Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme27N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme27N 39228
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Eliminate the 𝑠 β‰  𝑑 antecedent in cdleme27a 39226. (Contributed by NM, 3-Feb-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme26.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdleme26.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdleme26.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleme26.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleme26.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdleme26.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleme27.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
cdleme27.f 𝐹 = ((𝑠 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š)))
cdleme27.z 𝑍 = ((𝑧 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑧) ∧ π‘Š)))
cdleme27.n 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑍 ∨ ((𝑠 ∨ 𝑧) ∧ π‘Š)))
cdleme27.d 𝐷 = (℩𝑒 ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑒 = 𝑁))
cdleme27.c 𝐢 = if(𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), 𝐷, 𝐹)
cdleme27.g 𝐺 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
cdleme27.o 𝑂 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑍 ∨ ((𝑑 ∨ 𝑧) ∧ π‘Š)))
cdleme27.e 𝐸 = (℩𝑒 ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑒 = 𝑂))
cdleme27.y π‘Œ = if(𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), 𝐸, 𝐺)
Assertion
Ref Expression
cdleme27N ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐢 ≀ (π‘Œ ∨ 𝑉))
Distinct variable groups:   𝑑,𝑠,𝑒,𝑧,𝐴   𝐡,𝑠,𝑑,𝑒,𝑧   𝑒,𝐹   𝑒,𝐺   𝐻,𝑠,𝑑,𝑧   ∨ ,𝑠,𝑑,𝑒,𝑧   𝐾,𝑠,𝑑,𝑧   ≀ ,𝑠,𝑑,𝑒,𝑧   ∧ ,𝑠,𝑑,𝑒,𝑧   𝑑,𝑁,𝑒   𝑂,𝑠,𝑒   𝑃,𝑠,𝑑,𝑒,𝑧   𝑄,𝑠,𝑑,𝑒,𝑧   π‘ˆ,𝑠,𝑑,𝑒,𝑧   𝑧,𝑉   π‘Š,𝑠,𝑑,𝑒,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐢(𝑧,𝑒,𝑑,𝑠)   𝐷(𝑧,𝑒,𝑑,𝑠)   𝐸(𝑧,𝑒,𝑑,𝑠)   𝐹(𝑧,𝑑,𝑠)   𝐺(𝑧,𝑑,𝑠)   𝐻(𝑒)   𝐾(𝑒)   𝑁(𝑧,𝑠)   𝑂(𝑧,𝑑)   𝑉(𝑒,𝑑,𝑠)   π‘Œ(𝑧,𝑒,𝑑,𝑠)   𝑍(𝑧,𝑒,𝑑,𝑠)

Proof of Theorem cdleme27N
StepHypRef Expression
1 cdleme26.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 cdleme26.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 cdleme26.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4 cdleme26.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
5 cdleme26.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
6 cdleme26.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
7 cdleme27.u . . . . 5 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
8 cdleme27.f . . . . 5 𝐹 = ((𝑠 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š)))
9 cdleme27.z . . . . 5 𝑍 = ((𝑧 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑧) ∧ π‘Š)))
10 cdleme27.n . . . . 5 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑍 ∨ ((𝑠 ∨ 𝑧) ∧ π‘Š)))
11 cdleme27.d . . . . 5 𝐷 = (℩𝑒 ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑒 = 𝑁))
12 cdleme27.c . . . . 5 𝐢 = if(𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), 𝐷, 𝐹)
13 cdleme27.g . . . . 5 𝐺 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
14 cdleme27.o . . . . 5 𝑂 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑍 ∨ ((𝑑 ∨ 𝑧) ∧ π‘Š)))
15 cdleme27.e . . . . 5 𝐸 = (℩𝑒 ∈ 𝐡 βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑒 = 𝑂))
16 cdleme27.y . . . . 5 π‘Œ = if(𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), 𝐸, 𝐺)
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16cdleme27b 39227 . . . 4 (𝑠 = 𝑑 β†’ 𝐢 = π‘Œ)
1817adantl 482 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) ∧ 𝑠 = 𝑑) β†’ 𝐢 = π‘Œ)
19 simp11l 1284 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2019hllatd 38222 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
21 simp11r 1285 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
22 simp21 1206 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
23 simp22 1207 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
24 simp23 1208 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š))
25 simp12 1204 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
261, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13, 9, 14, 15, 16cdleme27cl 39225 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š) ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
2719, 21, 22, 23, 24, 25, 26syl222anc 1386 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
28 simp3rl 1246 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑉 ∈ 𝐴)
291, 5atbase 38147 . . . . . 6 (𝑉 ∈ 𝐴 β†’ 𝑉 ∈ 𝐡)
3028, 29syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑉 ∈ 𝐡)
311, 2, 3latlej1 18397 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ≀ (π‘Œ ∨ 𝑉))
3220, 27, 30, 31syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ π‘Œ ≀ (π‘Œ ∨ 𝑉))
3332adantr 481 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) ∧ 𝑠 = 𝑑) β†’ π‘Œ ≀ (π‘Œ ∨ 𝑉))
3418, 33eqbrtrd 5169 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) ∧ 𝑠 = 𝑑) β†’ 𝐢 ≀ (π‘Œ ∨ 𝑉))
35 simpl11 1248 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) ∧ 𝑠 β‰  𝑑) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
36 simpl12 1249 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) ∧ 𝑠 β‰  𝑑) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
37 simpl13 1250 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) ∧ 𝑠 β‰  𝑑) β†’ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š))
38 simpl21 1251 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) ∧ 𝑠 β‰  𝑑) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
39 simpl22 1252 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) ∧ 𝑠 β‰  𝑑) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
40 simpl23 1253 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) ∧ 𝑠 β‰  𝑑) β†’ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š))
41 simpr 485 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) ∧ 𝑠 β‰  𝑑) β†’ 𝑠 β‰  𝑑)
42 simpl3l 1228 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) ∧ 𝑠 β‰  𝑑) β†’ 𝑠 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉))
4341, 42jca 512 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) ∧ 𝑠 β‰  𝑑) β†’ (𝑠 β‰  𝑑 ∧ 𝑠 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉)))
44 simpl3r 1229 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) ∧ 𝑠 β‰  𝑑) β†’ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))
451, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16cdleme27a 39226 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑠 β‰  𝑑 ∧ 𝑠 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉)) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐢 ≀ (π‘Œ ∨ 𝑉))
4635, 36, 37, 38, 39, 40, 43, 44, 45syl332anc 1401 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) ∧ 𝑠 β‰  𝑑) β†’ 𝐢 ≀ (π‘Œ ∨ 𝑉))
4734, 46pm2.61dane 3029 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 β‰  𝑄 ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑠 ≀ (𝑑 ∨ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐢 ≀ (π‘Œ ∨ 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  ifcif 4527   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  β„©crio 7360  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18260  meetcmee 18261  Latclat 18380  Atomscatm 38121  HLchlt 38208  LHypclh 38843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-riotaBAD 37811
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-undef 8254  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-llines 38357  df-lplanes 38358  df-lvols 38359  df-lines 38360  df-psubsp 38362  df-pmap 38363  df-padd 38655  df-lhyp 38847
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator