Theorem div23d 11968

Description: A commutative/associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
div23d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) · 𝐵))

Proof of Theorem div23d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		div23 11832	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) · 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  0cc0 11051   · cmul 11056   / cdiv 11812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813

This theorem is referenced by:  bcpasc  14221  abslem2  15224  geolim  15755  bpolydiflem  15937  efaddlem  15975  eftlub  15991  bitsinv1lem  16321  pjthlem1  24801  itg2monolem3  25117  dvmulbr  25303  dvrecg  25337  dvmptdiv  25338  dvtaylp  25729  itgulm  25767  tanregt0  25895  logtayl2  26017  cxpeq  26110  heron  26188  dcubic2  26194  cubic2  26198  dquartlem1  26201  dquartlem2  26202  dquart  26203  quart1lem  26205  quart1  26206  dvatan  26285  atantayl  26287  jensenlem2  26337  lgamgulmlem2  26379  lgamgulmlem3  26380  ftalem2  26423  bclbnd  26628  bposlem9  26640  lgseisenlem4  26726  lgsquadlem1  26728  lgsquadlem2  26729  dchrvmasumlem1  26843  mulog2sumlem2  26883  2vmadivsumlem  26888  selberg3lem1  26905  selberg4lem1  26908  selberg4  26909  selberg3r  26917  pntrlog2bndlem4  26928  pntrlog2bndlem5  26929  pntibndlem2  26939  pntlemo  26955  brbtwn2  27854  colinearalg  27859  axsegconlem10  27875  axpaschlem  27889  axcontlem8  27920  pjhthlem1  30333  sinccvglem  34260  knoppndvlem14  34988  bj-bary1lem  35781  dvtan  36128  lcmineqlem10  40495  aks4d1p1p7  40531  binomcxplemnotnn0  42626  dvnprodlem2  44178  itgsinexp  44186  stirlinglem3  44307  stirlinglem4  44308  dirkertrigeqlem3  44331  fourierdlem95  44432  eenglngeehlnmlem1  46813  eenglngeehlnmlem2  46814