Theorem divdird 11967

Description: Distribution of division over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divdir 11832	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1382	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  0cc0 11036   + caddc 11039   / cdiv 11805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806

This theorem is referenced by:  zesq  14186  sqreulem  15320  bitsp1o  16400  bitsmod  16403  lcmgcdlem  16573  pythagtriplem19  16802  fldivp1  16866  mul4sqlem  16922  4sqlem17  16930  metnrmlem3  24852  pcoass  25016  ovollb2lem  25480  opnmbllem  25593  dvaddbr  25930  dvmulbr  25931  ftc1lem4  26031  vieta1lem2  26302  cosargd  26597  tanarg  26608  cxpaddle  26741  cxpeq  26746  dcubic1lem  26832  dcubic2  26833  mcubic  26836  cubic2  26837  dquartlem1  26840  dquart  26842  cosatan  26910  atantan  26912  dvatan  26924  jensenlem2  26976  logdifbnd  26982  emcllem3  26986  emcllem5  26988  dmgmdivn0  27016  lgamgulmlem2  27018  lgamgulmlem5  27021  lgamcvg2  27043  lgam1  27052  basellem3  27071  basellem8  27076  perfectlem2  27218  bclbnd  27268  lgseisenlem1  27363  lgsquad2lem1  27372  dchrvmasum2if  27485  selberg3  27547  selberg4  27549  selberg34r  27559  pntrlog2bndlem2  27566  pntrlog2bndlem4  27568  pntrlog2bndlem5  27569  pntrlog2bndlem6  27571  pntibndlem2  27579  brbtwn2  28999  axsegconlem10  29020  axeuclidlem  29056  axcontlem8  29065  quad3d  32848  constrrtlc1  33923  constrresqrtcl  33968  dya2icoseg  34468  divcnvlin  35968  iprodgam  35977  knoppndvlem9  36833  bj-bary1lem  37677  bj-bary1  37679  poimirlem29  38023  opnmbllem0  38030  dvtan  38044  ftc1cnnclem  38065  dvasin  38078  areacirclem1  38082  aks4d1p1p2  42562  aks4d1p1p4  42563  aks4d1p1p7  42566  cxp112d  42825  cxp111d  42826  fltdiv  43093  flt4lem6  43115  3cubeslem4  43145  reglogmul  43345  binomcxplemwb  44799  clim1fr1  46053  coseq0  46314  stirlinglem4  46527  stirlinglem6  46529  dirkerper  46546  dirkertrigeqlem3  46550  dirkercncflem1  46553  dirkercncflem2  46554  fourierdlem4  46561  fourierdlem26  46583  fourierdlem42  46599  fourierdlem83  46639  fourierdlem112  46668  sqwvfourb  46679  etransclem44  46728  quad1  48118  requad1  48120  perfectALTVlem2  48220  eenglngeehlnmlem1  49235  line2  49250  itsclc0xyqsolr  49267  itsclquadb  49274  cotsqcscsq  50259