Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemk26b-3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemk26b-3 38028
 Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 14-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk3.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk3.l = (le‘𝐾)
cdlemk3.j = (join‘𝐾)
cdlemk3.m = (meet‘𝐾)
cdlemk3.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk3.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk3.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk3.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk3.s 𝑆 = (𝑓𝑇 ↦ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹))))))
cdlemk3.u1 𝑌 = (𝑑𝑇, 𝑒𝑇 ↦ (𝑗𝑇 (𝑗𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑒)) (((𝑆𝑑)‘𝑃) (𝑅‘(𝑒𝑑))))))
Assertion
Ref Expression
cdlemk26b-3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ∃𝑥𝑇 ((𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑥𝑌𝐺) ∈ 𝑇))
Distinct variable groups:   𝑒,𝑑,𝑓,𝑖,   ,𝑖   ,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝐴,𝑖   𝑗,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝐹   𝐺,𝑑,𝑒,𝑗   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑓,𝑁,𝑖   𝑃,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑅,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑇,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑊,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   ,𝑗   ,𝑗   ,𝑗   𝐴,𝑗   𝑗,𝐹   𝑗,𝐻   𝑗,𝐾   𝑗,𝑁   𝑃,𝑗   𝑅,𝑗   𝑆,𝑑,𝑒,𝑗   𝑇,𝑗   𝑗,𝑊   𝐹,𝑑,𝑒   ,𝑒   𝑓,𝐺,𝑖   𝑥,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗   𝑥,   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑅   𝑥,𝑇   𝑥,𝑌   𝑥,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑒,𝑓,𝑑)   𝐵(𝑒,𝑓,𝑖,𝑗,𝑑)   𝑆(𝑥,𝑓,𝑖)   𝐻(𝑒,𝑓,𝑑)   (𝑥)   𝐾(𝑒,𝑓,𝑑)   (𝑓,𝑑)   (𝑥)   𝑁(𝑒,𝑑)   𝑌(𝑒,𝑓,𝑖,𝑗,𝑑)

Proof of Theorem cdlemk26b-3
StepHypRef Expression
1 simpl1 1185 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 cdlemk3.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 cdlemk3.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 cdlemk3.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5 cdlemk3.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
62, 3, 4, 5cdlemftr2 37689 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑥𝑇 (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺)))
71, 6syl 17 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ∃𝑥𝑇 (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺)))
8 simp3r 1196 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑥𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺)))
9 simp11 1197 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑥𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
10 simp133 1304 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑥𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))
11 simp131 1302 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑥𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝐺𝑇)
12 simp121 1299 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑥𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝐹𝑇)
13 simp3l 1195 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑥𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝑥𝑇)
14 simp123 1301 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑥𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝑁𝑇)
15 simp3r2 1276 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑥𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹))
16 simp3r3 1277 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑥𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺))
1715, 16jca 514 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑥𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺)))) → ((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺)))
18 simp122 1300 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑥𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
19 simp132 1303 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑥𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
20 simp3r1 1275 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑥𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺)))) → 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))
2118, 19, 203jca 1122 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑥𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
22 simp2 1131 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑥𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
23 cdlemk3.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
24 cdlemk3.j . . . . . . . 8 = (join‘𝐾)
25 cdlemk3.m . . . . . . . 8 = (meet‘𝐾)
26 cdlemk3.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
27 cdlemk3.s . . . . . . . 8 𝑆 = (𝑓𝑇 ↦ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹))))))
28 cdlemk3.u1 . . . . . . . 8 𝑌 = (𝑑𝑇, 𝑒𝑇 ↦ (𝑗𝑇 (𝑗𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑒)) (((𝑆𝑑)‘𝑃) (𝑅‘(𝑒𝑑))))))
292, 23, 24, 25, 26, 3, 4, 5, 27, 28cdlemkuel-3 38021 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝑇𝑥𝑇𝑁𝑇) ∧ (((𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝑥𝑌𝐺) ∈ 𝑇)
309, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 21, 22, 29syl333anc 1396 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑥𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺)))) → (𝑥𝑌𝐺) ∈ 𝑇)
318, 30jca 514 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑥𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺)))) → ((𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑥𝑌𝐺) ∈ 𝑇))
32313expia 1115 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑥𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑥𝑌𝐺) ∈ 𝑇)))
3332expd 418 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑥𝑇 → ((𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺)) → ((𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑥𝑌𝐺) ∈ 𝑇))))
3433reximdvai 3270 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (∃𝑥𝑇 (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺)) → ∃𝑥𝑇 ((𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑥𝑌𝐺) ∈ 𝑇)))
357, 34mpd 15 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ∃𝑥𝑇 ((𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑥) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝑥𝑌𝐺) ∈ 𝑇))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1081   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ≠ wne 3014  ∃wrex 3137   class class class wbr 5057   ↦ cmpt 5137   I cid 5452  ◡ccnv 5547   ↾ cres 5550   ∘ ccom 5552  ‘cfv 6348  ℩crio 7105  (class class class)co 7148   ∈ cmpo 7150  Basecbs 16475  lecple 16564  joincjn 17546  meetcmee 17547  Atomscatm 36386  HLchlt 36473  LHypclh 37107  LTrncltrn 37224  trLctrl 37281 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-riotaBAD 36076 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-undef 7931  df-map 8400  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-clat 17710  df-oposet 36299  df-ol 36301  df-oml 36302  df-covers 36389  df-ats 36390  df-atl 36421  df-cvlat 36445  df-hlat 36474  df-llines 36621  df-lplanes 36622  df-lvols 36623  df-lines 36624  df-psubsp 36626  df-pmap 36627  df-padd 36919  df-lhyp 37111  df-laut 37112  df-ldil 37227  df-ltrn 37228  df-trl 37282 This theorem is referenced by:  cdlemk28-3  38031
 Copyright terms: Public domain W3C validator