Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme26eALTN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme26eALTN 39758
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 3rd paragraph, 4th line on p. 115. 𝐹, 𝑁, 𝑂 represent f(z), fz(s), fz(t) respectively. When t ∨ v = p ∨ q, fz(s) ≀ fz(t) ∨ v. TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 1-Feb-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme26.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdleme26.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdleme26.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleme26.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleme26.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdleme26.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleme26eALT.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
cdleme26eALT.f 𝐹 = ((𝑦 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑦) ∧ π‘Š)))
cdleme26eALT.g 𝐺 = ((𝑧 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑧) ∧ π‘Š)))
cdleme26eALT.n 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐹 ∨ ((𝑆 ∨ 𝑦) ∧ π‘Š)))
cdleme26eALT.o 𝑂 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺 ∨ ((𝑇 ∨ 𝑧) ∧ π‘Š)))
cdleme26eALT.i 𝐼 = (℩𝑒 ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑦 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑦 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑒 = 𝑁))
cdleme26eALT.e 𝐸 = (℩𝑒 ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑒 = 𝑂))
Assertion
Ref Expression
cdleme26eALTN ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š ∧ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑦 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑦 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝐼 ≀ (𝐸 ∨ 𝑉))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝑒,𝐴   𝑦,𝐡,𝑧,𝑒   𝑦,𝐻,𝑧   𝑦, ∨ ,𝑧,𝑒   𝑦,𝐾,𝑧   𝑦, ≀ ,𝑧,𝑒   𝑦, ∧ ,𝑧,𝑒   𝑒,𝑁   𝑒,𝑂   𝑦,𝑃,𝑧,𝑒   𝑦,𝑄,𝑧,𝑒   𝑦,𝑆,𝑒   𝑧,𝑇,𝑒   𝑦,π‘ˆ,𝑧,𝑒   𝑦,π‘Š,𝑧,𝑒
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧)   𝑇(𝑦)   𝐸(𝑦,𝑧,𝑒)   𝐹(𝑦,𝑧,𝑒)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑒)   𝐻(𝑒)   𝐼(𝑦,𝑧,𝑒)   𝐾(𝑒)   𝑁(𝑦,𝑧)   𝑂(𝑦,𝑧)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑒)

Proof of Theorem cdleme26eALTN
StepHypRef Expression
1 simp11l 1282 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š ∧ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑦 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑦 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp11r 1283 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š ∧ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑦 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑦 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
3 simp231 1315 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š ∧ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑦 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑦 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
4 simp12 1202 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š ∧ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑦 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑦 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
5 simp13 1203 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š ∧ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑦 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑦 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
6 simp21 1204 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š ∧ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑦 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑦 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
7 simp221 1312 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š ∧ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑦 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑦 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
8 simp31 1207 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š ∧ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑦 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑦 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ 𝑄)))
9 simp21 1204 . . . . 5 (((𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑦 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑦 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
1093ad2ant3 1133 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š ∧ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑦 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑦 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
11 simp322 1322 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š ∧ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑦 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑦 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ Β¬ 𝑦 ≀ π‘Š)
12 simp31 1207 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑦 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑦 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
13123ad2ant3 1133 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š ∧ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑦 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑦 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
14 simp332 1325 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š ∧ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑦 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑦 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š)
1513, 14jca 511 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š ∧ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑦 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑦 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š))
1610, 11, 15jca31 514 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š ∧ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑦 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑦 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑦 ≀ π‘Š) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š)))
17 cdleme26.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
18 cdleme26.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
19 cdleme26.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
20 cdleme26.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
21 cdleme26.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
22 cdleme26eALT.u . . . 4 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
23 cdleme26eALT.f . . . 4 𝐹 = ((𝑦 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑦) ∧ π‘Š)))
24 cdleme26eALT.g . . . 4 𝐺 = ((𝑧 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑧) ∧ π‘Š)))
25 cdleme26eALT.n . . . 4 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐹 ∨ ((𝑆 ∨ 𝑦) ∧ π‘Š)))
26 cdleme26eALT.o . . . 4 𝑂 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐺 ∨ ((𝑇 ∨ 𝑧) ∧ π‘Š)))
2717, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26cdleme22eALTN 39742 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑦 ≀ π‘Š) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š)))) β†’ 𝑁 ≀ (𝑂 ∨ 𝑉))
281, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 16, 27syl333anc 1400 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š ∧ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑦 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑦 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑁 ≀ (𝑂 ∨ 𝑉))
29 simp11 1201 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š ∧ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑦 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑦 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
30 simp222 1313 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š ∧ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑦 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑦 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)
31 simp223 1314 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š ∧ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑦 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑦 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
32 cdleme26.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
33 cdleme26eALT.i . . . . 5 𝐼 = (℩𝑒 ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑦 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑦 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑒 = 𝑁))
3432, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 33cdleme25cl 39754 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝐼 ∈ 𝐡)
3529, 4, 5, 7, 30, 6, 31, 34syl322anc 1396 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š ∧ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑦 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑦 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝐼 ∈ 𝐡)
36 simp323 1323 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š ∧ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑦 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑦 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ Β¬ 𝑦 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
3732fvexi 6905 . . . 4 𝐡 ∈ V
3837, 33riotasv 38355 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑦 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑦 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝐼 = 𝑁)
3935, 10, 11, 36, 38syl112anc 1372 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š ∧ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑦 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑦 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝐼 = 𝑁)
40 simp232 1316 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š ∧ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑦 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑦 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)
41 simp233 1317 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š ∧ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑦 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑦 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
42 cdleme26eALT.e . . . . . 6 𝐸 = (℩𝑒 ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑒 = 𝑂))
4332, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 26, 42cdleme25cl 39754 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝐸 ∈ 𝐡)
4429, 4, 5, 3, 40, 6, 41, 43syl322anc 1396 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š ∧ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑦 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑦 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝐸 ∈ 𝐡)
45 simp333 1326 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š ∧ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑦 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑦 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ Β¬ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
4637, 42riotasv 38355 . . . 4 ((𝐸 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝐸 = 𝑂)
4744, 13, 14, 45, 46syl112anc 1372 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š ∧ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑦 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑦 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝐸 = 𝑂)
4847oveq1d 7429 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š ∧ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑦 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑦 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ (𝐸 ∨ 𝑉) = (𝑂 ∨ 𝑉))
4928, 39, 483brtr4d 5174 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š ∧ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š ∧ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ ((𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š ∧ (𝑇 ∨ 𝑉) = (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑦 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑦 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ 𝐼 ≀ (𝐸 ∨ 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  β„©crio 7369  (class class class)co 7414  Basecbs 17165  lecple 17225  joincjn 18288  meetcmee 18289  Atomscatm 38659  HLchlt 38746  LHypclh 39381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-riotaBAD 38349
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-undef 8270  df-proset 18272  df-poset 18290  df-plt 18307  df-lub 18323  df-glb 18324  df-join 18325  df-meet 18326  df-p0 18402  df-p1 18403  df-lat 18409  df-clat 18476  df-oposet 38572  df-ol 38574  df-oml 38575  df-covers 38662  df-ats 38663  df-atl 38694  df-cvlat 38718  df-hlat 38747  df-llines 38895  df-lplanes 38896  df-lvols 38897  df-lines 38898  df-psubsp 38900  df-pmap 38901  df-padd 39193  df-lhyp 39385
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator