Theorem bj-bary1lem1 37593

Description: Lemma for bj-bary1 37594: computation of one of the two barycentric coordinates of a barycenter of two points in one dimension (complex line). (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
bj-bary1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
bj-bary1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
bj-bary1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
bj-bary1.neq	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
bj-bary1.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
bj-bary1.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
bj-bary1lem1	⊢ (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))))

Proof of Theorem bj-bary1lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-bary1.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
2		bj-bary1.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
3	1, 2	pncand 11507	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆)
4		oveq1 7377	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 + 𝑇) = 1 → ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇))
5		pm5.31 831	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆 ∧ ((𝑆 + 𝑇) = 1 → ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇))) → ((𝑆 + 𝑇) = 1 → (((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇) ∧ ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆)))
6	3, 4, 5	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 + 𝑇) = 1 → (((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇) ∧ ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆)))
7		eqtr2 2758	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇) ∧ ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆) → (1 − 𝑇) = 𝑆)
8	7	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇) ∧ ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆) → 𝑆 = (1 − 𝑇))
9	6, 8	syl6 35	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 + 𝑇) = 1 → 𝑆 = (1 − 𝑇)))
10		oveq1 7377	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 = (1 − 𝑇) → (𝑆 · 𝐴) = ((1 − 𝑇) · 𝐴))
11	10	oveq1d 7385	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 = (1 − 𝑇) → ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)))
12		eqtr 2757	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵))) → 𝑋 = (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)))
13	11, 12	sylan2 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ 𝑆 = (1 − 𝑇)) → 𝑋 = (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)))
14		1cnd 11141	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
15		bj-bary1.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
16	14, 2, 15	subdird 11608	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) − (𝑇 · 𝐴)))
17	15	mullidd 11164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
18	17	oveq1d 7385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 · 𝐴) − (𝑇 · 𝐴)) = (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)))
19	16, 18	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)))
20	19	oveq1d 7385	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵)))
21	13, 20	sylan9eqr 2794	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ 𝑆 = (1 − 𝑇))) → 𝑋 = ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵)))
22	21	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ 𝑆 = (1 − 𝑇)) → 𝑋 = ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵))))
23	9, 22	sylan2d 606	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑋 = ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵))))
24	2, 15	mulcld 11166	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ)
25		bj-bary1.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
26	2, 25	mulcld 11166	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝐵) ∈ ℂ)
27	15, 24, 26	subadd23d 11528	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵)) = (𝐴 + ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴))))
28	2, 25, 15	subdid 11607	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) = ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)))
29	28	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)) = (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))
30	29	oveq2d 7386	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴))) = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
31	27, 30	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵)) = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
32	31	eqeq2d 2748	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵)) ↔ 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))))
33	23, 32	sylibd 239	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))))
34		oveq1 7377	. . 3 ⊢ (𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) → (𝑋 − 𝐴) = ((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐴))
35	25, 15	subcld 11506	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
36	2, 35	mulcld 11166	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℂ)
37	15, 36	pncan2d 11508	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐴) = (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))
38	37	eqeq2d 2748	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐴) = ((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐴) ↔ (𝑋 − 𝐴) = (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
39	34, 38	imbitrid 244	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) → (𝑋 − 𝐴) = (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
40		eqcom 2744	. . 3 ⊢ ((𝑋 − 𝐴) = (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) ↔ (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) = (𝑋 − 𝐴))
41	2, 35	mulcomd 11167	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) = ((𝐵 − 𝐴) · 𝑇))
42	41	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) = (𝑋 − 𝐴) ↔ ((𝐵 − 𝐴) · 𝑇) = (𝑋 − 𝐴)))
43		bj-bary1.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
44	43, 15	subcld 11506	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) ∈ ℂ)
45		bj-bary1.neq	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
46	45	necomd 2988	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
47	25, 15, 46	subne0d 11515	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ≠ 0)
48	35, 2, 44, 47	rdiv 11990	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐴) · 𝑇) = (𝑋 − 𝐴) ↔ 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))))
49	48	biimpd 229	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐴) · 𝑇) = (𝑋 − 𝐴) → 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))))
50	42, 49	sylbid 240	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) = (𝑋 − 𝐴) → 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))))
51	40, 50	biimtrid 242	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐴) = (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) → 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))))
52	33, 39, 51	3syld 60	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7370  ℂcc 11038  1c1 11041   + caddc 11043   · cmul 11045   − cmin 11378   / cdiv 11808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-po 5542  df-so 5543  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809

This theorem is referenced by:  bj-bary1  37594