Theorem erngdv 41622

Description: An endomorphism ring is a division ring. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 11-Aug-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ernggrp.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ernggrp.d	⊢ 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
erngdv	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ DivRing)

Proof of Theorem erngdv

Dummy variables 𝑓 𝑠 𝑎 𝑏 𝑔 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2764	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		ernggrp.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2764	. . 3 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	cdlemftr0 41197	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)𝑓 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)))
5		ernggrp.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2764	. . 3 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2764	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑏 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓)))) = (𝑎 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑏 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓))))
8		eqid 2764	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))
9		eqid 2764	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ◡(𝑎‘𝑓))) = (𝑎 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ◡(𝑎‘𝑓)))
10		eqid 2764	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑏 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑎 ∘ 𝑏)) = (𝑎 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑏 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑎 ∘ 𝑏))
11		eqid 2764	. . 3 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
12		eqid 2764	. . 3 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
13		eqid 2764	. . 3 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
14		eqid 2764	. . 3 ⊢ ((oc‘𝐾)‘𝑊) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
15		eqid 2764	. . 3 ⊢ ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏))(meet‘𝐾)((𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑏 ∘ ◡(𝑠‘𝑓))))) = ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏))(meet‘𝐾)((𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑏 ∘ ◡(𝑠‘𝑓)))))
16		eqid 2764	. . 3 ⊢ ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))(meet‘𝐾)(((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏))(meet‘𝐾)((𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑏 ∘ ◡(𝑠‘𝑓)))))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑔 ∘ ◡𝑏)))) = ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))(meet‘𝐾)(((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏))(meet‘𝐾)((𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑏 ∘ ◡(𝑠‘𝑓)))))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))
17		eqid 2764	. . 3 ⊢ (℩𝑧 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)∀𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)((𝑏 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑠‘𝑓)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)) → (𝑧‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))(meet‘𝐾)(((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏))(meet‘𝐾)((𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑏 ∘ ◡(𝑠‘𝑓)))))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑔 ∘ ◡𝑏)))))) = (℩𝑧 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)∀𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)((𝑏 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑠‘𝑓)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)) → (𝑧‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))(meet‘𝐾)(((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏))(meet‘𝐾)((𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑏 ∘ ◡(𝑠‘𝑓)))))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))))
18		eqid 2764	. . 3 ⊢ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ if((𝑠‘𝑓) = 𝑓, 𝑔, (℩𝑧 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)∀𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)((𝑏 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑠‘𝑓)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)) → (𝑧‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))(meet‘𝐾)(((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏))(meet‘𝐾)((𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑏 ∘ ◡(𝑠‘𝑓)))))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑔 ∘ ◡𝑏)))))))) = (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ if((𝑠‘𝑓) = 𝑓, 𝑔, (℩𝑧 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)∀𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)((𝑏 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑠‘𝑓)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)) → (𝑧‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))(meet‘𝐾)(((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏))(meet‘𝐾)((𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑏 ∘ ◡(𝑠‘𝑓)))))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))))))
19	2, 5, 1, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	erngdvlem4 41620	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)))) → 𝐷 ∈ DivRing)
20	4, 19	rexlimddv 3171	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ DivRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959  ∀wral 3078  ifcif 4482   ↦ cmpt 5183   I cid 5543  ^◡ccnv 5648   ↾ cres 5651   ∘ ccom 5653  ‘cfv 6523  ℩crio 7354  (class class class)co 7398   ∈ cmpo 7400  Basecbs 17247  occoc 17296  joincjn 18345  meetcmee 18346  DivRingcdr 20781  HLchlt 39979  LHypclh 40613  LTrncltrn 40730  trLctrl 40787  TEndoctendo 41381  EDRingcedring 41382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-riotaBAD 39582

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-tpos 8208  df-undef 8255  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8680  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-fz 13515  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-0g 17472  df-proset 18328  df-poset 18347  df-plt 18362  df-lub 18378  df-glb 18379  df-join 18380  df-meet 18381  df-p0 18457  df-p1 18458  df-lat 18466  df-clat 18533  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-grp 18980  df-minusg 18981  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20189  df-rng 20201  df-ur 20234  df-ring 20287  df-oppr 20388  df-dvdsr 20408  df-unit 20409  df-invr 20439  df-dvr 20452  df-drng 20783  df-oposet 39805  df-ol 39807  df-oml 39808  df-covers 39895  df-ats 39896  df-atl 39927  df-cvlat 39951  df-hlat 39980  df-llines 40127  df-lplanes 40128  df-lvols 40129  df-lines 40130  df-psubsp 40132  df-pmap 40133  df-padd 40425  df-lhyp 40617  df-laut 40618  df-ldil 40733  df-ltrn 40734  df-trl 40788  df-tendo 41384  df-edring 41386

This theorem is referenced by:  erng1r  41624  dvalveclem  41654  dvhvaddass  41726  tendoinvcl  41733  tendolinv  41734  tendorinv  41735  dvhgrp  41736  dvhlveclem  41737  cdlemn4  41827  hlhildrng  42581