Theorem bj-bary1lem1 38233

Description: Lemma for bj-bary1 38234: computation of one of the two barycentric coordinates of a barycenter of two points in one dimension (complex line). (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
bj-bary1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
bj-bary1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
bj-bary1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
bj-bary1.neq	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
bj-bary1.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
bj-bary1.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
bj-bary1lem1	⊢ (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))))

Proof of Theorem bj-bary1lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-bary1.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
2		bj-bary1.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
3	1, 2	pncand 11670	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆)
4		oveq1 7427	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 + 𝑇) = 1 → ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇))
5		pm5.31 844	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆 ∧ ((𝑆 + 𝑇) = 1 → ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇))) → ((𝑆 + 𝑇) = 1 → (((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇) ∧ ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆)))
6	3, 4, 5	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 + 𝑇) = 1 → (((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇) ∧ ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆)))
7		eqtr2 2781	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇) ∧ ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆) → (1 − 𝑇) = 𝑆)
8	7	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇) ∧ ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆) → 𝑆 = (1 − 𝑇))
9	6, 8	syl6 36	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 + 𝑇) = 1 → 𝑆 = (1 − 𝑇)))
10		oveq1 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 = (1 − 𝑇) → (𝑆 · 𝐴) = ((1 − 𝑇) · 𝐴))
11	10	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 = (1 − 𝑇) → ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)))
12		eqtr 2780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵))) → 𝑋 = (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)))
13	11, 12	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ 𝑆 = (1 − 𝑇)) → 𝑋 = (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)))
14		1cnd 11302	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
15		bj-bary1.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
16	14, 2, 15	subdird 11773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) − (𝑇 · 𝐴)))
17	15	mullidd 11327	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
18	17	oveq1d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 · 𝐴) − (𝑇 · 𝐴)) = (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)))
19	16, 18	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)))
20	19	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵)))
21	13, 20	sylan9eqr 2817	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ 𝑆 = (1 − 𝑇))) → 𝑋 = ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵)))
22	21	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ 𝑆 = (1 − 𝑇)) → 𝑋 = ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵))))
23	9, 22	sylan2d 617	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑋 = ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵))))
24	2, 15	mulcld 11329	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ)
25		bj-bary1.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
26	2, 25	mulcld 11329	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝐵) ∈ ℂ)
27	15, 24, 26	subadd23d 11691	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵)) = (𝐴 + ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴))))
28	2, 25, 15	subdid 11772	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) = ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)))
29	28	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)) = (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))
30	29	oveq2d 7436	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴))) = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
31	27, 30	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵)) = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
32	31	eqeq2d 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵)) ↔ 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))))
33	23, 32	sylibd 242	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))))
34		oveq1 7427	. . 3 ⊢ (𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) → (𝑋 − 𝐴) = ((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐴))
35	25, 15	subcld 11669	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
36	2, 35	mulcld 11329	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℂ)
37	15, 36	pncan2d 11671	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐴) = (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)))
38	37	eqeq2d 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐴) = ((𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) − 𝐴) ↔ (𝑋 − 𝐴) = (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
39	34, 38	imbitrid 247	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))) → (𝑋 − 𝐴) = (𝑇 · (𝐵 − 𝐴))))
40		eqcom 2767	. . 3 ⊢ ((𝑋 − 𝐴) = (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) ↔ (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) = (𝑋 − 𝐴))
41	2, 35	mulcomd 11330	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) = ((𝐵 − 𝐴) · 𝑇))
42	41	eqeq1d 2762	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) = (𝑋 − 𝐴) ↔ ((𝐵 − 𝐴) · 𝑇) = (𝑋 − 𝐴)))
43		bj-bary1.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
44	43, 15	subcld 11669	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) ∈ ℂ)
45		bj-bary1.neq	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
46	45	necomd 3010	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
47	25, 15, 46	subne0d 11679	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ≠ 0)
48	35, 2, 44, 47	rdiv 12152	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐴) · 𝑇) = (𝑋 − 𝐴) ↔ 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))))
49	48	biimpd 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 − 𝐴) · 𝑇) = (𝑋 − 𝐴) → 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))))
50	42, 49	sylbid 243	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) = (𝑋 − 𝐴) → 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))))
51	40, 50	biimtrid 245	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝐴) = (𝑇 · (𝐵 − 𝐴)) → 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))))
52	33, 39, 51	3syld 61	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑇 = ((𝑋 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205   − cmin 11541   / cdiv 11973

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974

This theorem is used by:  bj-bary1  38234