Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | id 22 |
. . . . 5
β’ (π = π β π = π) |
2 | | 2fveq3 6852 |
. . . . 5
β’ (π = π β (πΉβ(πΊβπ)) = (πΉβ(πΊβπ))) |
3 | 1, 2 | oveq12d 7380 |
. . . 4
β’ (π = π β (π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) = (π β¨ (πΉβ(πΊβπ)))) |
4 | 3 | oveq1d 7377 |
. . 3
β’ (π = π β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |
5 | 4 | adantl 483 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π))) β§ π = π) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |
6 | | simpl1 1192 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π))) β§ π β π) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
7 | | simpl21 1252 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π))) β§ π β π) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
8 | | simpl22 1253 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π))) β§ π β π) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
9 | | simpl23 1254 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π))) β§ π β π) β πΉ β π) |
10 | | simpl31 1255 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π))) β§ π β π) β πΊ β π) |
11 | | simpr 486 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π))) β§ π β π) β π β π) |
12 | | simpl32 1256 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π))) β§ π β π) β Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π)) |
13 | | simpl33 1257 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π))) β§ π β π) β Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π)) |
14 | | cdlemg12.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
15 | | cdlemg12.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
16 | | cdlemg12.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
17 | | cdlemg12.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
18 | | cdlemg12.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
19 | | cdlemg12.t |
. . . 4
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
20 | | cdlemg12b.r |
. . . 4
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
21 | 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 | cdlemg16z 39151 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |
22 | 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 21 | syl332anc 1402 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π))) β§ π β π) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |
23 | 5, 22 | pm2.61dane 3033 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ πΉ β π) β§ (πΊ β π β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |