Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemkid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemkid 38204
 Description: The value of the tau function (in Lemma K of [Crawley] p. 118) on the identity relation. (Contributed by NM, 25-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk5.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk5.l = (le‘𝐾)
cdlemk5.j = (join‘𝐾)
cdlemk5.m = (meet‘𝐾)
cdlemk5.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk5.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk5.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.z 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
cdlemk5.y 𝑌 = ((𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
cdlemk5.x 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
Assertion
Ref Expression
cdlemkid (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) → 𝐺 / 𝑔𝑋 = ( I ↾ 𝐵))
Distinct variable groups:   ,𝑔   ,𝑔   𝐵,𝑔   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑍   𝑔,𝑏,𝐺,𝑧   ,𝑏,𝑧   ,𝑏   𝑧,𝑔,   ,𝑏,𝑧   𝐴,𝑏,𝑔,𝑧   𝐵,𝑏,𝑧   𝐹,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝐺   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝐾,𝑏,𝑔,𝑧   𝑁,𝑏,𝑔,𝑧   𝑃,𝑏,𝑧   𝑅,𝑏,𝑧   𝑇,𝑏,𝑧   𝑊,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝑌   𝐺,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑋(𝑧,𝑔,𝑏)   𝑌(𝑔,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑏)

Proof of Theorem cdlemkid
StepHypRef Expression
1 cdlemk5.t . . 3 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
21fvexi 6677 . 2 𝑇 ∈ V
3 nfv 1916 . . 3 𝑏((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵)))
4 nfcv 2982 . . . . . 6 𝑏𝐺
5 cdlemk5.x . . . . . . 7 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
6 nfra1 3213 . . . . . . . 8 𝑏𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌)
7 nfcv 2982 . . . . . . . 8 𝑏𝑇
86, 7nfriota 7121 . . . . . . 7 𝑏(𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
95, 8nfcxfr 2980 . . . . . 6 𝑏𝑋
104, 9nfcsbw 3892 . . . . 5 𝑏𝐺 / 𝑔𝑋
1110nfeq1 2997 . . . 4 𝑏𝐺 / 𝑔𝑋 = ( I ↾ 𝐵)
1211a1i 11 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) → Ⅎ𝑏𝐺 / 𝑔𝑋 = ( I ↾ 𝐵))
13 cdlemk5.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
14 cdlemk5.l . . . 4 = (le‘𝐾)
15 cdlemk5.j . . . 4 = (join‘𝐾)
16 cdlemk5.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
17 cdlemk5.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
18 cdlemk5.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
19 cdlemk5.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
20 cdlemk5.z . . . 4 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
21 cdlemk5.y . . . 4 𝑌 = ((𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
2213, 14, 15, 16, 17, 18, 1, 19, 20, 21, 5cdlemkid4 38202 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) → 𝐺 / 𝑔𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)) → 𝑧 = ( I ↾ 𝐵))))
23 eqeq1 2828 . . . 4 (( I ↾ 𝐵) = 𝐺 / 𝑔𝑋 → (( I ↾ 𝐵) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝐺 / 𝑔𝑋 = ( I ↾ 𝐵)))
2423adantl 485 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) ∧ ( I ↾ 𝐵) = 𝐺 / 𝑔𝑋) → (( I ↾ 𝐵) = ( I ↾ 𝐵) ↔ 𝐺 / 𝑔𝑋 = ( I ↾ 𝐵)))
25 eqidd 2825 . . . 4 ((𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺))) → ( I ↾ 𝐵) = ( I ↾ 𝐵))
2625a1i 11 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑏𝑇 ∧ (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺))) → ( I ↾ 𝐵) = ( I ↾ 𝐵)))
2713, 14, 15, 16, 17, 18, 1, 19, 20, 21, 5cdlemkid5 38203 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) → 𝐺 / 𝑔𝑋𝑇)
2813, 18, 1, 19cdlemftr2 37834 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑏𝑇 (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))
29283ad2ant1 1130 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) → ∃𝑏𝑇 (𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐺)))
303, 12, 22, 24, 26, 27, 29riotasv3d 36228 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) ∧ 𝑇 ∈ V) → 𝐺 / 𝑔𝑋 = ( I ↾ 𝐵))
312, 30mpan2 690 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) → 𝐺 / 𝑔𝑋 = ( I ↾ 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014  ∀wral 3133  ∃wrex 3134  Vcvv 3480  ⦋csb 3866   class class class wbr 5053   I cid 5447  ◡ccnv 5542   ↾ cres 5545   ∘ ccom 5547  ‘cfv 6345  ℩crio 7108  (class class class)co 7151  Basecbs 16485  lecple 16574  joincjn 17556  meetcmee 17557  Atomscatm 36531  HLchlt 36618  LHypclh 37252  LTrncltrn 37369  trLctrl 37426 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-riotaBAD 36221 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-undef 7937  df-map 8406  df-proset 17540  df-poset 17558  df-plt 17570  df-lub 17586  df-glb 17587  df-join 17588  df-meet 17589  df-p0 17651  df-p1 17652  df-lat 17658  df-clat 17720  df-oposet 36444  df-ol 36446  df-oml 36447  df-covers 36534  df-ats 36535  df-atl 36566  df-cvlat 36590  df-hlat 36619  df-llines 36766  df-lplanes 36767  df-lvols 36768  df-lines 36769  df-psubsp 36771  df-pmap 36772  df-padd 37064  df-lhyp 37256  df-laut 37257  df-ldil 37372  df-ltrn 37373  df-trl 37427 This theorem is referenced by:  cdlemk35s-id  38206  cdlemk39s-id  38208  cdlemk53b  38224  cdlemk53  38225
 Copyright terms: Public domain W3C validator