Theorem cfsmo 10179

Description: The map in cff1 10166 can be assumed to be a strictly monotone ordinal function without loss of generality. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cfsmo	⊢ (𝐴 ∈ On → ∃𝑓(𝑓:(cf‘𝐴)⟶𝐴 ∧ Smo 𝑓 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ (cf‘𝐴)𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)))

Distinct variable group:   𝐴,𝑓,𝑤,𝑧

Proof of Theorem cfsmo

Dummy variables 𝑚 ℎ 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmeq 5850	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → dom 𝑥 = dom 𝑧)
2	1	fveq2d 6836	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (ℎ‘dom 𝑥) = (ℎ‘dom 𝑧))
3		fveq2 6832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑥‘𝑛) = (𝑥‘𝑚))
4		suceq 6383	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥‘𝑛) = (𝑥‘𝑚) → suc (𝑥‘𝑛) = suc (𝑥‘𝑚))
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → suc (𝑥‘𝑛) = suc (𝑥‘𝑚))
6	5	cbviunv 4992	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ dom 𝑥 suc (𝑥‘𝑛) = ∪ 𝑚 ∈ dom 𝑥 suc (𝑥‘𝑚)
7		fveq1 6831	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥‘𝑚) = (𝑧‘𝑚))
8		suceq 6383	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥‘𝑚) = (𝑧‘𝑚) → suc (𝑥‘𝑚) = suc (𝑧‘𝑚))
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → suc (𝑥‘𝑚) = suc (𝑧‘𝑚))
10	1, 9	iuneq12d 4974	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ∪ 𝑚 ∈ dom 𝑥 suc (𝑥‘𝑚) = ∪ 𝑚 ∈ dom 𝑧 suc (𝑧‘𝑚))
11	6, 10	eqtrid 2781	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ∪ 𝑛 ∈ dom 𝑥 suc (𝑥‘𝑛) = ∪ 𝑚 ∈ dom 𝑧 suc (𝑧‘𝑚))
12	2, 11	uneq12d 4119	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((ℎ‘dom 𝑥) ∪ ∪ 𝑛 ∈ dom 𝑥 suc (𝑥‘𝑛)) = ((ℎ‘dom 𝑧) ∪ ∪ 𝑚 ∈ dom 𝑧 suc (𝑧‘𝑚)))
13	12	cbvmptv 5200	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ V ↦ ((ℎ‘dom 𝑥) ∪ ∪ 𝑛 ∈ dom 𝑥 suc (𝑥‘𝑛))) = (𝑧 ∈ V ↦ ((ℎ‘dom 𝑧) ∪ ∪ 𝑚 ∈ dom 𝑧 suc (𝑧‘𝑚)))
14		eqid 2734	. 2 ⊢ (recs((𝑥 ∈ V ↦ ((ℎ‘dom 𝑥) ∪ ∪ 𝑛 ∈ dom 𝑥 suc (𝑥‘𝑛)))) ↾ (cf‘𝐴)) = (recs((𝑥 ∈ V ↦ ((ℎ‘dom 𝑥) ∪ ∪ 𝑛 ∈ dom 𝑥 suc (𝑥‘𝑛)))) ↾ (cf‘𝐴))
15	13, 14	cfsmolem 10178	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → ∃𝑓(𝑓:(cf‘𝐴)⟶𝐴 ∧ Smo 𝑓 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ (cf‘𝐴)𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  ∃wrex 3058  Vcvv 3438   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  ∪ ciun 4944   ↦ cmpt 5177  dom cdm 5622   ↾ cres 5624  Oncon0 6315  suc csuc 6317  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  Smo wsmo 8275  recscrecs 8300  cfccf 9847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-smo 8276  df-recs 8301  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-card 9849  df-cf 9851  df-acn 9852

This theorem is referenced by:  cfidm  10183  pwcfsdom  10492