Theorem divdird 11456

Description: Distribution of division over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divdir 11325	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1370	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  0cc0 10539   + caddc 10542   / cdiv 11299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300

This theorem is referenced by:  zesq  13590  sqreulem  14721  bitsp1o  15784  bitsmod  15787  lcmgcdlem  15952  pythagtriplem19  16172  fldivp1  16235  mul4sqlem  16291  4sqlem17  16299  metnrmlem3  23471  pcoass  23630  ovollb2lem  24091  opnmbllem  24204  dvaddbr  24537  dvmulbr  24538  ftc1lem4  24638  vieta1lem2  24902  cosargd  25193  tanarg  25204  cxpaddle  25335  cxpeq  25340  dcubic1lem  25423  dcubic2  25424  mcubic  25427  cubic2  25428  dquartlem1  25431  dquart  25433  cosatan  25501  atantan  25503  dvatan  25515  jensenlem2  25567  logdifbnd  25573  emcllem3  25577  emcllem5  25579  dmgmdivn0  25607  lgamgulmlem2  25609  lgamgulmlem5  25612  lgamcvg2  25634  lgam1  25643  basellem3  25662  basellem8  25667  perfectlem2  25808  bclbnd  25858  lgseisenlem1  25953  lgsquad2lem1  25962  dchrvmasum2if  26075  selberg3  26137  selberg4  26139  selberg34r  26149  pntrlog2bndlem2  26156  pntrlog2bndlem4  26158  pntrlog2bndlem5  26159  pntrlog2bndlem6  26161  pntibndlem2  26169  brbtwn2  26693  axsegconlem10  26714  axeuclidlem  26750  axcontlem8  26759  dya2icoseg  31537  divcnvlin  32966  iprodgam  32976  knoppndvlem9  33861  bj-bary1lem  34593  bj-bary1  34595  poimirlem29  34923  opnmbllem0  34930  dvtan  34944  ftc1cnnclem  34967  dvasin  34980  areacirclem1  34984  3cubeslem4  39293  reglogmul  39497  binomcxplemwb  40687  clim1fr1  41889  coseq0  42152  stirlinglem4  42369  stirlinglem6  42371  dirkerper  42388  dirkertrigeqlem3  42392  dirkercncflem1  42395  dirkercncflem2  42396  fourierdlem4  42403  fourierdlem26  42425  fourierdlem42  42441  fourierdlem83  42481  fourierdlem112  42510  sqwvfourb  42521  etransclem44  42570  quad1  43792  requad1  43794  perfectALTVlem2  43894  eenglngeehlnmlem1  44731  line2  44746  itsclc0xyqsolr  44763  itsclquadb  44770  cotsqcscsq  44868