MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfcom3c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfcom3c 9703
Description: Wrap the construction of cnfcom3 9701 into an existential quantifier. For any ฯ‰ โІ ๐‘, there is a bijection from ๐‘ to some power of ฯ‰. Furthermore, this bijection is canonical , which means that we can find a single function ๐‘” which will give such bijections for every ๐‘ less than some arbitrarily large bound ๐ด. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnfcom3c (๐ด โˆˆ On โ†’ โˆƒ๐‘”โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ด (ฯ‰ โІ ๐‘ โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ (On โˆ– 1o)(๐‘”โ€˜๐‘):๐‘โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘ค)))
Distinct variable group:   ๐‘”,๐‘,๐‘ค,๐ด

Proof of Theorem cnfcom3c
Dummy variables ๐‘“ ๐‘˜ ๐‘ข ๐‘ฃ ๐‘ฅ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . 2 dom (ฯ‰ CNF ๐ด) = dom (ฯ‰ CNF ๐ด)
2 eqid 2726 . 2 (โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) = (โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)
3 eqid 2726 . 2 OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)) = OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))
4 eqid 2726 . 2 seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…) = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)
5 eqid 2726 . 2 seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘“ โˆˆ V โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆˆ ((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) โ†ฆ (dom ๐‘“ +o ๐‘ฅ)) โˆช โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘“ โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ฅ)))), โˆ…) = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘“ โˆˆ V โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆˆ ((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) โ†ฆ (dom ๐‘“ +o ๐‘ฅ)) โˆช โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘“ โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ฅ)))), โˆ…)
6 eqid 2726 . 2 ((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) = ((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)))
7 eqid 2726 . 2 ((๐‘ฅ โˆˆ ((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) โ†ฆ (dom ๐‘“ +o ๐‘ฅ)) โˆช โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘“ โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ฅ))) = ((๐‘ฅ โˆˆ ((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) โ†ฆ (dom ๐‘“ +o ๐‘ฅ)) โˆช โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘“ โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ฅ)))
8 eqid 2726 . 2 (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))) = (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))
9 eqid 2726 . 2 (๐‘ข โˆˆ ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) โ†ฆ ((((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) ยทo ๐‘ฃ) +o ๐‘ข)) = (๐‘ข โˆˆ ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) โ†ฆ ((((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) ยทo ๐‘ฃ) +o ๐‘ข))
10 eqid 2726 . 2 (๐‘ข โˆˆ ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) ยทo ๐‘ข) +o ๐‘ฃ)) = (๐‘ข โˆˆ ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) ยทo ๐‘ข) +o ๐‘ฃ))
11 eqid 2726 . 2 (((๐‘ข โˆˆ ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) โ†ฆ ((((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) ยทo ๐‘ฃ) +o ๐‘ข)) โˆ˜ โ—ก(๐‘ข โˆˆ ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) ยทo ๐‘ข) +o ๐‘ฃ))) โˆ˜ (seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘“ โˆˆ V โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆˆ ((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) โ†ฆ (dom ๐‘“ +o ๐‘ฅ)) โˆช โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘“ โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ฅ)))), โˆ…)โ€˜dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) = (((๐‘ข โˆˆ ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) โ†ฆ ((((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) ยทo ๐‘ฃ) +o ๐‘ข)) โˆ˜ โ—ก(๐‘ข โˆˆ ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) ยทo ๐‘ข) +o ๐‘ฃ))) โˆ˜ (seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘“ โˆˆ V โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆˆ ((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) โ†ฆ (dom ๐‘“ +o ๐‘ฅ)) โˆช โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘“ โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ฅ)))), โˆ…)โ€˜dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))))
12 eqid 2726 . 2 (๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ด) โ†ฆ (((๐‘ข โˆˆ ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) โ†ฆ ((((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) ยทo ๐‘ฃ) +o ๐‘ข)) โˆ˜ โ—ก(๐‘ข โˆˆ ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) ยทo ๐‘ข) +o ๐‘ฃ))) โˆ˜ (seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘“ โˆˆ V โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆˆ ((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) โ†ฆ (dom ๐‘“ +o ๐‘ฅ)) โˆช โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘“ โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ฅ)))), โˆ…)โ€˜dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))))) = (๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ด) โ†ฆ (((๐‘ข โˆˆ ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) โ†ฆ ((((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) ยทo ๐‘ฃ) +o ๐‘ข)) โˆ˜ โ—ก(๐‘ข โˆˆ ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) ยทo ๐‘ข) +o ๐‘ฃ))) โˆ˜ (seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘“ โˆˆ V โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆˆ ((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) โ†ฆ (dom ๐‘“ +o ๐‘ฅ)) โˆช โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘“ โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ฅ)))), โˆ…)โ€˜dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12cnfcom3clem 9702 1 (๐ด โˆˆ On โ†’ โˆƒ๐‘”โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ด (ฯ‰ โІ ๐‘ โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ (On โˆ– 1o)(๐‘”โ€˜๐‘):๐‘โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘ค)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4  โˆƒwex 1773   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  โˆƒwrex 3064  Vcvv 3468   โˆ– cdif 3940   โˆช cun 3941   โІ wss 3943  โˆ…c0 4317  โˆช cuni 4902   โ†ฆ cmpt 5224   E cep 5572  โ—กccnv 5668  dom cdm 5669   โˆ˜ ccom 5673  Oncon0 6358  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6536  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   โˆˆ cmpo 7407  ฯ‰com 7852   supp csupp 8146  seqฯ‰cseqom 8448  1oc1o 8460   +o coa 8464   ยทo comu 8465   โ†‘o coe 8466  OrdIsocoi 9506   CNF ccnf 9658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-seqom 8449  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-oexp 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-cnf 9659
This theorem is referenced by:  infxpenc2  10019
  Copyright terms: Public domain W3C validator