Theorem erngdv 41795

Description: An endomorphism ring is a division ring. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 11-Aug-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ernggrp.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ernggrp.d	⊢ 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
erngdv	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ DivRing)

Proof of Theorem erngdv

Dummy variables 𝑓 𝑠 𝑎 𝑏 𝑔 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		ernggrp.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2762	. . 3 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	cdlemftr0 41370	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)𝑓 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)))
5		ernggrp.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2762	. . 3 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2762	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑏 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓)))) = (𝑎 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑏 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓))))
8		eqid 2762	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))
9		eqid 2762	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ◡(𝑎‘𝑓))) = (𝑎 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ◡(𝑎‘𝑓)))
10		eqid 2762	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑏 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑎 ∘ 𝑏)) = (𝑎 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑏 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑎 ∘ 𝑏))
11		eqid 2762	. . 3 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
12		eqid 2762	. . 3 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
13		eqid 2762	. . 3 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
14		eqid 2762	. . 3 ⊢ ((oc‘𝐾)‘𝑊) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
15		eqid 2762	. . 3 ⊢ ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏))(meet‘𝐾)((𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑏 ∘ ◡(𝑠‘𝑓))))) = ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏))(meet‘𝐾)((𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑏 ∘ ◡(𝑠‘𝑓)))))
16		eqid 2762	. . 3 ⊢ ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))(meet‘𝐾)(((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏))(meet‘𝐾)((𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑏 ∘ ◡(𝑠‘𝑓)))))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑔 ∘ ◡𝑏)))) = ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))(meet‘𝐾)(((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏))(meet‘𝐾)((𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑏 ∘ ◡(𝑠‘𝑓)))))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))
17		eqid 2762	. . 3 ⊢ (℩𝑧 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)∀𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)((𝑏 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑠‘𝑓)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)) → (𝑧‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))(meet‘𝐾)(((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏))(meet‘𝐾)((𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑏 ∘ ◡(𝑠‘𝑓)))))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑔 ∘ ◡𝑏)))))) = (℩𝑧 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)∀𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)((𝑏 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑠‘𝑓)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)) → (𝑧‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))(meet‘𝐾)(((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏))(meet‘𝐾)((𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑏 ∘ ◡(𝑠‘𝑓)))))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))))
18		eqid 2762	. . 3 ⊢ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ if((𝑠‘𝑓) = 𝑓, 𝑔, (℩𝑧 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)∀𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)((𝑏 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑠‘𝑓)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)) → (𝑧‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))(meet‘𝐾)(((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏))(meet‘𝐾)((𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑏 ∘ ◡(𝑠‘𝑓)))))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑔 ∘ ◡𝑏)))))))) = (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ if((𝑠‘𝑓) = 𝑓, 𝑔, (℩𝑧 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)∀𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)((𝑏 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑠‘𝑓)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)) → (𝑧‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))(meet‘𝐾)(((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏))(meet‘𝐾)((𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑏 ∘ ◡(𝑠‘𝑓)))))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))))))
19	2, 5, 1, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	erngdvlem4 41793	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)))) → 𝐷 ∈ DivRing)
20	4, 19	rexlimddv 3171	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ DivRing)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ifcif 4486   ↦ cmpt 5191   I cid 5554  ^◡ccnv 5659   ↾ cres 5662   ∘ ccom 5664  ‘cfv 6536  ℩crio 7368  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  Basecbs 17275  occoc 17324  joincjn 18373  meetcmee 18374  DivRingcdr 20838  HLchlt 40152  LHypclh 40786  LTrncltrn 40903  trLctrl 40960  TEndoctendo 41554  EDRingcedring 41555

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-riotaBAD 39755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-tpos 8220  df-undef 8267  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-0g 17500  df-proset 18356  df-poset 18375  df-plt 18390  df-lub 18406  df-glb 18407  df-join 18408  df-meet 18409  df-p0 18485  df-p1 18486  df-lat 18494  df-clat 18561  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-oppr 20426  df-dvdsr 20446  df-unit 20447  df-invr 20477  df-dvr 20490  df-drng 20840  df-oposet 39978  df-ol 39980  df-oml 39981  df-covers 40068  df-ats 40069  df-atl 40100  df-cvlat 40124  df-hlat 40153  df-llines 40300  df-lplanes 40301  df-lvols 40302  df-lines 40303  df-psubsp 40305  df-pmap 40306  df-padd 40598  df-lhyp 40790  df-laut 40791  df-ldil 40906  df-ltrn 40907  df-trl 40961  df-tendo 41557  df-edring 41559

This theorem is used by:  erng1r  41797  dvalveclem  41827  dvhvaddass  41899  tendoinvcl  41906  tendolinv  41907  tendorinv  41908  dvhgrp  41909  dvhlveclem  41910  cdlemn4  42000  hlhildrng  42754