Theorem div23d 12051

Description: A commutative/associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
div23d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) · 𝐵))

Proof of Theorem div23d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		div23 11915	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) · 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1372	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2936  (class class class)co 7414  ℂcc 11130  0cc0 11132   · cmul 11137   / cdiv 11895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896

This theorem is referenced by:  bcpasc  14306  abslem2  15312  geolim  15842  bpolydiflem  16024  efaddlem  16063  eftlub  16079  bitsinv1lem  16409  pjthlem1  25358  itg2monolem3  25675  dvmulbr  25862  dvmulbrOLD  25863  dvrecg  25898  dvmptdiv  25899  dvtaylp  26298  itgulm  26337  tanregt0  26466  logtayl2  26589  cxpeq  26685  heron  26763  dcubic2  26769  cubic2  26773  dquartlem1  26776  dquartlem2  26777  dquart  26778  quart1lem  26780  quart1  26781  dvatan  26860  atantayl  26862  jensenlem2  26913  lgamgulmlem2  26955  lgamgulmlem3  26956  ftalem2  26999  bclbnd  27206  bposlem9  27218  lgseisenlem4  27304  lgsquadlem1  27306  lgsquadlem2  27307  dchrvmasumlem1  27421  mulog2sumlem2  27461  2vmadivsumlem  27466  selberg3lem1  27483  selberg4lem1  27486  selberg4  27487  selberg3r  27495  pntrlog2bndlem4  27506  pntrlog2bndlem5  27507  pntibndlem2  27517  pntlemo  27533  brbtwn2  28709  colinearalg  28714  axsegconlem10  28730  axpaschlem  28744  axcontlem8  28775  pjhthlem1  31194  sinccvglem  35270  knoppndvlem14  35994  bj-bary1lem  36783  dvtan  37137  lcmineqlem10  41503  aks4d1p1p7  41539  cxpi11d  41908  binomcxplemnotnn0  43787  dvnprodlem2  45329  itgsinexp  45337  stirlinglem3  45458  stirlinglem4  45459  dirkertrigeqlem3  45482  fourierdlem95  45583  eenglngeehlnmlem1  47804  eenglngeehlnmlem2  47805