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Theorem erngdv-rN 40175
Description: An endomorphism ring is a division ring. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 11-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ernggrp.h-r 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
ernggrp.d-r 𝐷 = ((EDRingRβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
erngdv-rN ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐷 ∈ DivRing)
Proof of Theorem erngdv-rN
Dummy variables 𝑓 𝑠 π‘Ž 𝑏 𝑔 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2730 . . 3 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2 ernggrp.h-r . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 eqid 2730 . . 3 ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
41, 2, 3cdlemftr0 39742 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)𝑓 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))
5 ernggrp.d-r . . 3 𝐷 = ((EDRingRβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 eqid 2730 . . 3 ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
7 eqid 2730 . . 3 (π‘Ž ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑏 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ((π‘Žβ€˜π‘“) ∘ (π‘β€˜π‘“)))) = (π‘Ž ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑏 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ((π‘Žβ€˜π‘“) ∘ (π‘β€˜π‘“))))
8 eqid 2730 . . 3 (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) = (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))
9 eqid 2730 . . 3 (π‘Ž ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ β—‘(π‘Žβ€˜π‘“))) = (π‘Ž ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ β—‘(π‘Žβ€˜π‘“)))
10 eqid 2730 . . 3 (π‘Ž ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑏 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑏 ∘ π‘Ž)) = (π‘Ž ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑏 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑏 ∘ π‘Ž))
11 eqid 2730 . . 3 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
12 eqid 2730 . . 3 (meetβ€˜πΎ) = (meetβ€˜πΎ)
13 eqid 2730 . . 3 ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
14 eqid 2730 . . 3 ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
15 eqid 2730 . . 3 ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘“β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑏 ∘ β—‘(π‘ β€˜π‘“))))) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘“β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑏 ∘ β—‘(π‘ β€˜π‘“)))))
16 eqid 2730 . . 3 ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘”))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘“β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑏 ∘ β—‘(π‘ β€˜π‘“)))))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏)))) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘”))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘“β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑏 ∘ β—‘(π‘ β€˜π‘“)))))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏))))
17 eqid 2730 . . 3 (℩𝑧 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)βˆ€π‘ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)((𝑏 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘) β‰  (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘ β€˜π‘“)) ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘) β‰  (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘”)) β†’ (π‘§β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘”))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘“β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑏 ∘ β—‘(π‘ β€˜π‘“)))))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏)))))) = (℩𝑧 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)βˆ€π‘ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)((𝑏 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘) β‰  (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘ β€˜π‘“)) ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘) β‰  (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘”)) β†’ (π‘§β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘”))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘“β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑏 ∘ β—‘(π‘ β€˜π‘“)))))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏))))))
18 eqid 2730 . . 3 (𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ if((π‘ β€˜π‘“) = 𝑓, 𝑔, (℩𝑧 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)βˆ€π‘ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)((𝑏 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘) β‰  (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘ β€˜π‘“)) ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘) β‰  (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘”)) β†’ (π‘§β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘”))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘“β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑏 ∘ β—‘(π‘ β€˜π‘“)))))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏)))))))) = (𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ if((π‘ β€˜π‘“) = 𝑓, 𝑔, (℩𝑧 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)βˆ€π‘ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)((𝑏 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘) β‰  (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘ β€˜π‘“)) ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘) β‰  (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘”)) β†’ (π‘§β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘”))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘“β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑏 ∘ β—‘(π‘ β€˜π‘“)))))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏))))))))
192, 5, 1, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18erngdvlem4-rN 40173 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))) β†’ 𝐷 ∈ DivRing)
204, 19rexlimddv 3159 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐷 ∈ DivRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  ifcif 4527   ↦ cmpt 5230   I cid 5572  β—‘ccnv 5674   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679  β€˜cfv 6542  β„©crio 7366  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  Basecbs 17148  occoc 17209  joincjn 18268  meetcmee 18269  DivRingcdr 20500  HLchlt 38523  LHypclh 39158  LTrncltrn 39275  trLctrl 39332  TEndoctendo 39926  EDRingRcedring-rN 39928
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 38126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-undef 8260  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-0g 17391  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-drng 20502  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-llines 38672  df-lplanes 38673  df-lvols 38674  df-lines 38675  df-psubsp 38677  df-pmap 38678  df-padd 38970  df-lhyp 39162  df-laut 39163  df-ldil 39278  df-ltrn 39279  df-trl 39333  df-tendo 39929  df-edring-rN 39930
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