Theorem divdird 11443

Description: Distribution of division over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divdir 11312	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1371	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  0cc0 10526   + caddc 10529   / cdiv 11286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287

This theorem is referenced by:  zesq  13583  sqreulem  14711  bitsp1o  15772  bitsmod  15775  lcmgcdlem  15940  pythagtriplem19  16160  fldivp1  16223  mul4sqlem  16279  4sqlem17  16287  metnrmlem3  23466  pcoass  23629  ovollb2lem  24092  opnmbllem  24205  dvaddbr  24541  dvmulbr  24542  ftc1lem4  24642  vieta1lem2  24907  cosargd  25199  tanarg  25210  cxpaddle  25341  cxpeq  25346  dcubic1lem  25429  dcubic2  25430  mcubic  25433  cubic2  25434  dquartlem1  25437  dquart  25439  cosatan  25507  atantan  25509  dvatan  25521  jensenlem2  25573  logdifbnd  25579  emcllem3  25583  emcllem5  25585  dmgmdivn0  25613  lgamgulmlem2  25615  lgamgulmlem5  25618  lgamcvg2  25640  lgam1  25649  basellem3  25668  basellem8  25673  perfectlem2  25814  bclbnd  25864  lgseisenlem1  25959  lgsquad2lem1  25968  dchrvmasum2if  26081  selberg3  26143  selberg4  26145  selberg34r  26155  pntrlog2bndlem2  26162  pntrlog2bndlem4  26164  pntrlog2bndlem5  26165  pntrlog2bndlem6  26167  pntibndlem2  26175  brbtwn2  26699  axsegconlem10  26720  axeuclidlem  26756  axcontlem8  26765  dya2icoseg  31645  divcnvlin  33077  iprodgam  33087  knoppndvlem9  33972  bj-bary1lem  34724  bj-bary1  34726  poimirlem29  35086  opnmbllem0  35093  dvtan  35107  ftc1cnnclem  35128  dvasin  35141  areacirclem1  35145  3cubeslem4  39630  reglogmul  39834  binomcxplemwb  41052  clim1fr1  42243  coseq0  42506  stirlinglem4  42719  stirlinglem6  42721  dirkerper  42738  dirkertrigeqlem3  42742  dirkercncflem1  42745  dirkercncflem2  42746  fourierdlem4  42753  fourierdlem26  42775  fourierdlem42  42791  fourierdlem83  42831  fourierdlem112  42860  sqwvfourb  42871  etransclem44  42920  quad1  44138  requad1  44140  perfectALTVlem2  44240  eenglngeehlnmlem1  45151  line2  45166  itsclc0xyqsolr  45183  itsclquadb  45190  cotsqcscsq  45288