Theorem divdird 12047

Description: Distribution of division over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divdir 11915	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1401	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) + (𝐵 / 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  0cc0 11118   + caddc 11121   / cdiv 11889

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890

This theorem is used by:  zesq  14282  sqreulem  15437  bitsp1o  16516  bitsmod  16519  lcmgcdlem  16689  pythagtriplem19  16918  fldivp1  16982  mul4sqlem  17038  4sqlem17  17046  metnrmlem3  25056  pcoass  25220  ovollb2lem  25684  opnmbllem  25797  dvaddbr  26134  dvmulbr  26135  ftc1lem4  26235  vieta1lem2  26509  cosargd  26810  tanarg  26821  cxpaddle  26954  cxpeq  26959  dcubic1lem  27045  dcubic2  27046  mcubic  27049  cubic2  27050  dquartlem1  27053  dquart  27055  cosatan  27123  atantan  27125  dvatan  27137  jensenlem2  27189  logdifbnd  27195  emcllem3  27199  emcllem5  27201  dmgmdivn0  27229  lgamgulmlem2  27231  lgamgulmlem5  27234  lgamcvg2  27256  lgam1  27265  basellem3  27284  basellem8  27289  perfectlem2  27431  bclbnd  27481  lgseisenlem1  27576  lgsquad2lem1  27585  dchrvmasum2if  27698  selberg3  27760  selberg4  27762  selberg34r  27772  pntrlog2bndlem2  27779  pntrlog2bndlem4  27781  pntrlog2bndlem5  27782  pntrlog2bndlem6  27784  pntibndlem2  27792  brbtwn2  29292  axsegconlem10  29313  axeuclidlem  29349  axcontlem8  29358  quad3d  33131  constrrtlc1  34153  constrresqrtcl  34198  dya2icoseg  34699  divcnvlin  36246  iprodgam  36255  knoppndvlem9  37150  bj-bary1lem  37995  bj-bary1  37997  poimirlem29  38341  opnmbllem0  38348  dvtan  38362  ftc1cnnclem  38383  dvasin  38396  areacirclem1  38400  aks4d1p1p2  42878  aks4d1p1p4  42879  aks4d1p1p7  42882  cxp112d  43143  cxp111d  43144  fltdiv  43409  flt4lem6  43431  3cubeslem4  43461  reglogmul  43661  binomcxplemwb  45099  clim1fr1  46358  coseq0  46619  stirlinglem4  46832  stirlinglem6  46834  dirkerper  46851  dirkertrigeqlem3  46855  dirkercncflem1  46858  dirkercncflem2  46859  fourierdlem4  46866  fourierdlem26  46888  fourierdlem42  46904  fourierdlem83  46944  fourierdlem112  46973  sqwvfourb  46984  etransclem44  47033  quad1  48426  requad1  48428  perfectALTVlem2  48528  eenglngeehlnmlem1  49558  line2  49573  itsclc0xyqsolr  49590  itsclquadb  49597  cotsqcscsq  50581