Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-bary1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bj-bary1lem1 33497
Description: Existence and uniqueness (and actual computation) of barycentric coordinates in dimension 1 (complex line). (Contributed by BJ, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
bj-bary1.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
bj-bary1.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
bj-bary1.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
bj-bary1.neq (𝜑𝐴𝐵)
bj-bary1.s (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
bj-bary1.t (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
bj-bary1lem1 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))))

Proof of Theorem bj-bary1lem1
StepHypRef Expression
1 bj-bary1.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
2 bj-bary1.t . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
31, 2pncand 10599 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆)
4 oveq1 6803 . . . . . 6 ((𝑆 + 𝑇) = 1 → ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇))
5 pm5.31 827 . . . . . 6 ((((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆 ∧ ((𝑆 + 𝑇) = 1 → ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇))) → ((𝑆 + 𝑇) = 1 → (((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇) ∧ ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆)))
63, 4, 5sylancl 574 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 + 𝑇) = 1 → (((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇) ∧ ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆)))
7 eqtr2 2791 . . . . . 6 ((((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇) ∧ ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆) → (1 − 𝑇) = 𝑆)
87eqcomd 2777 . . . . 5 ((((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = (1 − 𝑇) ∧ ((𝑆 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑆) → 𝑆 = (1 − 𝑇))
96, 8syl6 35 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 + 𝑇) = 1 → 𝑆 = (1 − 𝑇)))
10 oveq1 6803 . . . . . . . 8 (𝑆 = (1 − 𝑇) → (𝑆 · 𝐴) = ((1 − 𝑇) · 𝐴))
1110oveq1d 6811 . . . . . . 7 (𝑆 = (1 − 𝑇) → ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)))
12 eqtr 2790 . . . . . . 7 ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵))) → 𝑋 = (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)))
1311, 12sylan2 580 . . . . . 6 ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ 𝑆 = (1 − 𝑇)) → 𝑋 = (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)))
14 1cnd 10262 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
15 bj-bary1.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1614, 2, 15subdird 10693 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) − (𝑇 · 𝐴)))
1715mulid2d 10264 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
1817oveq1d 6811 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 · 𝐴) − (𝑇 · 𝐴)) = (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)))
1916, 18eqtrd 2805 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 − 𝑇) · 𝐴) = (𝐴 − (𝑇 · 𝐴)))
2019oveq1d 6811 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) = ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵)))
2113, 20sylan9eqr 2827 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ 𝑆 = (1 − 𝑇))) → 𝑋 = ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵)))
2221ex 397 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ 𝑆 = (1 − 𝑇)) → 𝑋 = ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵))))
239, 22sylan2d 592 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑋 = ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵))))
242, 15mulcld 10266 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ)
25 bj-bary1.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
262, 25mulcld 10266 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑇 · 𝐵) ∈ ℂ)
2715, 24, 26subadd23d 10620 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵)) = (𝐴 + ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴))))
282, 25, 15subdid 10692 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑇 · (𝐵𝐴)) = ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)))
2928eqcomd 2777 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴)) = (𝑇 · (𝐵𝐴)))
3029oveq2d 6812 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + ((𝑇 · 𝐵) − (𝑇 · 𝐴))) = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵𝐴))))
3127, 30eqtrd 2805 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵)) = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵𝐴))))
3231eqeq2d 2781 . . 3 (𝜑 → (𝑋 = ((𝐴 − (𝑇 · 𝐴)) + (𝑇 · 𝐵)) ↔ 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵𝐴)))))
3323, 32sylibd 229 . 2 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵𝐴)))))
34 oveq1 6803 . . 3 (𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵𝐴))) → (𝑋𝐴) = ((𝐴 + (𝑇 · (𝐵𝐴))) − 𝐴))
3525, 15subcld 10598 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
362, 35mulcld 10266 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇 · (𝐵𝐴)) ∈ ℂ)
3715, 36pncan2d 10600 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + (𝑇 · (𝐵𝐴))) − 𝐴) = (𝑇 · (𝐵𝐴)))
3837eqeq2d 2781 . . 3 (𝜑 → ((𝑋𝐴) = ((𝐴 + (𝑇 · (𝐵𝐴))) − 𝐴) ↔ (𝑋𝐴) = (𝑇 · (𝐵𝐴))))
3934, 38syl5ib 234 . 2 (𝜑 → (𝑋 = (𝐴 + (𝑇 · (𝐵𝐴))) → (𝑋𝐴) = (𝑇 · (𝐵𝐴))))
40 eqcom 2778 . . 3 ((𝑋𝐴) = (𝑇 · (𝐵𝐴)) ↔ (𝑇 · (𝐵𝐴)) = (𝑋𝐴))
412, 35mulcomd 10267 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇 · (𝐵𝐴)) = ((𝐵𝐴) · 𝑇))
4241eqeq1d 2773 . . . 4 (𝜑 → ((𝑇 · (𝐵𝐴)) = (𝑋𝐴) ↔ ((𝐵𝐴) · 𝑇) = (𝑋𝐴)))
43 bj-bary1.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
4443, 15subcld 10598 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋𝐴) ∈ ℂ)
45 bj-bary1.neq . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐵)
4645necomd 2998 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐴)
4725, 15, 46subne0d 10607 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≠ 0)
4835, 2, 44, 47bj-rdiv 33492 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐵𝐴) · 𝑇) = (𝑋𝐴) ↔ 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))))
4948biimpd 219 . . . 4 (𝜑 → (((𝐵𝐴) · 𝑇) = (𝑋𝐴) → 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))))
5042, 49sylbid 230 . . 3 (𝜑 → ((𝑇 · (𝐵𝐴)) = (𝑋𝐴) → 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))))
5140, 50syl5bi 232 . 2 (𝜑 → ((𝑋𝐴) = (𝑇 · (𝐵𝐴)) → 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))))
5233, 39, 513syld 60 1 (𝜑 → ((𝑋 = ((𝑆 · 𝐴) + (𝑇 · 𝐵)) ∧ (𝑆 + 𝑇) = 1) → 𝑇 = ((𝑋𝐴) / (𝐵𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  (class class class)co 6796  cc 10140  1c1 10143   + caddc 10145   · cmul 10147  cmin 10472   / cdiv 10890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-po 5171  df-so 5172  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891
This theorem is referenced by:  bj-bary1  33498
  Copyright terms: Public domain W3C validator