Theorem divdird 12078

Description: Distribution of division over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divdir 11944	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  0cc0 11152   + caddc 11155   / cdiv 11917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918

This theorem is referenced by:  zesq  14261  sqreulem  15394  bitsp1o  16466  bitsmod  16469  lcmgcdlem  16639  pythagtriplem19  16866  fldivp1  16930  mul4sqlem  16986  4sqlem17  16994  metnrmlem3  24896  pcoass  25070  ovollb2lem  25536  opnmbllem  25649  dvaddbr  25988  dvmulbr  25989  dvmulbrOLD  25990  ftc1lem4  26094  vieta1lem2  26367  cosargd  26664  tanarg  26675  cxpaddle  26809  cxpeq  26814  dcubic1lem  26900  dcubic2  26901  mcubic  26904  cubic2  26905  dquartlem1  26908  dquart  26910  cosatan  26978  atantan  26980  dvatan  26992  jensenlem2  27045  logdifbnd  27051  emcllem3  27055  emcllem5  27057  dmgmdivn0  27085  lgamgulmlem2  27087  lgamgulmlem5  27090  lgamcvg2  27112  lgam1  27121  basellem3  27140  basellem8  27145  perfectlem2  27288  bclbnd  27338  lgseisenlem1  27433  lgsquad2lem1  27442  dchrvmasum2if  27555  selberg3  27617  selberg4  27619  selberg34r  27629  pntrlog2bndlem2  27636  pntrlog2bndlem4  27638  pntrlog2bndlem5  27639  pntrlog2bndlem6  27641  pntibndlem2  27649  brbtwn2  28934  axsegconlem10  28955  axeuclidlem  28991  axcontlem8  29000  quad3d  32760  constrrtlc1  33737  dya2icoseg  34258  divcnvlin  35712  iprodgam  35721  knoppndvlem9  36502  bj-bary1lem  37292  bj-bary1  37294  poimirlem29  37635  opnmbllem0  37642  dvtan  37656  ftc1cnnclem  37677  dvasin  37690  areacirclem1  37694  aks4d1p1p2  42051  aks4d1p1p4  42052  aks4d1p1p7  42055  cxp112d  42355  cxp111d  42356  fltdiv  42622  flt4lem6  42644  3cubeslem4  42676  reglogmul  42880  binomcxplemwb  44343  clim1fr1  45556  coseq0  45819  stirlinglem4  46032  stirlinglem6  46034  dirkerper  46051  dirkertrigeqlem3  46055  dirkercncflem1  46058  dirkercncflem2  46059  fourierdlem4  46066  fourierdlem26  46088  fourierdlem42  46104  fourierdlem83  46144  fourierdlem112  46173  sqwvfourb  46184  etransclem44  46233  quad1  47544  requad1  47546  perfectALTVlem2  47646  eenglngeehlnmlem1  48586  line2  48601  itsclc0xyqsolr  48618  itsclquadb  48625  cotsqcscsq  48992