Theorem divdird 11955

Description: Distribution of division over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divdir 11821	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1376	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  0cc0 11026   + caddc 11029   / cdiv 11794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795

This theorem is referenced by:  zesq  14149  sqreulem  15283  bitsp1o  16360  bitsmod  16363  lcmgcdlem  16533  pythagtriplem19  16761  fldivp1  16825  mul4sqlem  16881  4sqlem17  16889  metnrmlem3  24806  pcoass  24980  ovollb2lem  25445  opnmbllem  25558  dvaddbr  25896  dvmulbr  25897  dvmulbrOLD  25898  ftc1lem4  26002  vieta1lem2  26275  cosargd  26573  tanarg  26584  cxpaddle  26718  cxpeq  26723  dcubic1lem  26809  dcubic2  26810  mcubic  26813  cubic2  26814  dquartlem1  26817  dquart  26819  cosatan  26887  atantan  26889  dvatan  26901  jensenlem2  26954  logdifbnd  26960  emcllem3  26964  emcllem5  26966  dmgmdivn0  26994  lgamgulmlem2  26996  lgamgulmlem5  26999  lgamcvg2  27021  lgam1  27030  basellem3  27049  basellem8  27054  perfectlem2  27197  bclbnd  27247  lgseisenlem1  27342  lgsquad2lem1  27351  dchrvmasum2if  27464  selberg3  27526  selberg4  27528  selberg34r  27538  pntrlog2bndlem2  27545  pntrlog2bndlem4  27547  pntrlog2bndlem5  27548  pntrlog2bndlem6  27550  pntibndlem2  27558  brbtwn2  28978  axsegconlem10  28999  axeuclidlem  29035  axcontlem8  29044  quad3d  32829  constrrtlc1  33889  constrresqrtcl  33934  dya2icoseg  34434  divcnvlin  35927  iprodgam  35936  knoppndvlem9  36720  bj-bary1lem  37511  bj-bary1  37513  poimirlem29  37846  opnmbllem0  37853  dvtan  37867  ftc1cnnclem  37888  dvasin  37901  areacirclem1  37905  aks4d1p1p2  42320  aks4d1p1p4  42321  aks4d1p1p7  42324  cxp112d  42592  cxp111d  42593  fltdiv  42875  flt4lem6  42897  3cubeslem4  42927  reglogmul  43131  binomcxplemwb  44585  clim1fr1  45843  coseq0  46104  stirlinglem4  46317  stirlinglem6  46319  dirkerper  46336  dirkertrigeqlem3  46340  dirkercncflem1  46343  dirkercncflem2  46344  fourierdlem4  46351  fourierdlem26  46373  fourierdlem42  46389  fourierdlem83  46429  fourierdlem112  46458  sqwvfourb  46469  etransclem44  46518  quad1  47862  requad1  47864  perfectALTVlem2  47964  eenglngeehlnmlem1  48979  line2  48994  itsclc0xyqsolr  49011  itsclquadb  49018  cotsqcscsq  50003