Theorem divdird 11967

Description: Distribution of division over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divdir 11833	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1377	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038   + caddc 11041   / cdiv 11806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807

This theorem is referenced by:  zesq  14161  sqreulem  15295  bitsp1o  16372  bitsmod  16375  lcmgcdlem  16545  pythagtriplem19  16773  fldivp1  16837  mul4sqlem  16893  4sqlem17  16901  metnrmlem3  24818  pcoass  24992  ovollb2lem  25457  opnmbllem  25570  dvaddbr  25908  dvmulbr  25909  dvmulbrOLD  25910  ftc1lem4  26014  vieta1lem2  26287  cosargd  26585  tanarg  26596  cxpaddle  26730  cxpeq  26735  dcubic1lem  26821  dcubic2  26822  mcubic  26825  cubic2  26826  dquartlem1  26829  dquart  26831  cosatan  26899  atantan  26901  dvatan  26913  jensenlem2  26966  logdifbnd  26972  emcllem3  26976  emcllem5  26978  dmgmdivn0  27006  lgamgulmlem2  27008  lgamgulmlem5  27011  lgamcvg2  27033  lgam1  27042  basellem3  27061  basellem8  27066  perfectlem2  27209  bclbnd  27259  lgseisenlem1  27354  lgsquad2lem1  27363  dchrvmasum2if  27476  selberg3  27538  selberg4  27540  selberg34r  27550  pntrlog2bndlem2  27557  pntrlog2bndlem4  27559  pntrlog2bndlem5  27560  pntrlog2bndlem6  27562  pntibndlem2  27570  brbtwn2  28990  axsegconlem10  29011  axeuclidlem  29047  axcontlem8  29056  quad3d  32839  constrrtlc1  33909  constrresqrtcl  33954  dya2icoseg  34454  divcnvlin  35946  iprodgam  35955  knoppndvlem9  36739  bj-bary1lem  37559  bj-bary1  37561  poimirlem29  37894  opnmbllem0  37901  dvtan  37915  ftc1cnnclem  37936  dvasin  37949  areacirclem1  37953  aks4d1p1p2  42434  aks4d1p1p4  42435  aks4d1p1p7  42438  cxp112d  42705  cxp111d  42706  fltdiv  42988  flt4lem6  43010  3cubeslem4  43040  reglogmul  43244  binomcxplemwb  44698  clim1fr1  45955  coseq0  46216  stirlinglem4  46429  stirlinglem6  46431  dirkerper  46448  dirkertrigeqlem3  46452  dirkercncflem1  46455  dirkercncflem2  46456  fourierdlem4  46463  fourierdlem26  46485  fourierdlem42  46501  fourierdlem83  46541  fourierdlem112  46570  sqwvfourb  46581  etransclem44  46630  quad1  47974  requad1  47976  perfectALTVlem2  48076  eenglngeehlnmlem1  49091  line2  49106  itsclc0xyqsolr  49123  itsclquadb  49130  cotsqcscsq  50115