MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscauf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscauf 23810
Description: Express the property "𝐹 is a Cauchy sequence of metric 𝐷 " presupposing 𝐹 is a function. (Contributed by NM, 24-Jul-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
iscau3.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
iscau3.3 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
iscau3.4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
iscau4.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
iscau4.6 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) = 𝐵)
iscauf.7 (𝜑𝐹:𝑍𝑋)
Assertion
Ref Expression
iscauf (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵𝐷𝐴) < 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐷   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥   𝑗,𝑋,𝑘,𝑥   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐵(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑀(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem iscauf
StepHypRef Expression
1 iscau3.3 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 elfvdm 6695 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ dom ∞Met)
4 cnex 10606 . . . . 5 ℂ ∈ V
53, 4jctir 521 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V))
6 iscauf.7 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑍𝑋)
7 iscau3.2 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
8 uzssz 12252 . . . . . . 7 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
9 zsscn 11977 . . . . . . 7 ℤ ⊆ ℂ
108, 9sstri 3973 . . . . . 6 (ℤ𝑀) ⊆ ℂ
117, 10eqsstri 3998 . . . . 5 𝑍 ⊆ ℂ
126, 11jctir 521 . . . 4 (𝜑 → (𝐹:𝑍𝑋𝑍 ⊆ ℂ))
13 elpm2r 8413 . . . 4 (((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V) ∧ (𝐹:𝑍𝑋𝑍 ⊆ ℂ)) → 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
145, 12, 13syl2anc 584 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
1514biantrurd 533 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥))))
161adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
17 iscau4.6 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) = 𝐵)
1817adantrr 713 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐹𝑗) = 𝐵)
196adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐹:𝑍𝑋)
20 simprl 767 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑗𝑍)
2119, 20ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋)
2218, 21eqeltrrd 2911 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐵𝑋)
237uztrn2 12250 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
24 iscau4.5 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
2523, 24sylan2 592 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
26 ffvelrn 6841 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝑍𝑋𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
276, 23, 26syl2an 595 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
2825, 27eqeltrrd 2911 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝐴𝑋)
29 xmetsym 22884 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐵))
3016, 22, 28, 29syl3anc 1363 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐵𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐵))
3130breq1d 5067 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐵𝐷𝐴) < 𝑥 ↔ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥))
32 fdm 6515 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝑍𝑋 → dom 𝐹 = 𝑍)
3332eleq2d 2895 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑍𝑋 → (𝑘 ∈ dom 𝐹𝑘𝑍))
3433biimpar 478 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝑍𝑋𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
356, 23, 34syl2an 595 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
3635, 28jca 512 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋))
3736biantrurd 533 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐴𝐷𝐵) < 𝑥 ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋) ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥)))
38 df-3an 1081 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥) ↔ ((𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋) ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥))
3937, 38syl6bbr 290 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐴𝐷𝐵) < 𝑥 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥)))
4031, 39bitrd 280 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐵𝐷𝐴) < 𝑥 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥)))
4140anassrs 468 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐵𝐷𝐴) < 𝑥 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥)))
4241ralbidva 3193 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵𝐷𝐴) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥)))
4342rexbidva 3293 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵𝐷𝐴) < 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥)))
4443ralbidv 3194 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵𝐷𝐴) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥)))
45 iscau3.4 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
467, 1, 45, 24, 17iscau4 23809 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹𝐴𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐵) < 𝑥))))
4715, 44, 463bitr4rd 313 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐵𝐷𝐴) < 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  Vcvv 3492  wss 3933   class class class wbr 5057  dom cdm 5548  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  pm cpm 8396  cc 10523   < clt 10663  cz 11969  cuz 12231  +crp 12377  ∞Metcxmet 20458  Cauccau 23783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-2 11688  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-bl 20468  df-cau 23786
This theorem is referenced by:  iscmet3lem1  23821  causs  23828  caubl  23838  minvecolem3  28580  h2hcau  28683  geomcau  34915  caushft  34917  rrncmslem  34991
  Copyright terms: Public domain W3C validator