Theorem divdird 11545

Description: Distribution of division over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divdir 11414	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1375	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2935  (class class class)co 7183  ℂcc 10626  0cc0 10628   + caddc 10631   / cdiv 11388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4807  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-id 5439  df-po 5452  df-so 5453  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-er 8333  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-div 11389

This theorem is referenced by:  zesq  13692  sqreulem  14822  bitsp1o  15889  bitsmod  15892  lcmgcdlem  16060  pythagtriplem19  16283  fldivp1  16346  mul4sqlem  16402  4sqlem17  16410  metnrmlem3  23626  pcoass  23789  ovollb2lem  24253  opnmbllem  24366  dvaddbr  24703  dvmulbr  24704  ftc1lem4  24804  vieta1lem2  25072  cosargd  25364  tanarg  25375  cxpaddle  25506  cxpeq  25511  dcubic1lem  25594  dcubic2  25595  mcubic  25598  cubic2  25599  dquartlem1  25602  dquart  25604  cosatan  25672  atantan  25674  dvatan  25686  jensenlem2  25738  logdifbnd  25744  emcllem3  25748  emcllem5  25750  dmgmdivn0  25778  lgamgulmlem2  25780  lgamgulmlem5  25783  lgamcvg2  25805  lgam1  25814  basellem3  25833  basellem8  25838  perfectlem2  25979  bclbnd  26029  lgseisenlem1  26124  lgsquad2lem1  26133  dchrvmasum2if  26246  selberg3  26308  selberg4  26310  selberg34r  26320  pntrlog2bndlem2  26327  pntrlog2bndlem4  26329  pntrlog2bndlem5  26330  pntrlog2bndlem6  26332  pntibndlem2  26340  brbtwn2  26864  axsegconlem10  26885  axeuclidlem  26921  axcontlem8  26930  dya2icoseg  31827  divcnvlin  33284  iprodgam  33294  knoppndvlem9  34356  bj-bary1lem  35134  bj-bary1  35136  poimirlem29  35462  opnmbllem0  35469  dvtan  35483  ftc1cnnclem  35504  dvasin  35517  areacirclem1  35521  aks4d1p1p2  39730  aks4d1p1p4  39731  aks4d1p1p7  39734  fltdiv  40086  flt4lem6  40108  3cubeslem4  40124  reglogmul  40328  binomcxplemwb  41545  clim1fr1  42725  coseq0  42988  stirlinglem4  43201  stirlinglem6  43203  dirkerper  43220  dirkertrigeqlem3  43224  dirkercncflem1  43227  dirkercncflem2  43228  fourierdlem4  43235  fourierdlem26  43257  fourierdlem42  43273  fourierdlem83  43313  fourierdlem112  43342  sqwvfourb  43353  etransclem44  43402  quad1  44654  requad1  44656  perfectALTVlem2  44756  eenglngeehlnmlem1  45665  line2  45680  itsclc0xyqsolr  45697  itsclquadb  45704  cotsqcscsq  45965