Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdlemk5.b |
. . 3
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
2 | | cdlemk5.l |
. . 3
β’ β€ =
(leβπΎ) |
3 | | cdlemk5.j |
. . 3
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
4 | | cdlemk5.m |
. . 3
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
5 | | cdlemk5.a |
. . 3
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
6 | | cdlemk5.h |
. . 3
β’ π» = (LHypβπΎ) |
7 | | cdlemk5.t |
. . 3
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
8 | | cdlemk5.r |
. . 3
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
9 | | cdlemk5.z |
. . 3
β’ π = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))) |
10 | | cdlemk5.y |
. . 3
β’ π = ((π β¨ (π
βπ)) β§ (π β¨ (π
β(π β β‘π)))) |
11 | | cdlemk5.x |
. . 3
β’ π = (β©π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπ)) β (π§βπ) = π)) |
12 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11 | cdlemkid4 39443 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅))) β β¦πΊ / πβ¦π = (β©π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β π§ = ( I βΎ π΅)))) |
13 | 1, 6, 7 | idltrn 38659 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π β π») β ( I βΎ π΅) β π) |
14 | 13 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅))) β ( I βΎ π΅) β π) |
15 | | eqidd 2734 |
. . . . . 6
β’ ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β ( I βΎ π΅) = ( I βΎ π΅)) |
16 | 15 | rgenw 3065 |
. . . . 5
β’
βπ β
π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β ( I βΎ π΅) = ( I βΎ π΅)) |
17 | | eqeq1 2737 |
. . . . . . . 8
β’ (π§ = ( I βΎ π΅) β (π§ = ( I βΎ π΅) β ( I βΎ π΅) = ( I βΎ π΅))) |
18 | 17 | imbi2d 341 |
. . . . . . 7
β’ (π§ = ( I βΎ π΅) β (((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β π§ = ( I βΎ π΅)) β ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β ( I βΎ π΅) = ( I βΎ π΅)))) |
19 | 18 | ralbidv 3171 |
. . . . . 6
β’ (π§ = ( I βΎ π΅) β (βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β π§ = ( I βΎ π΅)) β βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β ( I βΎ π΅) = ( I βΎ π΅)))) |
20 | 19 | rspcev 3580 |
. . . . 5
β’ ((( I
βΎ π΅) β π β§ βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β ( I βΎ π΅) = ( I βΎ π΅))) β βπ§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β π§ = ( I βΎ π΅))) |
21 | 14, 16, 20 | sylancl 587 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅))) β βπ§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β π§ = ( I βΎ π΅))) |
22 | 1, 6, 7, 8 | cdlemftr2 39075 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π β π») β βπ β π (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ))) |
23 | 22 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅))) β βπ β π (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ))) |
24 | | reusv1 5353 |
. . . . 5
β’
(βπ β
π (π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β (β!π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β π§ = ( I βΎ π΅)) β βπ§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β π§ = ( I βΎ π΅)))) |
25 | 23, 24 | syl 17 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅))) β (β!π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β π§ = ( I βΎ π΅)) β βπ§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β π§ = ( I βΎ π΅)))) |
26 | 21, 25 | mpbird 257 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅))) β β!π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β π§ = ( I βΎ π΅))) |
27 | | riotacl 7332 |
. . 3
β’
(β!π§ β
π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β π§ = ( I βΎ π΅)) β (β©π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β π§ = ( I βΎ π΅))) β π) |
28 | 26, 27 | syl 17 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅))) β (β©π§ β π βπ β π ((π β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ) β (π
βπΊ)) β π§ = ( I βΎ π΅))) β π) |
29 | 12, 28 | eqeltrd 2834 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ π β π β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΊ = ( I βΎ π΅))) β β¦πΊ / πβ¦π β π) |