Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erngdv-rN Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem erngdv-rN 39872
Description: An endomorphism ring is a division ring. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 11-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ernggrp.h-r 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
ernggrp.d-r 𝐷 = ((EDRingRβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
erngdv-rN ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐷 ∈ DivRing)
Proof of Theorem erngdv-rN
Dummy variables 𝑓 𝑠 π‘Ž 𝑏 𝑔 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2 ernggrp.h-r . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 eqid 2733 . . 3 ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
41, 2, 3cdlemftr0 39439 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)𝑓 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))
5 ernggrp.d-r . . 3 𝐷 = ((EDRingRβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 eqid 2733 . . 3 ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
7 eqid 2733 . . 3 (π‘Ž ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑏 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ((π‘Žβ€˜π‘“) ∘ (π‘β€˜π‘“)))) = (π‘Ž ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑏 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ((π‘Žβ€˜π‘“) ∘ (π‘β€˜π‘“))))
8 eqid 2733 . . 3 (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) = (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))
9 eqid 2733 . . 3 (π‘Ž ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ β—‘(π‘Žβ€˜π‘“))) = (π‘Ž ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ β—‘(π‘Žβ€˜π‘“)))
10 eqid 2733 . . 3 (π‘Ž ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑏 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑏 ∘ π‘Ž)) = (π‘Ž ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š), 𝑏 ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ (𝑏 ∘ π‘Ž))
11 eqid 2733 . . 3 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
12 eqid 2733 . . 3 (meetβ€˜πΎ) = (meetβ€˜πΎ)
13 eqid 2733 . . 3 ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
14 eqid 2733 . . 3 ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
15 eqid 2733 . . 3 ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘“β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑏 ∘ β—‘(π‘ β€˜π‘“))))) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘“β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑏 ∘ β—‘(π‘ β€˜π‘“)))))
16 eqid 2733 . . 3 ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘”))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘“β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑏 ∘ β—‘(π‘ β€˜π‘“)))))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏)))) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘”))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘“β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑏 ∘ β—‘(π‘ β€˜π‘“)))))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏))))
17 eqid 2733 . . 3 (℩𝑧 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)βˆ€π‘ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)((𝑏 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘) β‰  (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘ β€˜π‘“)) ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘) β‰  (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘”)) β†’ (π‘§β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘”))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘“β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑏 ∘ β—‘(π‘ β€˜π‘“)))))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏)))))) = (℩𝑧 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)βˆ€π‘ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)((𝑏 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘) β‰  (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘ β€˜π‘“)) ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘) β‰  (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘”)) β†’ (π‘§β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘”))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘“β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑏 ∘ β—‘(π‘ β€˜π‘“)))))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏))))))
18 eqid 2733 . . 3 (𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ if((π‘ β€˜π‘“) = 𝑓, 𝑔, (℩𝑧 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)βˆ€π‘ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)((𝑏 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘) β‰  (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘ β€˜π‘“)) ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘) β‰  (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘”)) β†’ (π‘§β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘”))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘“β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑏 ∘ β—‘(π‘ β€˜π‘“)))))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏)))))))) = (𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ if((π‘ β€˜π‘“) = 𝑓, 𝑔, (℩𝑧 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)βˆ€π‘ ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)((𝑏 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘) β‰  (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘ β€˜π‘“)) ∧ (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘) β‰  (((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘”)) β†’ (π‘§β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘”))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘“β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑏 ∘ β—‘(π‘ β€˜π‘“)))))(joinβ€˜πΎ)(((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(𝑔 ∘ ◑𝑏))))))))
192, 5, 1, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18erngdvlem4-rN 39870 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ 𝑓 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))) β†’ 𝐷 ∈ DivRing)
204, 19rexlimddv 3162 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐷 ∈ DivRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  ifcif 4529   ↦ cmpt 5232   I cid 5574  β—‘ccnv 5676   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681  β€˜cfv 6544  β„©crio 7364  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  Basecbs 17144  occoc 17205  joincjn 18264  meetcmee 18265  DivRingcdr 20357  HLchlt 38220  LHypclh 38855  LTrncltrn 38972  trLctrl 39029  TEndoctendo 39623  EDRingRcedring-rN 39625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-riotaBAD 37823
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-undef 8258  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-0g 17387  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18385  df-clat 18452  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-drng 20359  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-llines 38369  df-lplanes 38370  df-lvols 38371  df-lines 38372  df-psubsp 38374  df-pmap 38375  df-padd 38667  df-lhyp 38859  df-laut 38860  df-ldil 38975  df-ltrn 38976  df-trl 39030  df-tendo 39626  df-edring-rN 39627
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator