Theorem div23d 11941

Description: A commutative/associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
div23d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) · 𝐵))

Proof of Theorem div23d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		div23 11802	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) · 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1376	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  0cc0 11013   · cmul 11018   / cdiv 11781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782

This theorem is referenced by:  bcpasc  14230  abslem2  15249  geolim  15779  bpolydiflem  15963  efaddlem  16002  eftlub  16020  bitsinv1lem  16354  pjthlem1  25365  itg2monolem3  25681  dvmulbr  25869  dvmulbrOLD  25870  dvrecg  25905  dvmptdiv  25906  dvtaylp  26306  itgulm  26345  tanregt0  26476  logtayl2  26599  cxpeq  26695  heron  26776  dcubic2  26782  cubic2  26786  dquartlem1  26789  dquartlem2  26790  dquart  26791  quart1lem  26793  quart1  26794  dvatan  26873  atantayl  26875  jensenlem2  26926  lgamgulmlem2  26968  lgamgulmlem3  26969  ftalem2  27012  bclbnd  27219  bposlem9  27231  lgseisenlem4  27317  lgsquadlem1  27319  lgsquadlem2  27320  dchrvmasumlem1  27434  mulog2sumlem2  27474  2vmadivsumlem  27479  selberg3lem1  27496  selberg4lem1  27499  selberg4  27500  selberg3r  27508  pntrlog2bndlem4  27519  pntrlog2bndlem5  27520  pntibndlem2  27530  pntlemo  27546  brbtwn2  28885  colinearalg  28890  axsegconlem10  28906  axpaschlem  28920  axcontlem8  28951  pjhthlem1  31373  quad3d  32737  constrrtcclem  33768  sinccvglem  35737  knoppndvlem14  36590  bj-bary1lem  37375  dvtan  37730  lcmineqlem10  42151  aks4d1p1p7  42187  cxpi11d  42461  binomcxplemnotnn0  44473  dvnprodlem2  46069  itgsinexp  46077  stirlinglem3  46198  stirlinglem4  46199  dirkertrigeqlem3  46222  fourierdlem95  46323  eenglngeehlnmlem1  48862  eenglngeehlnmlem2  48863