Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-bary1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bj-bary1lem1 35216
Description: Lemma for bj-bary1: computation of one of the two barycentric coordinates of a barycenter of two points in one dimension (complex line). (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
bj-bary1.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
bj-bary1.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
bj-bary1.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
bj-bary1.neq (𝜑𝐴𝐵)
bj-bary1.s (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
bj-bary1.t (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
bj-bary1lem1 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))))

Proof of Theorem bj-bary1lem1
StepHypRef Expression
1 bj-bary1.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
2 bj-bary1.t . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
31, 2pncand 11190 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆)
4 oveq1 7220 . . . . . 6 ((𝑆 + 𝑇) = 1 → ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇))
5 pm5.31 831 . . . . . 6 ((((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆 ∧ ((𝑆 + 𝑇) = 1 → ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇))) → ((𝑆 + 𝑇) = 1 → (((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇) ∧ ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆)))
63, 4, 5sylancl 589 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 + 𝑇) = 1 → (((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇) ∧ ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆)))
7 eqtr2 2761 . . . . . 6 ((((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇) ∧ ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆) → (1 − 𝑇) = 𝑆)
87eqcomd 2743 . . . . 5 ((((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇) ∧ ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆) → 𝑆 = (1 − 𝑇))
96, 8syl6 35 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 + 𝑇) = 1 → 𝑆 = (1 − 𝑇)))
10 oveq1 7220 . . . . . . . 8 (𝑆 = (1 − 𝑇) → (𝑆 · 𝐴) = ((1 − 𝑇) · 𝐴))
1110oveq1d 7228 . . . . . . 7 (𝑆 = (1 − 𝑇) → ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)))
12 eqtr 2760 . . . . . . 7 ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵))) → 𝑋 = (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)))
1311, 12sylan2 596 . . . . . 6 ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ 𝑆 = (1 − 𝑇)) → 𝑋 = (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)))
14 1cnd 10828 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
15 bj-bary1.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1614, 2, 15subdird 11289 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) − (𝑇 · 𝐴)))
1715mulid2d 10851 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
1817oveq1d 7228 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 · 𝐴) − (𝑇 · 𝐴)) = (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)))
1916, 18eqtrd 2777 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)))
2019oveq1d 7228 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵)))
2113, 20sylan9eqr 2800 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ 𝑆 = (1 − 𝑇))) → 𝑋 = ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵)))
2221ex 416 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ 𝑆 = (1 − 𝑇)) → 𝑋 = ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵))))
239, 22sylan2d 608 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑋 = ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵))))
242, 15mulcld 10853 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ)
25 bj-bary1.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
262, 25mulcld 10853 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑇 · 𝐵) ∈ ℂ)
2715, 24, 26subadd23d 11211 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵)) = (𝐴 + ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴))))
282, 25, 15subdid 11288 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑇 · (𝐵𝐴)) = ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)))
2928eqcomd 2743 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)) = (𝑇 · (𝐵𝐴)))
3029oveq2d 7229 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴))) = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵𝐴))))
3127, 30eqtrd 2777 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵)) = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵𝐴))))
3231eqeq2d 2748 . . 3 (𝜑 → (𝑋 = ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵)) ↔ 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵𝐴)))))
3323, 32sylibd 242 . 2 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵𝐴)))))
34 oveq1 7220 . . 3 (𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵𝐴))) → (𝑋𝐴) = ((𝐴 + (𝑇 · (𝐵𝐴))) − 𝐴))
3525, 15subcld 11189 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
362, 35mulcld 10853 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇 · (𝐵𝐴)) ∈ ℂ)
3715, 36pncan2d 11191 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + (𝑇 · (𝐵𝐴))) − 𝐴) = (𝑇 · (𝐵𝐴)))
3837eqeq2d 2748 . . 3 (𝜑 → ((𝑋𝐴) = ((𝐴 + (𝑇 · (𝐵𝐴))) − 𝐴) ↔ (𝑋𝐴) = (𝑇 · (𝐵𝐴))))
3934, 38syl5ib 247 . 2 (𝜑 → (𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵𝐴))) → (𝑋𝐴) = (𝑇 · (𝐵𝐴))))
40 eqcom 2744 . . 3 ((𝑋𝐴) = (𝑇 · (𝐵𝐴)) ↔ (𝑇 · (𝐵𝐴)) = (𝑋𝐴))
412, 35mulcomd 10854 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇 · (𝐵𝐴)) = ((𝐵𝐴) · 𝑇))
4241eqeq1d 2739 . . . 4 (𝜑 → ((𝑇 · (𝐵𝐴)) = (𝑋𝐴) ↔ ((𝐵𝐴) · 𝑇) = (𝑋𝐴)))
43 bj-bary1.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
4443, 15subcld 11189 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋𝐴) ∈ ℂ)
45 bj-bary1.neq . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐵)
4645necomd 2996 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐴)
4725, 15, 46subne0d 11198 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≠ 0)
4835, 2, 44, 47rdiv 11667 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐵𝐴) · 𝑇) = (𝑋𝐴) ↔ 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))))
4948biimpd 232 . . . 4 (𝜑 → (((𝐵𝐴) · 𝑇) = (𝑋𝐴) → 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))))
5042, 49sylbid 243 . . 3 (𝜑 → ((𝑇 · (𝐵𝐴)) = (𝑋𝐴) → 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))))
5140, 50syl5bi 245 . 2 (𝜑 → ((𝑋𝐴) = (𝑇 · (𝐵𝐴)) → 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))))
5233, 39, 513syld 60 1 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  (class class class)co 7213  cc 10727  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734  cmin 11062   / cdiv 11489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490
This theorem is referenced by:  bj-bary1  35217
  Copyright terms: Public domain W3C validator