Theorem div23d 11290

Description: A commutative/associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
div23d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) · 𝐵))

Proof of Theorem div23d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		div23 11154	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) · 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1365	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1520   ∈ wcel 2079   ≠ wne 2982  (class class class)co 7007  ℂcc 10370  0cc0 10372   · cmul 10377   / cdiv 11134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-op 4473  df-uni 4740  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-id 5340  df-po 5354  df-so 5355  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-er 8130  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-div 11135

This theorem is referenced by:  bcpasc  13519  abslem2  14521  geolim  15047  bpolydiflem  15229  efaddlem  15267  eftlub  15283  bitsinv1lem  15611  pjthlem1  23711  itg2monolem3  24024  dvmulbr  24207  dvrecg  24241  dvmptdiv  24242  dvtaylp  24629  itgulm  24667  tanregt0  24792  logtayl2  24914  cxpeq  25007  heron  25085  dcubic2  25091  cubic2  25095  dquartlem1  25098  dquartlem2  25099  dquart  25100  quart1lem  25102  quart1  25103  dvatan  25182  atantayl  25184  jensenlem2  25235  lgamgulmlem2  25277  lgamgulmlem3  25278  ftalem2  25321  bclbnd  25526  bposlem9  25538  lgseisenlem4  25624  lgsquadlem1  25626  lgsquadlem2  25627  dchrvmasumlem1  25741  mulog2sumlem2  25781  2vmadivsumlem  25786  selberg3lem1  25803  selberg4lem1  25806  selberg4  25807  selberg3r  25815  pntrlog2bndlem4  25826  pntrlog2bndlem5  25827  pntibndlem2  25837  pntlemo  25853  brbtwn2  26362  colinearalg  26367  axsegconlem10  26383  axpaschlem  26397  axcontlem8  26428  pjhthlem1  28847  sinccvglem  32468  knoppndvlem14  33417  bj-bary1lem  34074  dvtan  34419  binomcxplemnotnn0  40178  dvnprodlem2  41727  itgsinexp  41735  stirlinglem3  41857  stirlinglem4  41858  dirkertrigeqlem3  41881  fourierdlem95  41982  eenglngeehlnmlem1  44159  eenglngeehlnmlem2  44160