Theorem iscauf 25601

Description: Express the property "𝐹 is a Cauchy sequence of metric 𝐷 " presupposing 𝐹 is a function. (Contributed by NM, 24-Jul-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscau3.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
iscau3.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
iscau3.4	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
iscau4.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
iscau4.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) = 𝐵)
iscauf.7	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝑋)

Assertion

Ref	Expression
iscauf	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵𝐷𝐴) < 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐷   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝑋,𝑘,𝑥   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑗, 𝑘)   𝐵(𝑥, 𝑗, 𝑘)   𝑀(𝑥, 𝑘)

Proof of Theorem iscauf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscau3.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2		elfvdm 6919	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
3	1, 2	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
4		cnex 11281	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
5	3, 4	jctir 530	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V))
6		iscauf.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶𝑋)
7		iscau3.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
8		uzssz 12986	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
9		zsscn 12701	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
10	8, 9	sstri 3940	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℂ
11	7, 10	eqsstri 3977	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ⊆ ℂ
12	6, 11	jctir 530	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑍⟶𝑋 ∧ 𝑍 ⊆ ℂ))
13		elpm2r 8865	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V) ∧ (𝐹:𝑍⟶𝑋 ∧ 𝑍 ⊆ ℂ)) → 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
14	5, 12, 13	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ))
15	14	biantrurd 542	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥))))
16	1	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
17		iscau4.6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) = 𝐵)
18	17	adantrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐹‘𝑗) = 𝐵)
19	6	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝐹:𝑍⟶𝑋)
20		simprl 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝑗 ∈ 𝑍)
21	19, 20	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐹‘𝑗) ∈ 𝑋)
22	18, 21	eqeltrrd 2862	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝐵 ∈ 𝑋)
23	7	uztrn2 12984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
24		iscau4.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
25	23, 24	sylan2 605	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
26		ffvelcdm 7081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝑍⟶𝑋 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
27	6, 23, 26	syl2an 608	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
28	25, 27	eqeltrrd 2862	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝐴 ∈ 𝑋)
29		xmetsym 24666	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐵𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐵))
30	16, 22, 28, 29	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝐵𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐵))
31	30	breq1d 5113	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐵𝐷𝐴) < 𝑥 ↔ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥))
32		fdm 6719	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹:𝑍⟶𝑋 → dom 𝐹 = 𝑍)
33	32	eleq2d 2847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝑍⟶𝑋 → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝑘 ∈ 𝑍))
34	33	biimpar 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝑍⟶𝑋 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
35	6, 23, 34	syl2an 608	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
36	35, 28	jca 521	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
37	36	biantrurd 542	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐴𝐷𝐵) < 𝑥 ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥)))
38		df-3an 1105	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥) ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥))
39	37, 38	bitr4di 292	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐴𝐷𝐵) < 𝑥 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥)))
40	31, 39	bitrd 282	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((𝐵𝐷𝐴) < 𝑥 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥)))
41	40	anassrs 473	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐵𝐷𝐴) < 𝑥 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥)))
42	41	ralbidva 3184	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵𝐷𝐴) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥)))
43	42	rexbidva 3185	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵𝐷𝐴) < 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥)))
44	43	ralbidv 3186	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵𝐷𝐴) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥)))
45		iscau3.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
46	7, 1, 45, 24, 17	iscau4 25600	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥))))
47	15, 44, 46	3bitr4rd 315	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐵𝐷𝐴) < 𝑥))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  dom cdm 5651  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_pm cpm 8848  ℂcc 11198   < clt 11343  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965  ℝ⁺crp 13120  ∞Metcxmet 21663  Cauccau 25574

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-bl 21673  df-cau 25577

This theorem is used by:  iscmet3lem1  25612  causs  25619  caubl  25629  minvecolem3  31478  h2hcau  31581  geomcau  38693  caushft  38695  rrncmslem  38766