Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | df-3an 1090 |
. . . . 5
β’ ((π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)) β ((π§ β π β§ π§ β π) β§ π§ β€ (π β¨ π£))) |
2 | | neeq2 3008 |
. . . . . . . 8
β’ (π = π β (π§ β π β π§ β π)) |
3 | 2 | anbi2d 630 |
. . . . . . 7
β’ (π = π β ((π§ β π β§ π§ β π) β (π§ β π β§ π§ β π))) |
4 | | anidm 566 |
. . . . . . 7
β’ ((π§ β π β§ π§ β π) β π§ β π) |
5 | 3, 4 | bitr3di 286 |
. . . . . 6
β’ (π = π β ((π§ β π β§ π§ β π) β π§ β π)) |
6 | 5 | anbi1d 631 |
. . . . 5
β’ (π = π β (((π§ β π β§ π§ β π) β§ π§ β€ (π β¨ π£)) β (π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)))) |
7 | 1, 6 | bitrid 283 |
. . . 4
β’ (π = π β ((π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)) β (π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)))) |
8 | 7 | anbi2d 630 |
. . 3
β’ (π = π β ((Β¬ π§ β€ π β§ (π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£))) β (Β¬ π§ β€ π β§ (π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£))))) |
9 | 8 | rexbidv 3176 |
. 2
β’ (π = π β (βπ§ β π΄ (Β¬ π§ β€ π β§ (π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£))) β βπ§ β π΄ (Β¬ π§ β€ π β§ (π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£))))) |
10 | | simpl1 1192 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ (π β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ π β π) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) |
11 | | simpl2 1193 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ (π β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ π β π) β ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π))) |
12 | | simpl31 1255 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ (π β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ π β π) β π β π) |
13 | | simpr 486 |
. . . 4
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ (π β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ π β π) β π β π) |
14 | 12, 13 | jca 513 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ (π β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ π β π) β (π β π β§ π β π)) |
15 | | simpl32 1256 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ (π β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ π β π) β π£ β (π
βπΉ)) |
16 | | simpl33 1257 |
. . 3
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ (π β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ π β π) β βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π))) |
17 | | cdlemg12.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
18 | | cdlemg12.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
19 | | cdlemg12.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
20 | | cdlemg12.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
21 | | cdlemg12.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
22 | | cdlemg12.t |
. . . 4
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
23 | | cdlemg12b.r |
. . . 4
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
24 | | cdlemg31.n |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ π£) β§ (π β¨ (π
βπΉ))) |
25 | | cdlemg33.o |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ π£) β§ (π β¨ (π
βπΊ))) |
26 | 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25 | cdlemg33a 39198 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ π£ β (π
βπΉ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β βπ§ β π΄ (Β¬ π§ β€ π β§ (π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)))) |
27 | 10, 11, 14, 15, 16, 26 | syl113anc 1383 |
. 2
β’
(((((πΎ β HL
β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ (π β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β§ π β π) β βπ§ β π΄ (Β¬ π§ β€ π β§ (π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)))) |
28 | | simp21 1207 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ (π β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (π£ β π΄ β§ π£ β€ π)) |
29 | | simp22l 1293 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ (π β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β π β π΄) |
30 | | simp23l 1295 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ (π β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β πΉ β π) |
31 | 28, 29, 30 | 3jca 1129 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ (π β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ π β π΄ β§ πΉ β π)) |
32 | 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24 | cdlemg33b0 39193 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ π β π΄ β§ πΉ β π) β§ (π β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β βπ§ β π΄ (Β¬ π§ β€ π β§ (π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)))) |
33 | 31, 32 | syld3an2 1412 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ (π β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β βπ§ β π΄ (Β¬ π§ β€ π β§ (π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)))) |
34 | 9, 27, 33 | pm2.61ne 3031 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π£ β π΄ β§ π£ β€ π) β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ (π β π β§ π£ β (π
βπΉ) β§ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β βπ§ β π΄ (Β¬ π§ β€ π β§ (π§ β π β§ π§ β π β§ π§ β€ (π β¨ π£)))) |