Theorem divdird 12112

Description: Distribution of division over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divdir 11980	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1401	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  0cc0 11181   + caddc 11184   / cdiv 11954

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955

This theorem is used by:  zesq  14350  sqreulem  15507  bitsp1o  16583  bitsmod  16586  lcmgcdlem  16761  pythagtriplem19  16991  fldivp1  17055  mul4sqlem  17111  4sqlem17  17119  metnrmlem3  25161  pcoass  25325  ovollb2lem  25789  opnmbllem  25902  dvaddbr  26238  dvmulbr  26239  ftc1lem4  26339  vieta1lem2  26616  cosargd  26918  tanarg  26929  cxpaddle  27062  cxpeq  27067  dcubic1lem  27153  dcubic2  27154  mcubic  27157  cubic2  27158  dquartlem1  27161  dquart  27163  cosatan  27231  atantan  27233  dvatan  27245  jensenlem2  27297  logdifbnd  27303  emcllem3  27307  emcllem5  27309  dmgmdivn0  27337  lgamgulmlem2  27339  lgamgulmlem5  27342  lgamcvg2  27364  lgam1  27373  basellem3  27392  basellem8  27397  perfectlem2  27539  bclbnd  27589  lgseisenlem1  27684  lgsquad2lem1  27693  dchrvmasum2if  27806  selberg3  27868  selberg4  27870  selberg34r  27880  pntrlog2bndlem2  27887  pntrlog2bndlem4  27889  pntrlog2bndlem5  27890  pntrlog2bndlem6  27892  pntibndlem2  27900  fltdiv  27950  flt4lem6  27970  brbtwn2  29465  axsegconlem10  29486  axeuclidlem  29522  axcontlem8  29531  quad3d  33323  constrrtlc1  34346  constrresqrtcl  34391  dya2icoseg  34892  divcnvlin  36467  iprodgam  36476  knoppndvlem9  37356  bj-bary1lem  38199  bj-bary1  38201  poimirlem29  38535  opnmbllem0  38542  dvtan  38556  ftc1cnnclem  38577  dvasin  38590  areacirclem1  38594  aks4d1p1p2  43088  aks4d1p1p4  43089  aks4d1p1p7  43092  cxp112d  43360  cxp111d  43361  3cubeslem4  43653  reglogmul  43853  binomcxplemwb  45291  clim1fr1  46557  coseq0  46818  stirlinglem4  47031  stirlinglem6  47033  dirkerper  47050  dirkertrigeqlem3  47054  dirkercncflem1  47057  dirkercncflem2  47058  fourierdlem4  47065  fourierdlem26  47087  fourierdlem42  47103  fourierdlem83  47143  fourierdlem112  47172  sqwvfourb  47183  etransclem44  47232  quad1  48662  requad1  48664  perfectALTVlem2  48764  eenglngeehlnmlem1  49793  line2  49808  itsclc0xyqsolr  49825  itsclquadb  49832  cotsqcscsq  50799