MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscauf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscauf 23601
Description: Express the property "𝐹 is a Cauchy sequence of metric 𝐷 " presupposing 𝐹 is a function. (Contributed by NM, 24-Jul-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
iscau3.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
iscau3.3 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
iscau3.4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iscau4.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
iscau4.6 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) = 𝐵)
iscauf.7 (𝜑𝐹:𝑍𝑋)
Assertion
Ref Expression
iscauf (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵𝐷𝐴) < 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐷   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝑋,𝑘,𝑥   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐵(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem iscauf
StepHypRef Expression
1 iscau3.3 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 elfvdm 6528 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ dom ∞Met)
4 cnex 10414 . . . . 5 ℂ ∈ V
53, 4jctir 513 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V))
6 iscauf.7 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑍𝑋)
7 iscau3.2 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
8 uzssz 12076 . . . . . . 7 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
9 zsscn 11799 . . . . . . 7 ℤ ⊆ ℂ
108, 9sstri 3860 . . . . . 6 (ℤ𝑀) ⊆ ℂ
117, 10eqsstri 3884 . . . . 5 𝑍 ⊆ ℂ
126, 11jctir 513 . . . 4 (𝜑 → (𝐹:𝑍𝑋𝑍 ⊆ ℂ))
13 elpm2r 8222 . . . 4 (((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V) ∧ (𝐹:𝑍𝑋𝑍 ⊆ ℂ)) → 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
145, 12, 13syl2anc 576 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
1514biantrurd 525 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥))))
161adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
17 iscau4.6 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) = 𝐵)
1817adantrr 705 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐹𝑗) = 𝐵)
196adantr 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐹:𝑍𝑋)
20 simprl 759 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑗𝑍)
2119, 20ffvelrnd 6675 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋)
2218, 21eqeltrrd 2860 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐵𝑋)
237uztrn2 12074 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
24 iscau4.5 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
2523, 24sylan2 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
26 ffvelrn 6672 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝑍𝑋𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
276, 23, 26syl2an 587 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
2825, 27eqeltrrd 2860 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐴𝑋)
29 xmetsym 22675 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐵))
3016, 22, 28, 29syl3anc 1352 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐵𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐵))
3130breq1d 4935 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐵𝐷𝐴) < 𝑥 ↔ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥))
32 fdm 6349 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝑍𝑋 → dom 𝐹 = 𝑍)
3332eleq2d 2844 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑍𝑋 → (𝑘 ∈ dom 𝐹𝑘𝑍))
3433biimpar 470 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝑍𝑋𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
356, 23, 34syl2an 587 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
3635, 28jca 504 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋))
3736biantrurd 525 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐴𝐷𝐵) < 𝑥 ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋) ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥)))
38 df-3an 1071 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥) ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋) ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥))
3937, 38syl6bbr 281 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐴𝐷𝐵) < 𝑥 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥)))
4031, 39bitrd 271 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐵𝐷𝐴) < 𝑥 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥)))
4140anassrs 460 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐵𝐷𝐴) < 𝑥 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥)))
4241ralbidva 3139 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵𝐷𝐴) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥)))
4342rexbidva 3234 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵𝐷𝐴) < 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥)))
4443ralbidv 3140 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵𝐷𝐴) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥)))
45 iscau3.4 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
467, 1, 45, 24, 17iscau4 23600 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥))))
4715, 44, 463bitr4rd 304 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵𝐷𝐴) < 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1069   = wceq 1508  wcel 2051  wral 3081  wrex 3082  Vcvv 3408  wss 3822   class class class wbr 4925  dom cdm 5403  wf 6181  cfv 6185  (class class class)co 6974  pm cpm 8205  cc 10331   < clt 10472  cz 11791  cuz 12056  +crp 12202  ∞Metcxmet 20247  Cauccau 23574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-po 5322  df-so 5323  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-er 8087  df-map 8206  df-pm 8207  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-div 11097  df-2 11501  df-z 11792  df-uz 12057  df-rp 12203  df-xneg 12322  df-xadd 12323  df-psmet 20254  df-xmet 20255  df-bl 20257  df-cau 23577
This theorem is referenced by:  iscmet3lem1  23612  causs  23619  caubl  23629  minvecolem3  28446  h2hcau  28550  geomcau  34513  caushft  34515  rrncmslem  34589
  Copyright terms: Public domain W3C validator