Theorem div23d 12056

Description: A commutative/associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
div23d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) · 𝐵))

Proof of Theorem div23d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		div23 11919	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) · 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1401	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) · 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  0cc0 11128   · cmul 11133   / cdiv 11899

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900

This theorem is used by:  bcpasc  14389  abslem2  15431  geolim  15963  bpolydiflem  16146  efaddlem  16185  eftlub  16203  bitsinv1lem  16537  pjthlem1  25671  itg2monolem3  25986  dvmulbr  26173  dvrecg  26207  dvmptdiv  26208  dvtaylp  26613  itgulm  26651  tanregt0  26784  logtayl2  26907  cxpeq  27002  heron  27083  dcubic2  27089  cubic2  27093  dquartlem1  27096  dquartlem2  27097  dquart  27098  quart1lem  27100  quart1  27101  dvatan  27180  atantayl  27182  jensenlem2  27232  lgamgulmlem2  27274  lgamgulmlem3  27275  ftalem2  27318  bclbnd  27524  bposlem9  27536  lgseisenlem4  27622  lgsquadlem1  27624  lgsquadlem2  27625  dchrvmasumlem1  27739  mulog2sumlem2  27779  2vmadivsumlem  27784  selberg3lem1  27801  selberg4lem1  27804  selberg4  27805  selberg3r  27813  pntrlog2bndlem4  27824  pntrlog2bndlem5  27825  pntibndlem2  27835  pntlemo  27851  brbtwn2  29370  colinearalg  29375  axsegconlem10  29391  axpaschlem  29405  axcontlem8  29436  pjhthlem1  31880  quad3d  33228  constrrtcclem  34252  sinccvglem  36259  knoppndvlem14  37230  bj-bary1lem  38070  dvtan  38427  lcmineqlem10  42912  aks4d1p1p7  42948  cxpi11d  43226  binomcxplemnotnn0  45188  dvnprodlem2  46783  itgsinexp  46791  stirlinglem3  46912  stirlinglem4  46913  dirkertrigeqlem3  46936  fourierdlem95  47037  eenglngeehlnmlem1  49675  eenglngeehlnmlem2  49676