Theorem div23d 12046

Description: A commutative/associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
div23d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) · 𝐵))

Proof of Theorem div23d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		div23 11909	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) · 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1401	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = ((𝐴 / 𝐶) · 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  0cc0 11118   · cmul 11123   / cdiv 11889

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890

This theorem is used by:  bcpasc  14377  abslem2  15417  geolim  15950  bpolydiflem  16133  efaddlem  16172  eftlub  16190  bitsinv1lem  16524  pjthlem1  25633  itg2monolem3  25948  dvmulbr  26135  dvrecg  26169  dvmptdiv  26170  dvtaylp  26570  itgulm  26608  tanregt0  26741  logtayl2  26864  cxpeq  26959  heron  27040  dcubic2  27046  cubic2  27050  dquartlem1  27053  dquartlem2  27054  dquart  27055  quart1lem  27057  quart1  27058  dvatan  27137  atantayl  27139  jensenlem2  27189  lgamgulmlem2  27231  lgamgulmlem3  27232  ftalem2  27275  bclbnd  27481  bposlem9  27493  lgseisenlem4  27579  lgsquadlem1  27581  lgsquadlem2  27582  dchrvmasumlem1  27696  mulog2sumlem2  27736  2vmadivsumlem  27741  selberg3lem1  27758  selberg4lem1  27761  selberg4  27762  selberg3r  27770  pntrlog2bndlem4  27781  pntrlog2bndlem5  27782  pntibndlem2  27792  pntlemo  27808  brbtwn2  29292  colinearalg  29297  axsegconlem10  29313  axpaschlem  29327  axcontlem8  29358  pjhthlem1  31780  quad3d  33131  constrrtcclem  34155  sinccvglem  36185  knoppndvlem14  37155  bj-bary1lem  37995  dvtan  38362  lcmineqlem10  42846  aks4d1p1p7  42882  cxpi11d  43145  binomcxplemnotnn0  45107  dvnprodlem2  46702  itgsinexp  46710  stirlinglem3  46831  stirlinglem4  46832  dirkertrigeqlem3  46855  fourierdlem95  46956  eenglngeehlnmlem1  49558  eenglngeehlnmlem2  49559