MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscauf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscauf 24796
Description: Express the property "𝐹 is a Cauchy sequence of metric 𝐷 " presupposing 𝐹 is a function. (Contributed by NM, 24-Jul-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
iscau3.2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
iscau3.3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
iscau3.4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
iscau4.5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
iscau4.6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = 𝐡)
iscauf.7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹)
Assertion
Ref Expression
iscauf (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(𝐡𝐷𝐴) < π‘₯))
Distinct variable groups:   𝑗,π‘˜,π‘₯,𝐷   𝑗,𝐹,π‘˜,π‘₯   πœ‘,𝑗,π‘˜,π‘₯   𝑗,𝑋,π‘˜,π‘₯   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝐡(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝑀(π‘₯,π‘˜)

Proof of Theorem iscauf
StepHypRef Expression
1 iscau3.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2 elfvdm 6928 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
31, 2syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
4 cnex 11190 . . . . 5 β„‚ ∈ V
53, 4jctir 521 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ β„‚ ∈ V))
6 iscauf.7 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹)
7 iscau3.2 . . . . . 6 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
8 uzssz 12842 . . . . . . 7 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„€
9 zsscn 12565 . . . . . . 7 β„€ βŠ† β„‚
108, 9sstri 3991 . . . . . 6 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„‚
117, 10eqsstri 4016 . . . . 5 𝑍 βŠ† β„‚
126, 11jctir 521 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹:π‘βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑍 βŠ† β„‚))
13 elpm2r 8838 . . . 4 (((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ β„‚ ∈ V) ∧ (𝐹:π‘βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑍 βŠ† β„‚)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚))
145, 12, 13syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚))
1514biantrurd 533 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) < π‘₯) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) < π‘₯))))
161adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
17 iscau4.6 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = 𝐡)
1817adantrr 715 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = 𝐡)
196adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹)
20 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
2119, 20ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋)
2218, 21eqeltrrd 2834 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
237uztrn2 12840 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
24 iscau4.5 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
2523, 24sylan2 593 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
26 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π‘βŸΆπ‘‹ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
276, 23, 26syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
2825, 27eqeltrrd 2834 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
29 xmetsym 23852 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐡))
3016, 22, 28, 29syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (𝐡𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐡))
3130breq1d 5158 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((𝐡𝐷𝐴) < π‘₯ ↔ (𝐴𝐷𝐡) < π‘₯))
32 fdm 6726 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ dom 𝐹 = 𝑍)
3332eleq2d 2819 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ↔ π‘˜ ∈ 𝑍))
3433biimpar 478 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π‘βŸΆπ‘‹ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘˜ ∈ dom 𝐹)
356, 23, 34syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ π‘˜ ∈ dom 𝐹)
3635, 28jca 512 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
3736biantrurd 533 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((𝐴𝐷𝐡) < π‘₯ ↔ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝐷𝐡) < π‘₯)))
38 df-3an 1089 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) < π‘₯) ↔ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝐷𝐡) < π‘₯))
3937, 38bitr4di 288 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((𝐴𝐷𝐡) < π‘₯ ↔ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) < π‘₯)))
4031, 39bitrd 278 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((𝐡𝐷𝐴) < π‘₯ ↔ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) < π‘₯)))
4140anassrs 468 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((𝐡𝐷𝐴) < π‘₯ ↔ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) < π‘₯)))
4241ralbidva 3175 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(𝐡𝐷𝐴) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) < π‘₯)))
4342rexbidva 3176 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(𝐡𝐷𝐴) < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) < π‘₯)))
4443ralbidv 3177 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(𝐡𝐷𝐴) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) < π‘₯)))
45 iscau3.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
467, 1, 45, 24, 17iscau4 24795 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) < π‘₯))))
4715, 44, 463bitr4rd 311 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(𝐡𝐷𝐴) < π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ↑pm cpm 8820  β„‚cc 11107   < clt 11247  β„€cz 12557  β„€β‰₯cuz 12821  β„+crp 12973  βˆžMetcxmet 20928  Cauccau 24769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-2 12274  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-bl 20938  df-cau 24772
This theorem is referenced by:  iscmet3lem1  24807  causs  24814  caubl  24824  minvecolem3  30124  h2hcau  30227  geomcau  36622  caushft  36624  rrncmslem  36695
  Copyright terms: Public domain W3C validator