Theorem divdird 12066

Description: Distribution of division over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divdir 11935	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1371	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937  (class class class)co 7426  ℂcc 11144  0cc0 11146   + caddc 11149   / cdiv 11909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910

This theorem is referenced by:  zesq  14228  sqreulem  15346  bitsp1o  16415  bitsmod  16418  lcmgcdlem  16584  pythagtriplem19  16809  fldivp1  16873  mul4sqlem  16929  4sqlem17  16937  metnrmlem3  24797  pcoass  24971  ovollb2lem  25437  opnmbllem  25550  dvaddbr  25888  dvmulbr  25889  dvmulbrOLD  25890  ftc1lem4  25994  vieta1lem2  26266  cosargd  26562  tanarg  26573  cxpaddle  26707  cxpeq  26712  dcubic1lem  26795  dcubic2  26796  mcubic  26799  cubic2  26800  dquartlem1  26803  dquart  26805  cosatan  26873  atantan  26875  dvatan  26887  jensenlem2  26940  logdifbnd  26946  emcllem3  26950  emcllem5  26952  dmgmdivn0  26980  lgamgulmlem2  26982  lgamgulmlem5  26985  lgamcvg2  27007  lgam1  27016  basellem3  27035  basellem8  27040  perfectlem2  27183  bclbnd  27233  lgseisenlem1  27328  lgsquad2lem1  27337  dchrvmasum2if  27450  selberg3  27512  selberg4  27514  selberg34r  27524  pntrlog2bndlem2  27531  pntrlog2bndlem4  27533  pntrlog2bndlem5  27534  pntrlog2bndlem6  27536  pntibndlem2  27544  brbtwn2  28736  axsegconlem10  28757  axeuclidlem  28793  axcontlem8  28802  dya2icoseg  33930  divcnvlin  35360  iprodgam  35369  knoppndvlem9  36028  bj-bary1lem  36822  bj-bary1  36824  poimirlem29  37155  opnmbllem0  37162  dvtan  37176  ftc1cnnclem  37197  dvasin  37210  areacirclem1  37214  aks4d1p1p2  41573  aks4d1p1p4  41574  aks4d1p1p7  41577  cxp112d  41943  cxp111d  41944  fltdiv  42091  flt4lem6  42113  3cubeslem4  42140  reglogmul  42344  binomcxplemwb  43816  clim1fr1  45018  coseq0  45281  stirlinglem4  45494  stirlinglem6  45496  dirkerper  45513  dirkertrigeqlem3  45517  dirkercncflem1  45520  dirkercncflem2  45521  fourierdlem4  45528  fourierdlem26  45550  fourierdlem42  45566  fourierdlem83  45606  fourierdlem112  45635  sqwvfourb  45646  etransclem44  45695  quad1  46989  requad1  46991  perfectALTVlem2  47091  eenglngeehlnmlem1  47888  line2  47903  itsclc0xyqsolr  47920  itsclquadb  47927  cotsqcscsq  48271