Theorem divdird 11719

Description: Distribution of division over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divdir 11588	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1372	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802   + caddc 10805   / cdiv 11562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563

This theorem is referenced by:  zesq  13869  sqreulem  14999  bitsp1o  16068  bitsmod  16071  lcmgcdlem  16239  pythagtriplem19  16462  fldivp1  16526  mul4sqlem  16582  4sqlem17  16590  metnrmlem3  23930  pcoass  24093  ovollb2lem  24557  opnmbllem  24670  dvaddbr  25007  dvmulbr  25008  ftc1lem4  25108  vieta1lem2  25376  cosargd  25668  tanarg  25679  cxpaddle  25810  cxpeq  25815  dcubic1lem  25898  dcubic2  25899  mcubic  25902  cubic2  25903  dquartlem1  25906  dquart  25908  cosatan  25976  atantan  25978  dvatan  25990  jensenlem2  26042  logdifbnd  26048  emcllem3  26052  emcllem5  26054  dmgmdivn0  26082  lgamgulmlem2  26084  lgamgulmlem5  26087  lgamcvg2  26109  lgam1  26118  basellem3  26137  basellem8  26142  perfectlem2  26283  bclbnd  26333  lgseisenlem1  26428  lgsquad2lem1  26437  dchrvmasum2if  26550  selberg3  26612  selberg4  26614  selberg34r  26624  pntrlog2bndlem2  26631  pntrlog2bndlem4  26633  pntrlog2bndlem5  26634  pntrlog2bndlem6  26636  pntibndlem2  26644  brbtwn2  27176  axsegconlem10  27197  axeuclidlem  27233  axcontlem8  27242  dya2icoseg  32144  divcnvlin  33604  iprodgam  33614  knoppndvlem9  34627  bj-bary1lem  35408  bj-bary1  35410  poimirlem29  35733  opnmbllem0  35740  dvtan  35754  ftc1cnnclem  35775  dvasin  35788  areacirclem1  35792  aks4d1p1p2  40006  aks4d1p1p4  40007  aks4d1p1p7  40010  fltdiv  40389  flt4lem6  40411  3cubeslem4  40427  reglogmul  40631  binomcxplemwb  41855  clim1fr1  43032  coseq0  43295  stirlinglem4  43508  stirlinglem6  43510  dirkerper  43527  dirkertrigeqlem3  43531  dirkercncflem1  43534  dirkercncflem2  43535  fourierdlem4  43542  fourierdlem26  43564  fourierdlem42  43580  fourierdlem83  43620  fourierdlem112  43649  sqwvfourb  43660  etransclem44  43709  quad1  44960  requad1  44962  perfectALTVlem2  45062  eenglngeehlnmlem1  45971  line2  45986  itsclc0xyqsolr  46003  itsclquadb  46010  cotsqcscsq  46350