Theorem erngdv-rN 38611

Description: An endomorphism ring is a division ring. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 11-Aug-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ernggrp.h-r	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ernggrp.d-r	⊢ 𝐷 = ((EDRingR‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
erngdv-rN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ DivRing)

Proof of Theorem erngdv-rN

Dummy variables 𝑓 𝑠 𝑎 𝑏 𝑔 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2758	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		ernggrp.h-r	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2758	. . 3 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	cdlemftr0 38178	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)𝑓 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)))
5		ernggrp.d-r	. . 3 ⊢ 𝐷 = ((EDRingR‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2758	. . 3 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2758	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑏 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓)))) = (𝑎 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑏 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓))))
8		eqid 2758	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))
9		eqid 2758	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ◡(𝑎‘𝑓))) = (𝑎 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ◡(𝑎‘𝑓)))
10		eqid 2758	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑏 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑏 ∘ 𝑎)) = (𝑎 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊), 𝑏 ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ↦ (𝑏 ∘ 𝑎))
11		eqid 2758	. . 3 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
12		eqid 2758	. . 3 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
13		eqid 2758	. . 3 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
14		eqid 2758	. . 3 ⊢ ((oc‘𝐾)‘𝑊) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
15		eqid 2758	. . 3 ⊢ ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏))(meet‘𝐾)((𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑏 ∘ ◡(𝑠‘𝑓))))) = ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏))(meet‘𝐾)((𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑏 ∘ ◡(𝑠‘𝑓)))))
16		eqid 2758	. . 3 ⊢ ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))(meet‘𝐾)(((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏))(meet‘𝐾)((𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑏 ∘ ◡(𝑠‘𝑓)))))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑔 ∘ ◡𝑏)))) = ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))(meet‘𝐾)(((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏))(meet‘𝐾)((𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑏 ∘ ◡(𝑠‘𝑓)))))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))
17		eqid 2758	. . 3 ⊢ (℩𝑧 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)∀𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)((𝑏 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑠‘𝑓)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)) → (𝑧‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))(meet‘𝐾)(((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏))(meet‘𝐾)((𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑏 ∘ ◡(𝑠‘𝑓)))))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑔 ∘ ◡𝑏)))))) = (℩𝑧 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)∀𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)((𝑏 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑠‘𝑓)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)) → (𝑧‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))(meet‘𝐾)(((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏))(meet‘𝐾)((𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑏 ∘ ◡(𝑠‘𝑓)))))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))))
18		eqid 2758	. . 3 ⊢ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ if((𝑠‘𝑓) = 𝑓, 𝑔, (℩𝑧 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)∀𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)((𝑏 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑠‘𝑓)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)) → (𝑧‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))(meet‘𝐾)(((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏))(meet‘𝐾)((𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑏 ∘ ◡(𝑠‘𝑓)))))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑔 ∘ ◡𝑏)))))))) = (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ if((𝑠‘𝑓) = 𝑓, 𝑔, (℩𝑧 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)∀𝑏 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)((𝑏 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑠‘𝑓)) ∧ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏) ≠ (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔)) → (𝑧‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))(meet‘𝐾)(((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑏))(meet‘𝐾)((𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑏 ∘ ◡(𝑠‘𝑓)))))(join‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))))))
19	2, 5, 1, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	erngdvlem4-rN 38609	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑓 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)))) → 𝐷 ∈ DivRing)
20	4, 19	rexlimddv 3215	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ DivRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  ifcif 4423   ↦ cmpt 5116   I cid 5433  ^◡ccnv 5527   ↾ cres 5530   ∘ ccom 5532  ‘cfv 6340  ℩crio 7113  (class class class)co 7156   ∈ cmpo 7158  Basecbs 16554  occoc 16644  joincjn 17633  meetcmee 17634  DivRingcdr 19583  HLchlt 36960  LHypclh 37594  LTrncltrn 37711  trLctrl 37768  TEndoctendo 38362  EDRing_Rcedring-rN 38364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-riotaBAD 36563

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-tpos 7908  df-undef 7955  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-fz 12953  df-struct 16556  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-sets 16561  df-ress 16562  df-plusg 16649  df-mulr 16650  df-0g 16786  df-proset 17617  df-poset 17635  df-plt 17647  df-lub 17663  df-glb 17664  df-join 17665  df-meet 17666  df-p0 17728  df-p1 17729  df-lat 17735  df-clat 17797  df-mgm 17931  df-sgrp 17980  df-mnd 17991  df-grp 18185  df-minusg 18186  df-mgp 19321  df-ur 19333  df-ring 19380  df-oppr 19457  df-dvdsr 19475  df-unit 19476  df-invr 19506  df-dvr 19517  df-drng 19585  df-oposet 36786  df-ol 36788  df-oml 36789  df-covers 36876  df-ats 36877  df-atl 36908  df-cvlat 36932  df-hlat 36961  df-llines 37108  df-lplanes 37109  df-lvols 37110  df-lines 37111  df-psubsp 37113  df-pmap 37114  df-padd 37406  df-lhyp 37598  df-laut 37599  df-ldil 37714  df-ltrn 37715  df-trl 37769  df-tendo 38365  df-edring-rN 38366

This theorem is referenced by: (None)