Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg33b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg33b 39573
Description: TODO: Fix comment. (Contributed by NM, 30-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemg12.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemg12.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemg12b.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemg31.n 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)))
cdlemg33.o 𝑂 = ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
Assertion
Ref Expression
cdlemg33b ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ (𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 β‰  𝑂 ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣))))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ÿ   𝐺,π‘Ÿ   ∨ ,π‘Ÿ   ≀ ,π‘Ÿ   𝑃,π‘Ÿ   𝑄,π‘Ÿ   π‘Š,π‘Ÿ   𝐹,π‘Ÿ   𝑧,𝐴   𝑧,𝐹,π‘Ÿ   𝐻,π‘Ÿ,𝑧   𝑧, ∨   𝐾,π‘Ÿ,𝑧   𝑧, ≀   𝑁,π‘Ÿ,𝑧   𝑧,𝑃   𝑧,𝑄   𝑧,𝑅   𝑧,𝑇   𝑧,π‘Š   𝑧,𝑣,π‘Ÿ   𝑧,𝐺   𝑧,𝑂,π‘Ÿ
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑣)   𝑃(𝑣)   𝑄(𝑣)   𝑅(𝑣,π‘Ÿ)   𝑇(𝑣,π‘Ÿ)   𝐹(𝑣)   𝐺(𝑣)   𝐻(𝑣)   ∨ (𝑣)   𝐾(𝑣)   ≀ (𝑣)   ∧ (𝑧,𝑣,π‘Ÿ)   𝑁(𝑣)   𝑂(𝑣)   π‘Š(𝑣)

Proof of Theorem cdlemg33b
StepHypRef Expression
1 df-3an 1089 . . . . 5 ((𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 β‰  𝑂 ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣)) ↔ ((𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 β‰  𝑂) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣)))
2 neeq2 3004 . . . . . . . 8 (𝑁 = 𝑂 β†’ (𝑧 β‰  𝑁 ↔ 𝑧 β‰  𝑂))
32anbi2d 629 . . . . . . 7 (𝑁 = 𝑂 β†’ ((𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 β‰  𝑁) ↔ (𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 β‰  𝑂)))
4 anidm 565 . . . . . . 7 ((𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 β‰  𝑁) ↔ 𝑧 β‰  𝑁)
53, 4bitr3di 285 . . . . . 6 (𝑁 = 𝑂 β†’ ((𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 β‰  𝑂) ↔ 𝑧 β‰  𝑁))
65anbi1d 630 . . . . 5 (𝑁 = 𝑂 β†’ (((𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 β‰  𝑂) ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣)) ↔ (𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣))))
71, 6bitrid 282 . . . 4 (𝑁 = 𝑂 β†’ ((𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 β‰  𝑂 ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣)) ↔ (𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣))))
87anbi2d 629 . . 3 (𝑁 = 𝑂 β†’ ((Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ (𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 β‰  𝑂 ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣))) ↔ (Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ (𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣)))))
98rexbidv 3178 . 2 (𝑁 = 𝑂 β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ (𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 β‰  𝑂 ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣))) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ (𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣)))))
10 simpl1 1191 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) ∧ 𝑁 β‰  𝑂) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)))
11 simpl2 1192 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) ∧ 𝑁 β‰  𝑂) β†’ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)))
12 simpl31 1254 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) ∧ 𝑁 β‰  𝑂) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
13 simpr 485 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) ∧ 𝑁 β‰  𝑂) β†’ 𝑁 β‰  𝑂)
1412, 13jca 512 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) ∧ 𝑁 β‰  𝑂) β†’ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑁 β‰  𝑂))
15 simpl32 1255 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) ∧ 𝑁 β‰  𝑂) β†’ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ))
16 simpl33 1256 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) ∧ 𝑁 β‰  𝑂) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))
17 cdlemg12.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
18 cdlemg12.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
19 cdlemg12.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
20 cdlemg12.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
21 cdlemg12.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
22 cdlemg12.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
23 cdlemg12b.r . . . 4 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
24 cdlemg31.n . . . 4 𝑁 = ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΉ)))
25 cdlemg33.o . . . 4 𝑂 = ((𝑃 ∨ 𝑣) ∧ (𝑄 ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
2617, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25cdlemg33a 39572 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑁 β‰  𝑂) ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ (𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 β‰  𝑂 ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣))))
2710, 11, 14, 15, 16, 26syl113anc 1382 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) ∧ 𝑁 β‰  𝑂) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ (𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 β‰  𝑂 ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣))))
28 simp21 1206 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š))
29 simp22l 1292 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ 𝑁 ∈ 𝐴)
30 simp23l 1294 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
3128, 29, 303jca 1128 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇))
3217, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24cdlemg33b0 39567 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ 𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ (𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣))))
3331, 32syld3an2 1411 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ (𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣))))
349, 27, 33pm2.61ne 3027 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ≀ π‘Š) ∧ (𝑁 ∈ 𝐴 ∧ 𝑂 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑣 β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 (Β¬ π‘Ÿ ≀ π‘Š ∧ (𝑃 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑧 ≀ π‘Š ∧ (𝑧 β‰  𝑁 ∧ 𝑧 β‰  𝑂 ∧ 𝑧 ≀ (𝑃 ∨ 𝑣))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  lecple 17203  joincjn 18263  meetcmee 18264  Atomscatm 38128  HLchlt 38215  LHypclh 38850  LTrncltrn 38967  trLctrl 39024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-map 8821  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-p1 18378  df-lat 18384  df-clat 18451  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216  df-llines 38364  df-lplanes 38365  df-psubsp 38369  df-pmap 38370  df-padd 38662  df-lhyp 38854  df-laut 38855  df-ldil 38970  df-ltrn 38971  df-trl 39025
This theorem is referenced by:  cdlemg33  39577
  Copyright terms: Public domain W3C validator