Theorem cfsmo 10218

Description: The map in cff1 10205 can be assumed to be a strictly monotone ordinal function without loss of generality. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cfsmo	⊢ (𝐴 ∈ On → ∃𝑓(𝑓:(cf‘𝐴)⟶𝐴 ∧ Smo 𝑓 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ (cf‘𝐴)𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)))

Distinct variable group:   𝐴,𝑓,𝑤,𝑧

Proof of Theorem cfsmo

Dummy variables 𝑚 ℎ 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmeq 5872	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → dom 𝑥 = dom 𝑧)
2	1	fveq2d 6860	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (ℎ‘dom 𝑥) = (ℎ‘dom 𝑧))
3		fveq2 6856	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑥‘𝑛) = (𝑥‘𝑚))
4		suceq 6403	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥‘𝑛) = (𝑥‘𝑚) → suc (𝑥‘𝑛) = suc (𝑥‘𝑚))
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → suc (𝑥‘𝑛) = suc (𝑥‘𝑚))
6	5	cbviunv 4990	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ dom 𝑥 suc (𝑥‘𝑛) = ∪ 𝑚 ∈ dom 𝑥 suc (𝑥‘𝑚)
7		fveq1 6855	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥‘𝑚) = (𝑧‘𝑚))
8		suceq 6403	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥‘𝑚) = (𝑧‘𝑚) → suc (𝑥‘𝑚) = suc (𝑧‘𝑚))
9	7, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → suc (𝑥‘𝑚) = suc (𝑧‘𝑚))
10	1, 9	iuneq12d 4973	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ∪ 𝑚 ∈ dom 𝑥 suc (𝑥‘𝑚) = ∪ 𝑚 ∈ dom 𝑧 suc (𝑧‘𝑚))
11	6, 10	eqtrid 2803	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ∪ 𝑛 ∈ dom 𝑥 suc (𝑥‘𝑛) = ∪ 𝑚 ∈ dom 𝑧 suc (𝑧‘𝑚))
12	2, 11	uneq12d 4117	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((ℎ‘dom 𝑥) ∪ ∪ 𝑛 ∈ dom 𝑥 suc (𝑥‘𝑛)) = ((ℎ‘dom 𝑧) ∪ ∪ 𝑚 ∈ dom 𝑧 suc (𝑧‘𝑚)))
13	12	cbvmptv 5198	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ V ↦ ((ℎ‘dom 𝑥) ∪ ∪ 𝑛 ∈ dom 𝑥 suc (𝑥‘𝑛))) = (𝑧 ∈ V ↦ ((ℎ‘dom 𝑧) ∪ ∪ 𝑚 ∈ dom 𝑧 suc (𝑧‘𝑚)))
14		eqid 2756	. 2 ⊢ (recs((𝑥 ∈ V ↦ ((ℎ‘dom 𝑥) ∪ ∪ 𝑛 ∈ dom 𝑥 suc (𝑥‘𝑛)))) ↾ (cf‘𝐴)) = (recs((𝑥 ∈ V ↦ ((ℎ‘dom 𝑥) ∪ ∪ 𝑛 ∈ dom 𝑥 suc (𝑥‘𝑛)))) ↾ (cf‘𝐴))
15	13, 14	cfsmolem 10217	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → ∃𝑓(𝑓:(cf‘𝐴)⟶𝐴 ∧ Smo 𝑓 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∃𝑤 ∈ (cf‘𝐴)𝑧 ⊆ (𝑓‘𝑤)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1095   = wceq 1554  ∃wex 1793   ∈ wcel 2136  ∀wral 3070  ∃wrex 3080  Vcvv 3448   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  ∪ ciun 4943   ↦ cmpt 5175  dom cdm 5640   ↾ cres 5642  Oncon0 6335  suc csuc 6337  ⟶wf 6506  ‘cfv 6510  Smo wsmo 8304  recscrecs 8329  cfccf 9885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-isom 6519  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-smo 8305  df-recs 8330  df-er 8666  df-map 8798  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-card 9887  df-cf 9889  df-acn 9890

This theorem is referenced by:  cfidm  10222  pwcfsdom  10531