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Theorem erngdv 40466
Description: An endomorphism ring is a division ring. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 11-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ernggrp.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
ernggrp.d 𝐷 = ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
erngdv ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐷 ∈ DivRing)
Proof of Theorem erngdv
Dummy variables 𝑓 𝑠 π‘Ž 𝑏 𝑔 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . 3 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2 ernggrp.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 eqid 2728 . . 3 ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
41, 2, 3cdlemftr0 40041 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)𝑓 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))
5 ernggrp.d . . 3 𝐷 = ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 eqid 2728 . . 3 ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
7 eqid 2728 . . 3 (π‘Ž ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑏 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ((π‘Žβ€˜π‘“) ∘ (π‘β€˜π‘“)))) = (π‘Ž ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑏 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ((π‘Žβ€˜π‘“) ∘ (π‘β€˜π‘“))))
8 eqid 2728 . . 3 (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) = (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))
9 eqid 2728 . . 3 (π‘Ž ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ β—‘(π‘Žβ€˜π‘“))) = (π‘Ž ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ β—‘(π‘Žβ€˜π‘“)))
10 eqid 2728 . . 3 (π‘Ž ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑏 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (π‘Ž ∘ 𝑏)) = (π‘Ž ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑏 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (π‘Ž ∘ 𝑏))
11 eqid 2728 . . 3 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
12 eqid 2728 . . 3 (meetβ€˜πΎ) = (meetβ€˜πΎ)
13 eqid 2728 . . 3 ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
14 eqid 2728 . . 3 ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
15 eqid 2728 . . 3 ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘“β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑏 ∘ β—‘(π‘ β€˜π‘“))))) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘“β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑏 ∘ β—‘(π‘ β€˜π‘“)))))
16 eqid 2728 . . 3 ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘”))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘“β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑏 ∘ β—‘(π‘ β€˜π‘“)))))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏)))) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘”))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘“β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑏 ∘ β—‘(π‘ β€˜π‘“)))))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏))))
17 eqid 2728 . . 3 (℩𝑧 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)βˆ€π‘ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)((𝑏 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘) β‰  (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘ β€˜π‘“)) ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘) β‰  (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘”)) β†’ (π‘§β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘”))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘“β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑏 ∘ β—‘(π‘ β€˜π‘“)))))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏)))))) = (℩𝑧 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)βˆ€π‘ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)((𝑏 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘) β‰  (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘ β€˜π‘“)) ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘) β‰  (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘”)) β†’ (π‘§β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘”))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘“β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑏 ∘ β—‘(π‘ β€˜π‘“)))))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏))))))
18 eqid 2728 . . 3 (𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ if((π‘ β€˜π‘“) = 𝑓, 𝑔, (℩𝑧 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)βˆ€π‘ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)((𝑏 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘) β‰  (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘ β€˜π‘“)) ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘) β‰  (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘”)) β†’ (π‘§β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘”))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘“β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑏 ∘ β—‘(π‘ β€˜π‘“)))))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏)))))))) = (𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ if((π‘ β€˜π‘“) = 𝑓, 𝑔, (℩𝑧 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)βˆ€π‘ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)((𝑏 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘) β‰  (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘ β€˜π‘“)) ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘) β‰  (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘”)) β†’ (π‘§β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘”))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘“β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑏 ∘ β—‘(π‘ β€˜π‘“)))))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏))))))))
192, 5, 1, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18erngdvlem4 40464 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))) β†’ 𝐷 ∈ DivRing)
204, 19rexlimddv 3158 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐷 ∈ DivRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058  ifcif 4529   ↦ cmpt 5231   I cid 5575  β—‘ccnv 5677   β†Ύ cres 5680   ∘ ccom 5682  β€˜cfv 6548  β„©crio 7375  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  Basecbs 17180  occoc 17241  joincjn 18303  meetcmee 18304  DivRingcdr 20624  HLchlt 38822  LHypclh 39457  LTrncltrn 39574  trLctrl 39631  TEndoctendo 40225  EDRingcedring 40226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-riotaBAD 38425
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8232  df-undef 8279  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-0g 17423  df-proset 18287  df-poset 18305  df-plt 18322  df-lub 18338  df-glb 18339  df-join 18340  df-meet 18341  df-p0 18417  df-p1 18418  df-lat 18424  df-clat 18491  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-oppr 20273  df-dvdsr 20296  df-unit 20297  df-invr 20327  df-dvr 20340  df-drng 20626  df-oposet 38648  df-ol 38650  df-oml 38651  df-covers 38738  df-ats 38739  df-atl 38770  df-cvlat 38794  df-hlat 38823  df-llines 38971  df-lplanes 38972  df-lvols 38973  df-lines 38974  df-psubsp 38976  df-pmap 38977  df-padd 39269  df-lhyp 39461  df-laut 39462  df-ldil 39577  df-ltrn 39578  df-trl 39632  df-tendo 40228  df-edring 40230
This theorem is referenced by:  erng1r  40468  dvalveclem  40498  dvhvaddass  40570  tendoinvcl  40577  tendolinv  40578  tendorinv  40579  dvhgrp  40580  dvhlveclem  40581  cdlemn4  40671  hlhildrng  41429
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