Theorem divdird 12158

Description: Distribution of division over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divdir 12026	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1402	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  0cc0 11227   + caddc 11230   / cdiv 12000

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001

This theorem is used by:  zesq  14397  sqreulem  15556  bitsp1o  16632  bitsmod  16635  lcmgcdlem  16810  pythagtriplem19  17040  fldivp1  17104  mul4sqlem  17160  4sqlem17  17168  metnrmlem3  25211  pcoass  25375  ovollb2lem  25839  opnmbllem  25952  dvaddbr  26288  dvmulbr  26289  ftc1lem4  26389  vieta1lem2  26664  cosargd  26966  tanarg  26977  cxpaddle  27110  cxpeq  27115  dcubic1lem  27201  dcubic2  27202  mcubic  27205  cubic2  27206  dquartlem1  27209  dquart  27211  cosatan  27279  atantan  27281  dvatan  27293  jensenlem2  27345  logdifbnd  27351  emcllem3  27355  emcllem5  27357  dmgmdivn0  27385  lgamgulmlem2  27387  lgamgulmlem5  27390  lgamcvg2  27412  lgam1  27421  basellem3  27440  basellem8  27445  perfectlem2  27587  bclbnd  27637  lgseisenlem1  27732  lgsquad2lem1  27741  dchrvmasum2if  27854  selberg3  27916  selberg4  27918  selberg34r  27928  pntrlog2bndlem2  27935  pntrlog2bndlem4  27937  pntrlog2bndlem5  27938  pntrlog2bndlem6  27940  pntibndlem2  27948  fltdiv  27998  flt4lem6  28018  brbtwn2  29513  axsegconlem10  29534  axeuclidlem  29570  axcontlem8  29579  quad3d  33411  constrrtlc1  34434  constrresqrtcl  34479  dya2icoseg  34979  divcnvlin  36676  iprodgam  36685  knoppndvlem9  37564  bj-bary1lem  38423  bj-bary1  38425  poimirlem29  38759  opnmbllem0  38766  dvtan  38780  ftc1cnnclem  38801  dvasin  38814  areacirclem1  38818  aks4d1p1p2  43312  aks4d1p1p4  43313  aks4d1p1p7  43316  cxp112d  43585  cxp111d  43586  3cubeslem4  43892  reglogmul  44093  binomcxplemwb  45524  clim1fr1  46818  coseq0  47079  stirlinglem4  47292  stirlinglem6  47294  dirkerper  47311  dirkertrigeqlem3  47315  dirkercncflem1  47318  dirkercncflem2  47319  fourierdlem4  47326  fourierdlem26  47348  fourierdlem42  47364  fourierdlem83  47404  fourierdlem112  47433  sqwvfourb  47444  etransclem44  47493  quad1  48923  requad1  48925  perfectALTVlem2  49025  eenglngeehlnmlem1  50055  line2  50069  itsclc0xyqsolr  50086  itsclquadb  50093  cotsqcscsq  51135