Theorem divdird 12020

Description: Distribution of division over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divdir 11885	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1397	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  0cc0 11088   + caddc 11091   / cdiv 11859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860

This theorem is referenced by:  zesq  14253  sqreulem  15401  bitsp1o  16481  bitsmod  16484  lcmgcdlem  16654  pythagtriplem19  16883  fldivp1  16947  mul4sqlem  17003  4sqlem17  17011  metnrmlem3  24980  pcoass  25144  ovollb2lem  25608  opnmbllem  25721  dvaddbr  26058  dvmulbr  26059  ftc1lem4  26159  vieta1lem2  26433  cosargd  26731  tanarg  26742  cxpaddle  26875  cxpeq  26880  dcubic1lem  26966  dcubic2  26967  mcubic  26970  cubic2  26971  dquartlem1  26974  dquart  26976  cosatan  27044  atantan  27046  dvatan  27058  jensenlem2  27110  logdifbnd  27116  emcllem3  27120  emcllem5  27122  dmgmdivn0  27150  lgamgulmlem2  27152  lgamgulmlem5  27155  lgamcvg2  27177  lgam1  27186  basellem3  27205  basellem8  27210  perfectlem2  27352  bclbnd  27402  lgseisenlem1  27497  lgsquad2lem1  27506  dchrvmasum2if  27619  selberg3  27681  selberg4  27683  selberg34r  27693  pntrlog2bndlem2  27700  pntrlog2bndlem4  27702  pntrlog2bndlem5  27703  pntrlog2bndlem6  27705  pntibndlem2  27713  brbtwn2  29164  axsegconlem10  29185  axeuclidlem  29221  axcontlem8  29230  quad3d  33006  constrrtlc1  34039  constrresqrtcl  34084  dya2icoseg  34584  divcnvlin  36096  iprodgam  36105  knoppndvlem9  36971  bj-bary1lem  37814  bj-bary1  37816  poimirlem29  38160  opnmbllem0  38167  dvtan  38181  ftc1cnnclem  38202  dvasin  38215  areacirclem1  38219  aks4d1p1p2  42699  aks4d1p1p4  42700  aks4d1p1p7  42703  cxp112d  42962  cxp111d  42963  fltdiv  43230  flt4lem6  43252  3cubeslem4  43282  reglogmul  43482  binomcxplemwb  44922  clim1fr1  46175  coseq0  46436  stirlinglem4  46649  stirlinglem6  46651  dirkerper  46668  dirkertrigeqlem3  46672  dirkercncflem1  46675  dirkercncflem2  46676  fourierdlem4  46683  fourierdlem26  46705  fourierdlem42  46721  fourierdlem83  46761  fourierdlem112  46790  sqwvfourb  46801  etransclem44  46850  quad1  48240  requad1  48242  perfectALTVlem2  48342  eenglngeehlnmlem1  49368  line2  49383  itsclc0xyqsolr  49400  itsclquadb  49407  cotsqcscsq  50391