MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscauf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscauf 24667
Description: Express the property "𝐹 is a Cauchy sequence of metric 𝐷 " presupposing 𝐹 is a function. (Contributed by NM, 24-Jul-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
iscau3.2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
iscau3.3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
iscau3.4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
iscau4.5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
iscau4.6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = 𝐡)
iscauf.7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹)
Assertion
Ref Expression
iscauf (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(𝐡𝐷𝐴) < π‘₯))
Distinct variable groups:   𝑗,π‘˜,π‘₯,𝐷   𝑗,𝐹,π‘˜,π‘₯   πœ‘,𝑗,π‘˜,π‘₯   𝑗,𝑋,π‘˜,π‘₯   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝐡(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝑀(π‘₯,π‘˜)

Proof of Theorem iscauf
StepHypRef Expression
1 iscau3.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2 elfvdm 6883 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
31, 2syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
4 cnex 11140 . . . . 5 β„‚ ∈ V
53, 4jctir 522 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ β„‚ ∈ V))
6 iscauf.7 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹)
7 iscau3.2 . . . . . 6 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
8 uzssz 12792 . . . . . . 7 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„€
9 zsscn 12515 . . . . . . 7 β„€ βŠ† β„‚
108, 9sstri 3957 . . . . . 6 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„‚
117, 10eqsstri 3982 . . . . 5 𝑍 βŠ† β„‚
126, 11jctir 522 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹:π‘βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑍 βŠ† β„‚))
13 elpm2r 8789 . . . 4 (((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ β„‚ ∈ V) ∧ (𝐹:π‘βŸΆπ‘‹ ∧ 𝑍 βŠ† β„‚)) β†’ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚))
145, 12, 13syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚))
1514biantrurd 534 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) < π‘₯) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) < π‘₯))))
161adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
17 iscau4.6 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = 𝐡)
1817adantrr 716 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (πΉβ€˜π‘—) = 𝐡)
196adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ 𝐹:π‘βŸΆπ‘‹)
20 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
2119, 20ffvelcdmd 7040 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ 𝑋)
2218, 21eqeltrrd 2835 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
237uztrn2 12790 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
24 iscau4.5 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
2523, 24sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
26 ffvelcdm 7036 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π‘βŸΆπ‘‹ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
276, 23, 26syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
2825, 27eqeltrrd 2835 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
29 xmetsym 23723 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐡))
3016, 22, 28, 29syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (𝐡𝐷𝐴) = (𝐴𝐷𝐡))
3130breq1d 5119 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((𝐡𝐷𝐴) < π‘₯ ↔ (𝐴𝐷𝐡) < π‘₯))
32 fdm 6681 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ dom 𝐹 = 𝑍)
3332eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:π‘βŸΆπ‘‹ β†’ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ↔ π‘˜ ∈ 𝑍))
3433biimpar 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π‘βŸΆπ‘‹ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ π‘˜ ∈ dom 𝐹)
356, 23, 34syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ π‘˜ ∈ dom 𝐹)
3635, 28jca 513 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋))
3736biantrurd 534 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((𝐴𝐷𝐡) < π‘₯ ↔ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝐷𝐡) < π‘₯)))
38 df-3an 1090 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) < π‘₯) ↔ ((π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝐷𝐡) < π‘₯))
3937, 38bitr4di 289 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((𝐴𝐷𝐡) < π‘₯ ↔ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) < π‘₯)))
4031, 39bitrd 279 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))) β†’ ((𝐡𝐷𝐴) < π‘₯ ↔ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) < π‘₯)))
4140anassrs 469 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((𝐡𝐷𝐴) < π‘₯ ↔ (π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) < π‘₯)))
4241ralbidva 3169 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(𝐡𝐷𝐴) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) < π‘₯)))
4342rexbidva 3170 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(𝐡𝐷𝐴) < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) < π‘₯)))
4443ralbidv 3171 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(𝐡𝐷𝐴) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) < π‘₯)))
45 iscau3.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
467, 1, 45, 24, 17iscau4 24666 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋 ↑pm β„‚) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(π‘˜ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝐷𝐡) < π‘₯))))
4715, 44, 463bitr4rd 312 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ (Cauβ€˜π·) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(𝐡𝐷𝐴) < π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3447   βŠ† wss 3914   class class class wbr 5109  dom cdm 5637  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ↑pm cpm 8772  β„‚cc 11057   < clt 11197  β„€cz 12507  β„€β‰₯cuz 12771  β„+crp 12923  βˆžMetcxmet 20804  Cauccau 24640
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-2 12224  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-bl 20814  df-cau 24643
This theorem is referenced by:  iscmet3lem1  24678  causs  24685  caubl  24695  minvecolem3  29867  h2hcau  29970  geomcau  36268  caushft  36270  rrncmslem  36341
  Copyright terms: Public domain W3C validator