Theorem divdird 11956

Description: Distribution of division over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divdir 11822	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1376	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  0cc0 11028   + caddc 11031   / cdiv 11795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796

This theorem is referenced by:  zesq  14151  sqreulem  15285  bitsp1o  16362  bitsmod  16365  lcmgcdlem  16535  pythagtriplem19  16763  fldivp1  16827  mul4sqlem  16883  4sqlem17  16891  metnrmlem3  24766  pcoass  24940  ovollb2lem  25405  opnmbllem  25518  dvaddbr  25856  dvmulbr  25857  dvmulbrOLD  25858  ftc1lem4  25962  vieta1lem2  26235  cosargd  26533  tanarg  26544  cxpaddle  26678  cxpeq  26683  dcubic1lem  26769  dcubic2  26770  mcubic  26773  cubic2  26774  dquartlem1  26777  dquart  26779  cosatan  26847  atantan  26849  dvatan  26861  jensenlem2  26914  logdifbnd  26920  emcllem3  26924  emcllem5  26926  dmgmdivn0  26954  lgamgulmlem2  26956  lgamgulmlem5  26959  lgamcvg2  26981  lgam1  26990  basellem3  27009  basellem8  27014  perfectlem2  27157  bclbnd  27207  lgseisenlem1  27302  lgsquad2lem1  27311  dchrvmasum2if  27424  selberg3  27486  selberg4  27488  selberg34r  27498  pntrlog2bndlem2  27505  pntrlog2bndlem4  27507  pntrlog2bndlem5  27508  pntrlog2bndlem6  27510  pntibndlem2  27518  brbtwn2  28868  axsegconlem10  28889  axeuclidlem  28925  axcontlem8  28934  quad3d  32706  constrrtlc1  33698  constrresqrtcl  33743  dya2icoseg  34244  divcnvlin  35705  iprodgam  35714  knoppndvlem9  36493  bj-bary1lem  37283  bj-bary1  37285  poimirlem29  37628  opnmbllem0  37635  dvtan  37649  ftc1cnnclem  37670  dvasin  37683  areacirclem1  37687  aks4d1p1p2  42043  aks4d1p1p4  42044  aks4d1p1p7  42047  cxp112d  42314  cxp111d  42315  fltdiv  42609  flt4lem6  42631  3cubeslem4  42662  reglogmul  42866  binomcxplemwb  44321  clim1fr1  45583  coseq0  45846  stirlinglem4  46059  stirlinglem6  46061  dirkerper  46078  dirkertrigeqlem3  46082  dirkercncflem1  46085  dirkercncflem2  46086  fourierdlem4  46093  fourierdlem26  46115  fourierdlem42  46131  fourierdlem83  46171  fourierdlem112  46200  sqwvfourb  46211  etransclem44  46260  quad1  47605  requad1  47607  perfectALTVlem2  47707  eenglngeehlnmlem1  48723  line2  48738  itsclc0xyqsolr  48755  itsclquadb  48762  cotsqcscsq  49748