Theorem erngdv 40976

Description: An endomorphism ring is a division ring. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 11-Aug-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ernggrp.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ernggrp.d	⊢ 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
erngdv	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ DivRing)

Proof of Theorem erngdv

Dummy variables 𝑓 𝑠 𝑎 𝑏 𝑔 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		ernggrp.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2735	. . 3 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	cdlemftr0 40551	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)𝑓 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)))
5		ernggrp.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2735	. . 3 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2735	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑏 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓)))) = (𝑎 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑏 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓))))
8		eqid 2735	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))
9		eqid 2735	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ◡(𝑎‘𝑓))) = (𝑎 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ◡(𝑎‘𝑓)))
10		eqid 2735	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑏 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑎 ∘ 𝑏)) = (𝑎 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑏 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑎 ∘ 𝑏))
11		eqid 2735	. . 3 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
12		eqid 2735	. . 3 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
13		eqid 2735	. . 3 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
14		eqid 2735	. . 3 ⊢ ((oc‘𝐾)‘𝑊) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
15		eqid 2735	. . 3 ⊢ ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏))(meet‘𝐾)((𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑏 ∘ ◡(𝑠‘𝑓))))) = ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏))(meet‘𝐾)((𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑏 ∘ ◡(𝑠‘𝑓)))))
16		eqid 2735	. . 3 ⊢ ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))(meet‘𝐾)(((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏))(meet‘𝐾)((𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑏 ∘ ◡(𝑠‘𝑓)))))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑔 ∘ ◡𝑏)))) = ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))(meet‘𝐾)(((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏))(meet‘𝐾)((𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑏 ∘ ◡(𝑠‘𝑓)))))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))
17		eqid 2735	. . 3 ⊢ (℩𝑧 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)∀𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)((𝑏 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑠‘𝑓)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)) → (𝑧‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))(meet‘𝐾)(((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏))(meet‘𝐾)((𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑏 ∘ ◡(𝑠‘𝑓)))))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑔 ∘ ◡𝑏)))))) = (℩𝑧 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)∀𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)((𝑏 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑠‘𝑓)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)) → (𝑧‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))(meet‘𝐾)(((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏))(meet‘𝐾)((𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑏 ∘ ◡(𝑠‘𝑓)))))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))))
18		eqid 2735	. . 3 ⊢ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ if((𝑠‘𝑓) = 𝑓, 𝑔, (℩𝑧 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)∀𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)((𝑏 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑠‘𝑓)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)) → (𝑧‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))(meet‘𝐾)(((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏))(meet‘𝐾)((𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑏 ∘ ◡(𝑠‘𝑓)))))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑔 ∘ ◡𝑏)))))))) = (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ if((𝑠‘𝑓) = 𝑓, 𝑔, (℩𝑧 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)∀𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)((𝑏 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑠‘𝑓)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)) → (𝑧‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))(meet‘𝐾)(((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏))(meet‘𝐾)((𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑏 ∘ ◡(𝑠‘𝑓)))))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))))))
19	2, 5, 1, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	erngdvlem4 40974	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)))) → 𝐷 ∈ DivRing)
20	4, 19	rexlimddv 3159	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ DivRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ifcif 4531   ↦ cmpt 5231   I cid 5582  ^◡ccnv 5688   ↾ cres 5691   ∘ ccom 5693  ‘cfv 6563  ℩crio 7387  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  Basecbs 17245  occoc 17306  joincjn 18369  meetcmee 18370  DivRingcdr 20746  HLchlt 39332  LHypclh 39967  LTrncltrn 40084  trLctrl 40141  TEndoctendo 40735  EDRingcedring 40736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-riotaBAD 38935

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-undef 8297  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17488  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-drng 20748  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-llines 39481  df-lplanes 39482  df-lvols 39483  df-lines 39484  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-padd 39779  df-lhyp 39971  df-laut 39972  df-ldil 40087  df-ltrn 40088  df-trl 40142  df-tendo 40738  df-edring 40740

This theorem is referenced by:  erng1r  40978  dvalveclem  41008  dvhvaddass  41080  tendoinvcl  41087  tendolinv  41088  tendorinv  41089  dvhgrp  41090  dvhlveclem  41091  cdlemn4  41181  hlhildrng  41939