Theorem cdlemkid 41743

Description: The value of the tau function (in Lemma K of [Crawley] p. 118) on the identity relation. (Contributed by NM, 25-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemk5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk5.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemk5.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemk5.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemk5.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk5.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk5.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.z	⊢ 𝑍 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡𝐹))))
cdlemk5.y	⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑔)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))
cdlemk5.x	⊢ 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)) → (𝑧‘𝑃) = 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
cdlemkid	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) → ⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 = ( I ↾ 𝐵))

Distinct variable groups:   ∧ ,𝑔   ∨ ,𝑔   𝐵,𝑔   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑍   𝑔,𝑏,𝐺,𝑧   ∧ ,𝑏,𝑧   ≤ ,𝑏   𝑧,𝑔, ≤   ∨ ,𝑏,𝑧   𝐴,𝑏,𝑔,𝑧   𝐵,𝑏,𝑧   𝐹,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝐺   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝐾,𝑏,𝑔,𝑧   𝑁,𝑏,𝑔,𝑧   𝑃,𝑏,𝑧   𝑅,𝑏,𝑧   𝑇,𝑏,𝑧   𝑊,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝑌   𝐺,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑋(𝑧, 𝑔, 𝑏)   𝑌(𝑔, 𝑏)   𝑍(𝑧, 𝑏)

Proof of Theorem cdlemkid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemk5.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
2	1	fvexi 6899	. 2 ⊢ 𝑇 ∈ V
3		nfv 1947	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑏((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵)))
4		nfcv 2927	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑏𝐺
5		cdlemk5.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)) → (𝑧‘𝑃) = 𝑌))
6		nfra1 3291	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)) → (𝑧‘𝑃) = 𝑌)
7		nfcv 2927	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏𝑇
8	6, 7	nfriota 7385	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑏(℩𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝑔)) → (𝑧‘𝑃) = 𝑌))
9	5, 8	nfcxfr 2925	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑏𝑋
10	4, 9	nfcsbw 3880	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋
11	10	nfeq1 2942	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑏⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 = ( I ↾ 𝐵)
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) → Ⅎ𝑏⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 = ( I ↾ 𝐵))
13		cdlemk5.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
14		cdlemk5.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
15		cdlemk5.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
16		cdlemk5.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
17		cdlemk5.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
18		cdlemk5.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
19		cdlemk5.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
20		cdlemk5.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑏)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑏 ∘ ◡𝐹))))
21		cdlemk5.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑔)) ∧ (𝑍 ∨ (𝑅‘(𝑔 ∘ ◡𝑏))))
22	13, 14, 15, 16, 17, 18, 1, 19, 20, 21, 5	cdlemkid4 41741	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) → ⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 ∀𝑏 ∈ 𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)) → 𝑧 = ( I ↾ 𝐵))))
23		eqeq1 2769	. . . 4 ⊢ (( I ↾ 𝐵) = ⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 → (( I ↾ 𝐵) = ( I ↾ 𝐵) ↔ ⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 = ( I ↾ 𝐵)))
24	23	adantl 487	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) ∧ ( I ↾ 𝐵) = ⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋) → (( I ↾ 𝐵) = ( I ↾ 𝐵) ↔ ⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 = ( I ↾ 𝐵)))
25		eqidd 2766	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺))) → ( I ↾ 𝐵) = ( I ↾ 𝐵))
26	25	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺))) → ( I ↾ 𝐵) = ( I ↾ 𝐵)))
27	13, 14, 15, 16, 17, 18, 1, 19, 20, 21, 5	cdlemkid5 41742	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) → ⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 ∈ 𝑇)
28	13, 18, 1, 19	cdlemftr2 41373	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑏 ∈ 𝑇 (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))
29	28	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) → ∃𝑏 ∈ 𝑇 (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑏) ≠ (𝑅‘𝐺)))
30	3, 12, 22, 24, 26, 27, 29	riotasv3d 39767	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑇 ∈ V) → ⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 = ( I ↾ 𝐵))
31	2, 30	mpan2 704	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) → ⦋𝐺 / 𝑔⦌𝑋 = ( I ↾ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  Vcvv 3457  ⦋csb 3854   class class class wbr 5111   I cid 5557  ^◡ccnv 5662   ↾ cres 5665   ∘ ccom 5667  ‘cfv 6540  ℩crio 7372  (class class class)co 7416  Basecbs 17287  lecple 17335  joincjn 18385  meetcmee 18386  Atomscatm 40070  HLchlt 40157  LHypclh 40791  LTrncltrn 40908  trLctrl 40965

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-riotaBAD 39760

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-undef 8271  df-map 8828  df-proset 18368  df-poset 18387  df-plt 18402  df-lub 18418  df-glb 18419  df-join 18420  df-meet 18421  df-p0 18497  df-p1 18498  df-lat 18506  df-clat 18573  df-oposet 39983  df-ol 39985  df-oml 39986  df-covers 40073  df-ats 40074  df-atl 40105  df-cvlat 40129  df-hlat 40158  df-llines 40305  df-lplanes 40306  df-lvols 40307  df-lines 40308  df-psubsp 40310  df-pmap 40311  df-padd 40603  df-lhyp 40795  df-laut 40796  df-ldil 40911  df-ltrn 40912  df-trl 40966

This theorem is used by:  cdlemk35s-id  41745  cdlemk39s-id  41747  cdlemk53b  41763  cdlemk53  41764