Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemk26b-3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemk26b-3 39764
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 14-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk3.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemk3.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemk3.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemk3.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemk3.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemk3.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemk3.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk3.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk3.s 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (π‘–β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘“)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝐹))))))
cdlemk3.u1 π‘Œ = (𝑑 ∈ 𝑇, 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑗 ∈ 𝑇 (π‘—β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘’)) ∧ (((π‘†β€˜π‘‘)β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑒 ∘ ◑𝑑))))))
Assertion
Ref Expression
cdlemk26b-3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑇 ((π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘₯π‘ŒπΊ) ∈ 𝑇))
Distinct variable groups:   𝑒,𝑑,𝑓,𝑖, ∧   ≀ ,𝑖   ∨ ,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝐴,𝑖   𝑗,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝐹   𝐺,𝑑,𝑒,𝑗   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑓,𝑁,𝑖   𝑃,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑅,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑇,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   π‘Š,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   ∧ ,𝑗   ≀ ,𝑗   ∨ ,𝑗   𝐴,𝑗   𝑗,𝐹   𝑗,𝐻   𝑗,𝐾   𝑗,𝑁   𝑃,𝑗   𝑅,𝑗   𝑆,𝑑,𝑒,𝑗   𝑇,𝑗   𝑗,π‘Š   𝐹,𝑑,𝑒   ≀ ,𝑒   𝑓,𝐺,𝑖   π‘₯,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗   π‘₯, ≀   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐻   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝑃   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝑇   π‘₯,π‘Œ   π‘₯,π‘Š
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑒,𝑓,𝑑)   𝐡(𝑒,𝑓,𝑖,𝑗,𝑑)   𝑆(π‘₯,𝑓,𝑖)   𝐻(𝑒,𝑓,𝑑)   ∨ (π‘₯)   𝐾(𝑒,𝑓,𝑑)   ≀ (𝑓,𝑑)   ∧ (π‘₯)   𝑁(𝑒,𝑑)   π‘Œ(𝑒,𝑓,𝑖,𝑗,𝑑)
Proof of Theorem cdlemk26b-3
StepHypRef Expression
1 simpl1 1191 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 cdlemk3.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 cdlemk3.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
4 cdlemk3.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 cdlemk3.r . . . 4 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
62, 3, 4, 5cdlemftr2 39425 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑇 (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))
71, 6syl 17 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑇 (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))
8 simp3r 1202 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))
9 simp11 1203 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
10 simp133 1310 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))
11 simp131 1308 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
12 simp121 1305 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
13 simp3l 1201 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑇)
14 simp123 1307 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ 𝑁 ∈ 𝑇)
15 simp3r2 1282 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
16 simp3r3 1283 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ))
1715, 16jca 512 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))
18 simp122 1306 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
19 simp132 1309 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
20 simp3r1 1281 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
2118, 19, 203jca 1128 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
22 simp2 1137 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
23 cdlemk3.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜πΎ)
24 cdlemk3.j . . . . . . . 8 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
25 cdlemk3.m . . . . . . . 8 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
26 cdlemk3.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
27 cdlemk3.s . . . . . . . 8 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (π‘–β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘“)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝐹))))))
28 cdlemk3.u1 . . . . . . . 8 π‘Œ = (𝑑 ∈ 𝑇, 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑗 ∈ 𝑇 (π‘—β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘’)) ∧ (((π‘†β€˜π‘‘)β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑒 ∘ ◑𝑑))))))
292, 23, 24, 25, 26, 3, 4, 5, 27, 28cdlemkuel-3 39757 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (π‘₯π‘ŒπΊ) ∈ 𝑇)
309, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 21, 22, 29syl333anc 1402 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (π‘₯π‘ŒπΊ) ∈ 𝑇)
318, 30jca 512 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ ((π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘₯π‘ŒπΊ) ∈ 𝑇))
32313expia 1121 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ ((π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘₯π‘ŒπΊ) ∈ 𝑇)))
3332expd 416 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑇 β†’ ((π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) β†’ ((π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘₯π‘ŒπΊ) ∈ 𝑇))))
3433reximdvai 3165 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑇 (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑇 ((π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘₯π‘ŒπΊ) ∈ 𝑇)))
357, 34mpd 15 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑇 ((π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘₯π‘ŒπΊ) ∈ 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   I cid 5572  β—‘ccnv 5674   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679  β€˜cfv 6540  β„©crio 7360  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18260  meetcmee 18261  Atomscatm 38121  HLchlt 38208  LHypclh 38843  LTrncltrn 38960  trLctrl 39017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-riotaBAD 37811
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-undef 8254  df-map 8818  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-llines 38357  df-lplanes 38358  df-lvols 38359  df-lines 38360  df-psubsp 38362  df-pmap 38363  df-padd 38655  df-lhyp 38847  df-laut 38848  df-ldil 38963  df-ltrn 38964  df-trl 39018
This theorem is referenced by:  cdlemk28-3  39767
  Copyright terms: Public domain W3C validator