MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfcom3c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfcom3c 9647
Description: Wrap the construction of cnfcom3 9645 into an existential quantifier. For any ฯ‰ โŠ† ๐‘, there is a bijection from ๐‘ to some power of ฯ‰. Furthermore, this bijection is canonical , which means that we can find a single function ๐‘” which will give such bijections for every ๐‘ less than some arbitrarily large bound ๐ด. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnfcom3c (๐ด โˆˆ On โ†’ โˆƒ๐‘”โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ด (ฯ‰ โŠ† ๐‘ โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ (On โˆ– 1o)(๐‘”โ€˜๐‘):๐‘โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘ค)))
Distinct variable group:   ๐‘”,๐‘,๐‘ค,๐ด

Proof of Theorem cnfcom3c
Dummy variables ๐‘“ ๐‘˜ ๐‘ข ๐‘ฃ ๐‘ฅ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . 2 dom (ฯ‰ CNF ๐ด) = dom (ฯ‰ CNF ๐ด)
2 eqid 2733 . 2 (โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) = (โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)
3 eqid 2733 . 2 OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)) = OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))
4 eqid 2733 . 2 seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…) = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)
5 eqid 2733 . 2 seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘“ โˆˆ V โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆˆ ((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) โ†ฆ (dom ๐‘“ +o ๐‘ฅ)) โˆช โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘“ โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ฅ)))), โˆ…) = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘“ โˆˆ V โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆˆ ((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) โ†ฆ (dom ๐‘“ +o ๐‘ฅ)) โˆช โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘“ โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ฅ)))), โˆ…)
6 eqid 2733 . 2 ((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) = ((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)))
7 eqid 2733 . 2 ((๐‘ฅ โˆˆ ((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) โ†ฆ (dom ๐‘“ +o ๐‘ฅ)) โˆช โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘“ โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ฅ))) = ((๐‘ฅ โˆˆ ((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) โ†ฆ (dom ๐‘“ +o ๐‘ฅ)) โˆช โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘“ โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ฅ)))
8 eqid 2733 . 2 (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))) = (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))
9 eqid 2733 . 2 (๐‘ข โˆˆ ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) โ†ฆ ((((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) ยทo ๐‘ฃ) +o ๐‘ข)) = (๐‘ข โˆˆ ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) โ†ฆ ((((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) ยทo ๐‘ฃ) +o ๐‘ข))
10 eqid 2733 . 2 (๐‘ข โˆˆ ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) ยทo ๐‘ข) +o ๐‘ฃ)) = (๐‘ข โˆˆ ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) ยทo ๐‘ข) +o ๐‘ฃ))
11 eqid 2733 . 2 (((๐‘ข โˆˆ ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) โ†ฆ ((((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) ยทo ๐‘ฃ) +o ๐‘ข)) โˆ˜ โ—ก(๐‘ข โˆˆ ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) ยทo ๐‘ข) +o ๐‘ฃ))) โˆ˜ (seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘“ โˆˆ V โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆˆ ((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) โ†ฆ (dom ๐‘“ +o ๐‘ฅ)) โˆช โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘“ โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ฅ)))), โˆ…)โ€˜dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) = (((๐‘ข โˆˆ ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) โ†ฆ ((((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) ยทo ๐‘ฃ) +o ๐‘ข)) โˆ˜ โ—ก(๐‘ข โˆˆ ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) ยทo ๐‘ข) +o ๐‘ฃ))) โˆ˜ (seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘“ โˆˆ V โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆˆ ((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) โ†ฆ (dom ๐‘“ +o ๐‘ฅ)) โˆช โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘“ โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ฅ)))), โˆ…)โ€˜dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))))
12 eqid 2733 . 2 (๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ด) โ†ฆ (((๐‘ข โˆˆ ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) โ†ฆ ((((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) ยทo ๐‘ฃ) +o ๐‘ข)) โˆ˜ โ—ก(๐‘ข โˆˆ ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) ยทo ๐‘ข) +o ๐‘ฃ))) โˆ˜ (seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘“ โˆˆ V โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆˆ ((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) โ†ฆ (dom ๐‘“ +o ๐‘ฅ)) โˆช โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘“ โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ฅ)))), โˆ…)โ€˜dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))))) = (๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ด) โ†ฆ (((๐‘ข โˆˆ ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) โ†ฆ ((((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) ยทo ๐‘ฃ) +o ๐‘ข)) โˆ˜ โ—ก(๐‘ข โˆˆ ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) ยทo ๐‘ข) +o ๐‘ฃ))) โˆ˜ (seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘“ โˆˆ V โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆˆ ((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) โ†ฆ (dom ๐‘“ +o ๐‘ฅ)) โˆช โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘“ โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ฅ)))), โˆ…)โ€˜dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12cnfcom3clem 9646 1 (๐ด โˆˆ On โ†’ โˆƒ๐‘”โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ด (ฯ‰ โŠ† ๐‘ โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ (On โˆ– 1o)(๐‘”โ€˜๐‘):๐‘โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘ค)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4  โˆƒwex 1782   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070  Vcvv 3444   โˆ– cdif 3908   โˆช cun 3909   โŠ† wss 3911  โˆ…c0 4283  โˆช cuni 4866   โ†ฆ cmpt 5189   E cep 5537  โ—กccnv 5633  dom cdm 5634   โˆ˜ ccom 5638  Oncon0 6318  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6496  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   โˆˆ cmpo 7360  ฯ‰com 7803   supp csupp 8093  seqฯ‰cseqom 8394  1oc1o 8406   +o coa 8410   ยทo comu 8411   โ†‘o coe 8412  OrdIsocoi 9450   CNF ccnf 9602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-seqom 8395  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-oexp 8419  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-oi 9451  df-cnf 9603
This theorem is referenced by:  infxpenc2  9963
  Copyright terms: Public domain W3C validator