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Theorem erngdv 40368
Description: An endomorphism ring is a division ring. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 11-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ernggrp.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
ernggrp.d 𝐷 = ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
erngdv ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐷 ∈ DivRing)
Proof of Theorem erngdv
Dummy variables 𝑓 𝑠 π‘Ž 𝑏 𝑔 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2724 . . 3 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2 ernggrp.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 eqid 2724 . . 3 ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
41, 2, 3cdlemftr0 39943 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)𝑓 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))
5 ernggrp.d . . 3 𝐷 = ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 eqid 2724 . . 3 ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
7 eqid 2724 . . 3 (π‘Ž ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑏 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ((π‘Žβ€˜π‘“) ∘ (π‘β€˜π‘“)))) = (π‘Ž ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑏 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ((π‘Žβ€˜π‘“) ∘ (π‘β€˜π‘“))))
8 eqid 2724 . . 3 (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) = (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))
9 eqid 2724 . . 3 (π‘Ž ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ β—‘(π‘Žβ€˜π‘“))) = (π‘Ž ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ β—‘(π‘Žβ€˜π‘“)))
10 eqid 2724 . . 3 (π‘Ž ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑏 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (π‘Ž ∘ 𝑏)) = (π‘Ž ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑏 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (π‘Ž ∘ 𝑏))
11 eqid 2724 . . 3 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
12 eqid 2724 . . 3 (meetβ€˜πΎ) = (meetβ€˜πΎ)
13 eqid 2724 . . 3 ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
14 eqid 2724 . . 3 ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
15 eqid 2724 . . 3 ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘“β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑏 ∘ β—‘(π‘ β€˜π‘“))))) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘“β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑏 ∘ β—‘(π‘ β€˜π‘“)))))
16 eqid 2724 . . 3 ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘”))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘“β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑏 ∘ β—‘(π‘ β€˜π‘“)))))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏)))) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘”))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘“β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑏 ∘ β—‘(π‘ β€˜π‘“)))))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏))))
17 eqid 2724 . . 3 (℩𝑧 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)βˆ€π‘ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)((𝑏 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘) β‰  (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘ β€˜π‘“)) ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘) β‰  (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘”)) β†’ (π‘§β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘”))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘“β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑏 ∘ β—‘(π‘ β€˜π‘“)))))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏)))))) = (℩𝑧 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)βˆ€π‘ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)((𝑏 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘) β‰  (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘ β€˜π‘“)) ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘) β‰  (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘”)) β†’ (π‘§β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘”))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘“β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑏 ∘ β—‘(π‘ β€˜π‘“)))))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏))))))
18 eqid 2724 . . 3 (𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ if((π‘ β€˜π‘“) = 𝑓, 𝑔, (℩𝑧 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)βˆ€π‘ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)((𝑏 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘) β‰  (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘ β€˜π‘“)) ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘) β‰  (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘”)) β†’ (π‘§β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘”))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘“β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑏 ∘ β—‘(π‘ β€˜π‘“)))))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏)))))))) = (𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ if((π‘ β€˜π‘“) = 𝑓, 𝑔, (℩𝑧 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)βˆ€π‘ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)((𝑏 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘) β‰  (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘ β€˜π‘“)) ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘) β‰  (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘”)) β†’ (π‘§β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘”))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘“β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑏 ∘ β—‘(π‘ β€˜π‘“)))))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏))))))))
192, 5, 1, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18erngdvlem4 40366 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))) β†’ 𝐷 ∈ DivRing)
204, 19rexlimddv 3153 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐷 ∈ DivRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ€wral 3053  ifcif 4521   ↦ cmpt 5222   I cid 5564  β—‘ccnv 5666   β†Ύ cres 5669   ∘ ccom 5671  β€˜cfv 6534  β„©crio 7357  (class class class)co 7402   ∈ cmpo 7404  Basecbs 17149  occoc 17210  joincjn 18272  meetcmee 18273  DivRingcdr 20583  HLchlt 38724  LHypclh 39359  LTrncltrn 39476  trLctrl 39533  TEndoctendo 40127  EDRingcedring 40128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-riotaBAD 38327
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-tpos 8207  df-undef 8254  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13486  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-0g 17392  df-proset 18256  df-poset 18274  df-plt 18291  df-lub 18307  df-glb 18308  df-join 18309  df-meet 18310  df-p0 18386  df-p1 18387  df-lat 18393  df-clat 18460  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-drng 20585  df-oposet 38550  df-ol 38552  df-oml 38553  df-covers 38640  df-ats 38641  df-atl 38672  df-cvlat 38696  df-hlat 38725  df-llines 38873  df-lplanes 38874  df-lvols 38875  df-lines 38876  df-psubsp 38878  df-pmap 38879  df-padd 39171  df-lhyp 39363  df-laut 39364  df-ldil 39479  df-ltrn 39480  df-trl 39534  df-tendo 40130  df-edring 40132
This theorem is referenced by:  erng1r  40370  dvalveclem  40400  dvhvaddass  40472  tendoinvcl  40479  tendolinv  40480  tendorinv  40481  dvhgrp  40482  dvhlveclem  40483  cdlemn4  40573  hlhildrng  41331
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