Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg2k Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg2k 40201
Description: cdleme42keg 40086 with simpler hypotheses. TODO: FIX COMMENT. TODO: derive from cdlemg3a 40197, cdlemg2fv2 40200, cdlemg2jOLDN 40198, ltrnel 39739? (Contributed by NM, 22-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg2inv.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg2inv.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg2j.l = (le‘𝐾)
cdlemg2j.j = (join‘𝐾)
cdlemg2j.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg2j.m = (meet‘𝐾)
cdlemg2j.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemg2k (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝐹𝑃) (𝐹𝑄)) = ((𝐹𝑃) 𝑈))

Proof of Theorem cdlemg2k
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑠 𝑡 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . 2 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2 cdlemg2j.l . 2 = (le‘𝐾)
3 cdlemg2j.j . 2 = (join‘𝐾)
4 cdlemg2j.m . 2 = (meet‘𝐾)
5 cdlemg2j.a . 2 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6 cdlemg2inv.h . 2 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 cdlemg2inv.t . 2 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8 eqid 2725 . 2 ((𝑝 𝑞) 𝑊) = ((𝑝 𝑞) 𝑊)
9 eqid 2725 . 2 ((𝑡 ((𝑝 𝑞) 𝑊)) (𝑞 ((𝑝 𝑡) 𝑊))) = ((𝑡 ((𝑝 𝑞) 𝑊)) (𝑞 ((𝑝 𝑡) 𝑊)))
10 eqid 2725 . 2 ((𝑝 𝑞) (((𝑡 ((𝑝 𝑞) 𝑊)) (𝑞 ((𝑝 𝑡) 𝑊))) ((𝑠 𝑡) 𝑊))) = ((𝑝 𝑞) (((𝑡 ((𝑝 𝑞) 𝑊)) (𝑞 ((𝑝 𝑡) 𝑊))) ((𝑠 𝑡) 𝑊)))
11 eqid 2725 . 2 (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ if((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑥 𝑊), (𝑧 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ (𝑠 (𝑥 𝑊)) = 𝑥) → 𝑧 = (if(𝑠 (𝑝 𝑞), (𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑡𝐴 ((¬ 𝑡 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 (𝑝 𝑞)) → 𝑦 = ((𝑝 𝑞) (((𝑡 ((𝑝 𝑞) 𝑊)) (𝑞 ((𝑝 𝑡) 𝑊))) ((𝑠 𝑡) 𝑊))))), 𝑠 / 𝑡((𝑡 ((𝑝 𝑞) 𝑊)) (𝑞 ((𝑝 𝑡) 𝑊)))) (𝑥 𝑊)))), 𝑥)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ if((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑥 𝑊), (𝑧 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ (𝑠 (𝑥 𝑊)) = 𝑥) → 𝑧 = (if(𝑠 (𝑝 𝑞), (𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑡𝐴 ((¬ 𝑡 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 (𝑝 𝑞)) → 𝑦 = ((𝑝 𝑞) (((𝑡 ((𝑝 𝑞) 𝑊)) (𝑞 ((𝑝 𝑡) 𝑊))) ((𝑠 𝑡) 𝑊))))), 𝑠 / 𝑡((𝑡 ((𝑝 𝑞) 𝑊)) (𝑞 ((𝑝 𝑡) 𝑊)))) (𝑥 𝑊)))), 𝑥))
12 cdlemg2j.u . 2 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12cdlemg2klem 40195 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝐹𝑃) (𝐹𝑄)) = ((𝐹𝑃) 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  csb 3889  ifcif 4530   class class class wbr 5149  cmpt 5232  cfv 6549  crio 7374  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  lecple 17243  joincjn 18306  meetcmee 18307  Atomscatm 38862  HLchlt 38949  LHypclh 39584  LTrncltrn 39701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-riotaBAD 38552
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-undef 8279  df-map 8847  df-proset 18290  df-poset 18308  df-plt 18325  df-lub 18341  df-glb 18342  df-join 18343  df-meet 18344  df-p0 18420  df-p1 18421  df-lat 18427  df-clat 18494  df-oposet 38775  df-ol 38777  df-oml 38778  df-covers 38865  df-ats 38866  df-atl 38897  df-cvlat 38921  df-hlat 38950  df-llines 39098  df-lplanes 39099  df-lvols 39100  df-lines 39101  df-psubsp 39103  df-pmap 39104  df-padd 39396  df-lhyp 39588  df-laut 39589  df-ldil 39704  df-ltrn 39705  df-trl 39759
This theorem is referenced by:  cdlemg2kq  40202  cdlemg2l  40203  cdlemg2m  40204  cdlemg9b  40233  cdlemg10bALTN  40236  cdlemg12b  40244  cdlemg17e  40265
  Copyright terms: Public domain W3C validator