Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemk26b-3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemk26b-3 40433
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 14-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk3.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemk3.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemk3.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemk3.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemk3.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemk3.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemk3.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk3.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk3.s 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (π‘–β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘“)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝐹))))))
cdlemk3.u1 π‘Œ = (𝑑 ∈ 𝑇, 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑗 ∈ 𝑇 (π‘—β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘’)) ∧ (((π‘†β€˜π‘‘)β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑒 ∘ ◑𝑑))))))
Assertion
Ref Expression
cdlemk26b-3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑇 ((π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘₯π‘ŒπΊ) ∈ 𝑇))
Distinct variable groups:   𝑒,𝑑,𝑓,𝑖, ∧   ≀ ,𝑖   ∨ ,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝐴,𝑖   𝑗,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝐹   𝐺,𝑑,𝑒,𝑗   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑓,𝑁,𝑖   𝑃,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑅,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑇,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   π‘Š,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   ∧ ,𝑗   ≀ ,𝑗   ∨ ,𝑗   𝐴,𝑗   𝑗,𝐹   𝑗,𝐻   𝑗,𝐾   𝑗,𝑁   𝑃,𝑗   𝑅,𝑗   𝑆,𝑑,𝑒,𝑗   𝑇,𝑗   𝑗,π‘Š   𝐹,𝑑,𝑒   ≀ ,𝑒   𝑓,𝐺,𝑖   π‘₯,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗   π‘₯, ≀   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐻   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝑃   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝑇   π‘₯,π‘Œ   π‘₯,π‘Š
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑒,𝑓,𝑑)   𝐡(𝑒,𝑓,𝑖,𝑗,𝑑)   𝑆(π‘₯,𝑓,𝑖)   𝐻(𝑒,𝑓,𝑑)   ∨ (π‘₯)   𝐾(𝑒,𝑓,𝑑)   ≀ (𝑓,𝑑)   ∧ (π‘₯)   𝑁(𝑒,𝑑)   π‘Œ(𝑒,𝑓,𝑖,𝑗,𝑑)
Proof of Theorem cdlemk26b-3
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 cdlemk3.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 cdlemk3.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
4 cdlemk3.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 cdlemk3.r . . . 4 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
62, 3, 4, 5cdlemftr2 40094 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑇 (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))
71, 6syl 17 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑇 (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))
8 simp3r 1199 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))
9 simp11 1200 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
10 simp133 1307 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))
11 simp131 1305 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
12 simp121 1302 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
13 simp3l 1198 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑇)
14 simp123 1304 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ 𝑁 ∈ 𝑇)
15 simp3r2 1279 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
16 simp3r3 1280 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ))
1715, 16jca 510 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ ((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))
18 simp122 1303 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
19 simp132 1306 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
20 simp3r1 1278 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
2118, 19, 203jca 1125 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
22 simp2 1134 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
23 cdlemk3.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜πΎ)
24 cdlemk3.j . . . . . . . 8 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
25 cdlemk3.m . . . . . . . 8 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
26 cdlemk3.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
27 cdlemk3.s . . . . . . . 8 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (π‘–β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘“)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝐹))))))
28 cdlemk3.u1 . . . . . . . 8 π‘Œ = (𝑑 ∈ 𝑇, 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑗 ∈ 𝑇 (π‘—β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘’)) ∧ (((π‘†β€˜π‘‘)β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑒 ∘ ◑𝑑))))))
292, 23, 24, 25, 26, 3, 4, 5, 27, 28cdlemkuel-3 40426 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (((π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (π‘₯π‘ŒπΊ) ∈ 𝑇)
309, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 21, 22, 29syl333anc 1399 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (π‘₯π‘ŒπΊ) ∈ 𝑇)
318, 30jca 510 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ ((π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘₯π‘ŒπΊ) ∈ 𝑇))
32313expia 1118 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑇 ∧ (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ ((π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘₯π‘ŒπΊ) ∈ 𝑇)))
3332expd 414 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑇 β†’ ((π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) β†’ ((π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘₯π‘ŒπΊ) ∈ 𝑇))))
3433reximdvai 3155 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑇 (π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑇 ((π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘₯π‘ŒπΊ) ∈ 𝑇)))
357, 34mpd 15 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑇 ((π‘₯ β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘₯) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘₯π‘ŒπΊ) ∈ 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆƒwrex 3060   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226   I cid 5569  β—‘ccnv 5671   β†Ύ cres 5674   ∘ ccom 5676  β€˜cfv 6542  β„©crio 7370  (class class class)co 7415   ∈ cmpo 7417  Basecbs 17177  lecple 17237  joincjn 18300  meetcmee 18301  Atomscatm 38790  HLchlt 38877  LHypclh 39512  LTrncltrn 39629  trLctrl 39686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-riotaBAD 38480
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-undef 8275  df-map 8843  df-proset 18284  df-poset 18302  df-plt 18319  df-lub 18335  df-glb 18336  df-join 18337  df-meet 18338  df-p0 18414  df-p1 18415  df-lat 18421  df-clat 18488  df-oposet 38703  df-ol 38705  df-oml 38706  df-covers 38793  df-ats 38794  df-atl 38825  df-cvlat 38849  df-hlat 38878  df-llines 39026  df-lplanes 39027  df-lvols 39028  df-lines 39029  df-psubsp 39031  df-pmap 39032  df-padd 39324  df-lhyp 39516  df-laut 39517  df-ldil 39632  df-ltrn 39633  df-trl 39687
This theorem is referenced by:  cdlemk28-3  40436
  Copyright terms: Public domain W3C validator