoseg  33276  divcnvlin  34702  iprodgam  34712  gg-dvmulbr  35175  knoppndvlem9  35396  bj-bary1lem  36191  bj-bary1  36193  poimirlem29  36517  opnmbllem0  36524  dvtan  36538  ftc1cnnclem  36559  dvasin  36572  areacirclem1  36576  aks4d1p1p2  40935  aks4d1p1p4  40936  aks4d1p1p7  40939  fltdiv  41378  flt4lem6  41400  3cubeslem4  41427  reglogmul  41631  binomcxplemwb  43107  clim1fr1  44317  coseq0  44580  stirlinglem4  44793  stirlinglem6  44795  dirkerper  44812  dirkertrigeqlem3  44816  dirkercncflem1  44819  dirkercncflem2  44820  fourierdlem4  44827  fourierdlem26  44849  fourierdlem42  44865  fourierdlem83  44905  fourierdlem112  44934  sqwvfourb  44945  etransclem44  44994  quad1  46288  requad1  46290  perfectALTVlem2  46390  eenglngeehlnmlem1  47423  line2  47438  itsclc0xyqsolr  47455  itsclquadb  47462  cotsqcscsq  47807