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Theorem cdlemk38 39424
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Line 31, p. 119. TODO: derive more directly with r19.23 3238? (Contributed by NM, 19-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk4.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemk4.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemk4.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemk4.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemk4.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemk4.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemk4.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk4.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk4.z 𝑍 = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))
cdlemk4.y π‘Œ = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝑏))))
cdlemk4.x 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) β†’ (π‘§β€˜π‘ƒ) = π‘Œ))
Assertion
Ref Expression
cdlemk38 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) β†’ (π‘‹β€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑏, ∧   ≀ ,𝑏,𝑧   ∨ ,𝑏,𝑧   𝐴,𝑏,𝑧   𝐡,𝑏,𝑧   𝐹,𝑏,𝑧   𝐺,𝑏,𝑧   𝐻,𝑏,𝑧   𝐾,𝑏,𝑧   𝑁,𝑏,𝑧   𝑃,𝑏,𝑧   𝑅,𝑏,𝑧   𝑇,𝑏,𝑧   π‘Š,𝑏,𝑧   𝑧,π‘Œ
Allowed substitution hints:   𝑋(𝑧,𝑏)   π‘Œ(𝑏)   𝑍(𝑧,𝑏)

Proof of Theorem cdlemk38
StepHypRef Expression
1 cdlemk4.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 cdlemk4.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 cdlemk4.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 cdlemk4.r . . . 4 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
51, 2, 3, 4cdlemftr2 39075 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑇 (𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))
653ad2ant1 1134 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑇 (𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))
7 nfv 1918 . . 3 Ⅎ𝑏((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)))
8 cdlemk4.x . . . . . 6 𝑋 = (℩𝑧 ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) β†’ (π‘§β€˜π‘ƒ) = π‘Œ))
9 nfra1 3266 . . . . . . 7 β„²π‘βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) β†’ (π‘§β€˜π‘ƒ) = π‘Œ)
10 nfcv 2904 . . . . . . 7 Ⅎ𝑏𝑇
119, 10nfriota 7327 . . . . . 6 Ⅎ𝑏(℩𝑧 ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) β†’ (π‘§β€˜π‘ƒ) = π‘Œ))
128, 11nfcxfr 2902 . . . . 5 Ⅎ𝑏𝑋
13 nfcv 2904 . . . . 5 Ⅎ𝑏𝑃
1412, 13nffv 6853 . . . 4 Ⅎ𝑏(π‘‹β€˜π‘ƒ)
15 nfcv 2904 . . . 4 Ⅎ𝑏 ≀
16 nfcv 2904 . . . 4 Ⅎ𝑏(𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ))
1714, 15, 16nfbr 5153 . . 3 Ⅎ𝑏(π‘‹β€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ))
18 simpl1 1192 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
19 simpl21 1252 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
20 simpl22 1253 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
21 simpl23 1254 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ 𝑁 ∈ 𝑇)
22 simpl3l 1229 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
23 simpl3r 1230 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))
24 simpr 486 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ))))
25 cdlemk4.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
26 cdlemk4.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
27 cdlemk4.m . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
28 cdlemk4.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
29 cdlemk4.z . . . . . 6 𝑍 = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))
30 cdlemk4.y . . . . . 6 π‘Œ = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (𝑍 ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝑏))))
311, 25, 26, 27, 28, 2, 3, 4, 29, 30, 8cdlemk37 39423 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (π‘‹β€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
3218, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 31syl331anc 1396 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑇 ∧ (𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)))) β†’ (π‘‹β€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
3332exp32 422 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) β†’ (𝑏 ∈ 𝑇 β†’ ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) β†’ (π‘‹β€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)))))
347, 17, 33rexlimd 3248 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑇 (𝑏 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) β†’ (π‘‹β€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ))))
356, 34mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))) β†’ (π‘‹β€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5106   I cid 5531  β—‘ccnv 5633   β†Ύ cres 5636   ∘ ccom 5638  β€˜cfv 6497  β„©crio 7313  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  lecple 17145  joincjn 18205  meetcmee 18206  Atomscatm 37771  HLchlt 37858  LHypclh 38493  LTrncltrn 38610  trLctrl 38667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-riotaBAD 37461
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-undef 8205  df-map 8770  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-lub 18240  df-glb 18241  df-join 18242  df-meet 18243  df-p0 18319  df-p1 18320  df-lat 18326  df-clat 18393  df-oposet 37684  df-ol 37686  df-oml 37687  df-covers 37774  df-ats 37775  df-atl 37806  df-cvlat 37830  df-hlat 37859  df-llines 38007  df-lplanes 38008  df-lvols 38009  df-lines 38010  df-psubsp 38012  df-pmap 38013  df-padd 38305  df-lhyp 38497  df-laut 38498  df-ldil 38613  df-ltrn 38614  df-trl 38668
This theorem is referenced by:  cdlemk39  39425
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