Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdlemk5.t |
. . 3
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
2 | 1 | fvexi 6857 |
. 2
β’ π β V |
3 | | nfv 1918 |
. . 3
β’
β²π((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅))) |
4 | | nfcv 2904 |
. . . . . 6
β’
β²ππΊ |
5 | | cdlemk5.x |
. . . . . . 7
β’ π = (β©π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπ)) β (π§βπ) = π)) |
6 | | nfra1 3266 |
. . . . . . . 8
β’
β²πβπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπ)) β (π§βπ) = π) |
7 | | nfcv 2904 |
. . . . . . . 8
β’
β²ππ |
8 | 6, 7 | nfriota 7327 |
. . . . . . 7
β’
β²π(β©π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπ)) β (π§βπ) = π)) |
9 | 5, 8 | nfcxfr 2902 |
. . . . . 6
β’
β²ππ |
10 | 4, 9 | nfcsbw 3883 |
. . . . 5
β’
β²πβ¦πΊ / πβ¦π |
11 | 10 | nfeq1 2919 |
. . . 4
β’
β²πβ¦πΊ / πβ¦π = ( I βΎ π΅) |
12 | 11 | a1i 11 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅))) β β²πβ¦πΊ / πβ¦π = ( I βΎ π΅)) |
13 | | cdlemk5.b |
. . . 4
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
14 | | cdlemk5.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
15 | | cdlemk5.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
16 | | cdlemk5.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
17 | | cdlemk5.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
18 | | cdlemk5.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
19 | | cdlemk5.r |
. . . 4
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
20 | | cdlemk5.z |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))) |
21 | | cdlemk5.y |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ (π
βπ)) β§ (π β¨ (π
β(π β β‘π)))) |
22 | 13, 14, 15, 16, 17, 18, 1, 19, 20, 21, 5 | cdlemkid4 39443 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅))) β β¦πΊ / πβ¦π = (β©π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β π§ = ( I βΎ π΅)))) |
23 | | eqeq1 2737 |
. . . 4
β’ (( I
βΎ π΅) =
β¦πΊ / πβ¦π β (( I βΎ π΅) = ( I βΎ π΅) β β¦πΊ / πβ¦π = ( I βΎ π΅))) |
24 | 23 | adantl 483 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅))) β§ ( I βΎ π΅) = β¦πΊ / πβ¦π) β (( I βΎ π΅) = ( I βΎ π΅) β β¦πΊ / πβ¦π = ( I βΎ π΅))) |
25 | | eqidd 2734 |
. . . 4
β’ ((π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ))) β ( I βΎ π΅) = ( I βΎ π΅)) |
26 | 25 | a1i 11 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅))) β ((π β π β§ (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ))) β ( I βΎ π΅) = ( I βΎ π΅))) |
27 | 13, 14, 15, 16, 17, 18, 1, 19, 20, 21, 5 | cdlemkid5 39444 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅))) β β¦πΊ / πβ¦π β π) |
28 | 13, 18, 1, 19 | cdlemftr2 39075 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ π β π») β βπ β π (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ))) |
29 | 28 | 3ad2ant1 1134 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅))) β βπ β π (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ))) |
30 | 3, 12, 22, 24, 26, 27, 29 | riotasv3d 37468 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅))) β§ π β V) β β¦πΊ / πβ¦π = ( I βΎ π΅)) |
31 | 2, 30 | mpan2 690 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅))) β β¦πΊ / πβ¦π = ( I βΎ π΅)) |