MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  div23d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem div23d 11976
Description: A commutative/associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
divcld.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
divmuld.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
divassd.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  0)
Assertion
Ref Expression
div23d (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) ยท ๐ต))

Proof of Theorem div23d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 divcld.2 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3 divmuld.3 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
4 divassd.4 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  0)
5 div23 11840 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) ยท ๐ต))
61, 2, 3, 4, 5syl112anc 1375 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) ยท ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  0cc0 11059   ยท cmul 11064   / cdiv 11820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821
This theorem is referenced by:  bcpasc  14230  abslem2  15233  geolim  15763  bpolydiflem  15945  efaddlem  15983  eftlub  15999  bitsinv1lem  16329  pjthlem1  24824  itg2monolem3  25140  dvmulbr  25326  dvrecg  25360  dvmptdiv  25361  dvtaylp  25752  itgulm  25790  tanregt0  25918  logtayl2  26040  cxpeq  26133  heron  26211  dcubic2  26217  cubic2  26221  dquartlem1  26224  dquartlem2  26225  dquart  26226  quart1lem  26228  quart1  26229  dvatan  26308  atantayl  26310  jensenlem2  26360  lgamgulmlem2  26402  lgamgulmlem3  26403  ftalem2  26446  bclbnd  26651  bposlem9  26663  lgseisenlem4  26749  lgsquadlem1  26751  lgsquadlem2  26752  dchrvmasumlem1  26866  mulog2sumlem2  26906  2vmadivsumlem  26911  selberg3lem1  26928  selberg4lem1  26931  selberg4  26932  selberg3r  26940  pntrlog2bndlem4  26951  pntrlog2bndlem5  26952  pntibndlem2  26962  pntlemo  26978  brbtwn2  27903  colinearalg  27908  axsegconlem10  27924  axpaschlem  27938  axcontlem8  27969  pjhthlem1  30382  sinccvglem  34324  knoppndvlem14  35041  bj-bary1lem  35831  dvtan  36178  lcmineqlem10  40545  aks4d1p1p7  40581  binomcxplemnotnn0  42728  dvnprodlem2  44278  itgsinexp  44286  stirlinglem3  44407  stirlinglem4  44408  dirkertrigeqlem3  44431  fourierdlem95  44532  eenglngeehlnmlem1  46913  eenglngeehlnmlem2  46914
  Copyright terms: Public domain W3C validator