Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-bary1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bj-bary1lem1 37312
Description: Lemma for bj-bary1 37313: computation of one of the two barycentric coordinates of a barycenter of two points in one dimension (complex line). (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
bj-bary1.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
bj-bary1.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
bj-bary1.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
bj-bary1.neq (𝜑𝐴𝐵)
bj-bary1.s (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
bj-bary1.t (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
bj-bary1lem1 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))))

Proof of Theorem bj-bary1lem1
StepHypRef Expression
1 bj-bary1.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
2 bj-bary1.t . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
31, 2pncand 11621 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆)
4 oveq1 7438 . . . . . 6 ((𝑆 + 𝑇) = 1 → ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇))
5 pm5.31 831 . . . . . 6 ((((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆 ∧ ((𝑆 + 𝑇) = 1 → ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇))) → ((𝑆 + 𝑇) = 1 → (((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇) ∧ ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆)))
63, 4, 5sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 + 𝑇) = 1 → (((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇) ∧ ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆)))
7 eqtr2 2761 . . . . . 6 ((((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇) ∧ ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆) → (1 − 𝑇) = 𝑆)
87eqcomd 2743 . . . . 5 ((((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇) ∧ ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆) → 𝑆 = (1 − 𝑇))
96, 8syl6 35 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 + 𝑇) = 1 → 𝑆 = (1 − 𝑇)))
10 oveq1 7438 . . . . . . . 8 (𝑆 = (1 − 𝑇) → (𝑆 · 𝐴) = ((1 − 𝑇) · 𝐴))
1110oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝑆 = (1 − 𝑇) → ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)))
12 eqtr 2760 . . . . . . 7 ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵))) → 𝑋 = (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)))
1311, 12sylan2 593 . . . . . 6 ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ 𝑆 = (1 − 𝑇)) → 𝑋 = (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)))
14 1cnd 11256 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
15 bj-bary1.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1614, 2, 15subdird 11720 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) − (𝑇 · 𝐴)))
1715mullidd 11279 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
1817oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 · 𝐴) − (𝑇 · 𝐴)) = (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)))
1916, 18eqtrd 2777 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)))
2019oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵)))
2113, 20sylan9eqr 2799 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ 𝑆 = (1 − 𝑇))) → 𝑋 = ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵)))
2221ex 412 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ 𝑆 = (1 − 𝑇)) → 𝑋 = ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵))))
239, 22sylan2d 605 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑋 = ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵))))
242, 15mulcld 11281 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ)
25 bj-bary1.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
262, 25mulcld 11281 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑇 · 𝐵) ∈ ℂ)
2715, 24, 26subadd23d 11642 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵)) = (𝐴 + ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴))))
282, 25, 15subdid 11719 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑇 · (𝐵𝐴)) = ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)))
2928eqcomd 2743 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)) = (𝑇 · (𝐵𝐴)))
3029oveq2d 7447 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴))) = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵𝐴))))
3127, 30eqtrd 2777 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵)) = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵𝐴))))
3231eqeq2d 2748 . . 3 (𝜑 → (𝑋 = ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵)) ↔ 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵𝐴)))))
3323, 32sylibd 239 . 2 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵𝐴)))))
34 oveq1 7438 . . 3 (𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵𝐴))) → (𝑋𝐴) = ((𝐴 + (𝑇 · (𝐵𝐴))) − 𝐴))
3525, 15subcld 11620 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
362, 35mulcld 11281 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇 · (𝐵𝐴)) ∈ ℂ)
3715, 36pncan2d 11622 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + (𝑇 · (𝐵𝐴))) − 𝐴) = (𝑇 · (𝐵𝐴)))
3837eqeq2d 2748 . . 3 (𝜑 → ((𝑋𝐴) = ((𝐴 + (𝑇 · (𝐵𝐴))) − 𝐴) ↔ (𝑋𝐴) = (𝑇 · (𝐵𝐴))))
3934, 38imbitrid 244 . 2 (𝜑 → (𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵𝐴))) → (𝑋𝐴) = (𝑇 · (𝐵𝐴))))
40 eqcom 2744 . . 3 ((𝑋𝐴) = (𝑇 · (𝐵𝐴)) ↔ (𝑇 · (𝐵𝐴)) = (𝑋𝐴))
412, 35mulcomd 11282 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇 · (𝐵𝐴)) = ((𝐵𝐴) · 𝑇))
4241eqeq1d 2739 . . . 4 (𝜑 → ((𝑇 · (𝐵𝐴)) = (𝑋𝐴) ↔ ((𝐵𝐴) · 𝑇) = (𝑋𝐴)))
43 bj-bary1.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
4443, 15subcld 11620 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋𝐴) ∈ ℂ)
45 bj-bary1.neq . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐵)
4645necomd 2996 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐴)
4725, 15, 46subne0d 11629 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≠ 0)
4835, 2, 44, 47rdiv 12102 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐵𝐴) · 𝑇) = (𝑋𝐴) ↔ 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))))
4948biimpd 229 . . . 4 (𝜑 → (((𝐵𝐴) · 𝑇) = (𝑋𝐴) → 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))))
5042, 49sylbid 240 . . 3 (𝜑 → ((𝑇 · (𝐵𝐴)) = (𝑋𝐴) → 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))))
5140, 50biimtrid 242 . 2 (𝜑 → ((𝑋𝐴) = (𝑇 · (𝐵𝐴)) → 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))))
5233, 39, 513syld 60 1 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  (class class class)co 7431  cc 11153  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cmin 11492   / cdiv 11920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921
This theorem is referenced by:  bj-bary1  37313
  Copyright terms: Public domain W3C validator