Theorem divdird 12057

Description: Distribution of division over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divdir 11925	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1401	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  0cc0 11128   + caddc 11131   / cdiv 11899

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900

This theorem is used by:  zesq  14294  sqreulem  15451  bitsp1o  16529  bitsmod  16532  lcmgcdlem  16702  pythagtriplem19  16931  fldivp1  16995  mul4sqlem  17051  4sqlem17  17059  metnrmlem3  25094  pcoass  25258  ovollb2lem  25722  opnmbllem  25835  dvaddbr  26172  dvmulbr  26173  ftc1lem4  26273  vieta1lem2  26550  cosargd  26853  tanarg  26864  cxpaddle  26997  cxpeq  27002  dcubic1lem  27088  dcubic2  27089  mcubic  27092  cubic2  27093  dquartlem1  27096  dquart  27098  cosatan  27166  atantan  27168  dvatan  27180  jensenlem2  27232  logdifbnd  27238  emcllem3  27242  emcllem5  27244  dmgmdivn0  27272  lgamgulmlem2  27274  lgamgulmlem5  27277  lgamcvg2  27299  lgam1  27308  basellem3  27327  basellem8  27332  perfectlem2  27474  bclbnd  27524  lgseisenlem1  27619  lgsquad2lem1  27628  dchrvmasum2if  27741  selberg3  27803  selberg4  27805  selberg34r  27815  pntrlog2bndlem2  27822  pntrlog2bndlem4  27824  pntrlog2bndlem5  27825  pntrlog2bndlem6  27827  pntibndlem2  27835  brbtwn2  29370  axsegconlem10  29391  axeuclidlem  29427  axcontlem8  29436  quad3d  33228  constrrtlc1  34250  constrresqrtcl  34295  dya2icoseg  34796  divcnvlin  36320  iprodgam  36329  knoppndvlem9  37225  bj-bary1lem  38070  bj-bary1  38072  poimirlem29  38406  opnmbllem0  38413  dvtan  38427  ftc1cnnclem  38448  dvasin  38461  areacirclem1  38465  aks4d1p1p2  42944  aks4d1p1p4  42945  aks4d1p1p7  42948  cxp112d  43224  cxp111d  43225  fltdiv  43490  flt4lem6  43512  3cubeslem4  43542  reglogmul  43742  binomcxplemwb  45180  clim1fr1  46439  coseq0  46700  stirlinglem4  46913  stirlinglem6  46915  dirkerper  46932  dirkertrigeqlem3  46936  dirkercncflem1  46939  dirkercncflem2  46940  fourierdlem4  46947  fourierdlem26  46969  fourierdlem42  46985  fourierdlem83  47025  fourierdlem112  47054  sqwvfourb  47065  etransclem44  47114  quad1  48544  requad1  48546  perfectALTVlem2  48646  eenglngeehlnmlem1  49675  line2  49690  itsclc0xyqsolr  49707  itsclquadb  49714  cotsqcscsq  50696