Theorem cdlemk26b-3 38846

Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 14-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemk3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk3.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemk3.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemk3.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemk3.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk3.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk3.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk3.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk3.s	⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹))))))
cdlemk3.u1	⊢ 𝑌 = (𝑑 ∈ 𝑇, 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑗 ∈ 𝑇 (𝑗‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑒)) ∧ (((𝑆‘𝑑)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑒 ∘ ◡𝑑))))))

Assertion

Ref	Expression
cdlemk26b-3	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ∃𝑥 ∈ 𝑇 ((𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑥𝑌𝐺) ∈ 𝑇))

Distinct variable groups:   𝑒,𝑑,𝑓,𝑖, ∧   ≤ ,𝑖   ∨ ,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝐴,𝑖   𝑗,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝐹   𝐺,𝑑,𝑒,𝑗   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑓,𝑁,𝑖   𝑃,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑅,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑇,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   𝑊,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖   ∧ ,𝑗   ≤ ,𝑗   ∨ ,𝑗   𝐴,𝑗   𝑗,𝐹   𝑗,𝐻   𝑗,𝐾   𝑗,𝑁   𝑃,𝑗   𝑅,𝑗   𝑆,𝑑,𝑒,𝑗   𝑇,𝑗   𝑗,𝑊   𝐹,𝑑,𝑒   ≤ ,𝑒   𝑓,𝐺,𝑖   𝑥,𝑑,𝑒,𝑓,𝑖,𝑗   𝑥, ≤   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐻   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑅   𝑥,𝑇   𝑥,𝑌   𝑥,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑒,𝑓,𝑑)   𝐵(𝑒,𝑓,𝑖,𝑗,𝑑)   𝑆(𝑥,𝑓,𝑖)   𝐻(𝑒,𝑓,𝑑)   ∨ (𝑥)   𝐾(𝑒,𝑓,𝑑)   ≤ (𝑓,𝑑)   ∧ (𝑥)   𝑁(𝑒,𝑑)   𝑌(𝑒,𝑓,𝑖,𝑗,𝑑)

Proof of Theorem cdlemk26b-3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1189	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		cdlemk3.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		cdlemk3.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		cdlemk3.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		cdlemk3.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
6	2, 3, 4, 5	cdlemftr2 38507	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∃𝑥 ∈ 𝑇 (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺)))
7	1, 6	syl 17	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ∃𝑥 ∈ 𝑇 (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺)))
8		simp3r 1200	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺)))
9		simp11 1201	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		simp133 1308	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))
11		simp131 1306	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → 𝐺 ∈ 𝑇)
12		simp121 1303	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → 𝐹 ∈ 𝑇)
13		simp3l 1199	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → 𝑥 ∈ 𝑇)
14		simp123 1305	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → 𝑁 ∈ 𝑇)
15		simp3r2 1280	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹))
16		simp3r3 1281	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺))
17	15, 16	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → ((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺)))
18		simp122 1304	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
19		simp132 1307	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
20		simp3r1 1279	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵))
21	18, 19, 20	3jca 1126	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
22		simp2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
23		cdlemk3.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
24		cdlemk3.j	. . . . . . . 8 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
25		cdlemk3.m	. . . . . . . 8 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
26		cdlemk3.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
27		cdlemk3.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹))))))
28		cdlemk3.u1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = (𝑑 ∈ 𝑇, 𝑒 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑗 ∈ 𝑇 (𝑗‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑒)) ∧ (((𝑆‘𝑑)‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑒 ∘ ◡𝑑))))))
29	2, 23, 24, 25, 26, 3, 4, 5, 27, 28	cdlemkuel-3 38839	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (((𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))) → (𝑥𝑌𝐺) ∈ 𝑇)
30	9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 21, 22, 29	syl333anc 1400	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → (𝑥𝑌𝐺) ∈ 𝑇)
31	8, 30	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑥 ∈ 𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺)))) → ((𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑥𝑌𝐺) ∈ 𝑇))
32	31	3expia 1119	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑥 ∈ 𝑇 ∧ (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺))) → ((𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑥𝑌𝐺) ∈ 𝑇)))
33	32	expd 415	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑥 ∈ 𝑇 → ((𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺)) → ((𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑥𝑌𝐺) ∈ 𝑇))))
34	33	reximdvai 3199	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (∃𝑥 ∈ 𝑇 (𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺)) → ∃𝑥 ∈ 𝑇 ((𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑥𝑌𝐺) ∈ 𝑇)))
35	7, 34	mpd 15	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ∃𝑥 ∈ 𝑇 ((𝑥 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐹) ∧ (𝑅‘𝑥) ≠ (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝑥𝑌𝐺) ∈ 𝑇))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153   I cid 5479  ^◡ccnv 5579   ↾ cres 5582   ∘ ccom 5584  ‘cfv 6418  ℩crio 7211  (class class class)co 7255   ∈ cmpo 7257  Basecbs 16840  lecple 16895  joincjn 17944  meetcmee 17945  Atomscatm 37204  HLchlt 37291  LHypclh 37925  LTrncltrn 38042  trLctrl 38099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-riotaBAD 36894

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-undef 8060  df-map 8575  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-p0 18058  df-p1 18059  df-lat 18065  df-clat 18132  df-oposet 37117  df-ol 37119  df-oml 37120  df-covers 37207  df-ats 37208  df-atl 37239  df-cvlat 37263  df-hlat 37292  df-llines 37439  df-lplanes 37440  df-lvols 37441  df-lines 37442  df-psubsp 37444  df-pmap 37445  df-padd 37737  df-lhyp 37929  df-laut 37930  df-ldil 38045  df-ltrn 38046  df-trl 38100

This theorem is referenced by:  cdlemk28-3  38849