MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfcom3c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfcom3c 9739
Description: Wrap the construction of cnfcom3 9737 into an existential quantifier. For any ฯ‰ โІ ๐‘, there is a bijection from ๐‘ to some power of ฯ‰. Furthermore, this bijection is canonical , which means that we can find a single function ๐‘” which will give such bijections for every ๐‘ less than some arbitrarily large bound ๐ด. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnfcom3c (๐ด โˆˆ On โ†’ โˆƒ๐‘”โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ด (ฯ‰ โІ ๐‘ โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ (On โˆ– 1o)(๐‘”โ€˜๐‘):๐‘โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘ค)))
Distinct variable group:   ๐‘”,๐‘,๐‘ค,๐ด

Proof of Theorem cnfcom3c
Dummy variables ๐‘“ ๐‘˜ ๐‘ข ๐‘ฃ ๐‘ฅ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . 2 dom (ฯ‰ CNF ๐ด) = dom (ฯ‰ CNF ๐ด)
2 eqid 2728 . 2 (โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) = (โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)
3 eqid 2728 . 2 OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)) = OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))
4 eqid 2728 . 2 seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…) = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘ง โˆˆ V โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ง)), โˆ…)
5 eqid 2728 . 2 seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘“ โˆˆ V โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆˆ ((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) โ†ฆ (dom ๐‘“ +o ๐‘ฅ)) โˆช โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘“ โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ฅ)))), โˆ…) = seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘“ โˆˆ V โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆˆ ((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) โ†ฆ (dom ๐‘“ +o ๐‘ฅ)) โˆช โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘“ โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ฅ)))), โˆ…)
6 eqid 2728 . 2 ((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) = ((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)))
7 eqid 2728 . 2 ((๐‘ฅ โˆˆ ((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) โ†ฆ (dom ๐‘“ +o ๐‘ฅ)) โˆช โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘“ โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ฅ))) = ((๐‘ฅ โˆˆ ((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) โ†ฆ (dom ๐‘“ +o ๐‘ฅ)) โˆช โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘“ โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ฅ)))
8 eqid 2728 . 2 (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))) = (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))
9 eqid 2728 . 2 (๐‘ข โˆˆ ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) โ†ฆ ((((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) ยทo ๐‘ฃ) +o ๐‘ข)) = (๐‘ข โˆˆ ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) โ†ฆ ((((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) ยทo ๐‘ฃ) +o ๐‘ข))
10 eqid 2728 . 2 (๐‘ข โˆˆ ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) ยทo ๐‘ข) +o ๐‘ฃ)) = (๐‘ข โˆˆ ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) ยทo ๐‘ข) +o ๐‘ฃ))
11 eqid 2728 . 2 (((๐‘ข โˆˆ ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) โ†ฆ ((((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) ยทo ๐‘ฃ) +o ๐‘ข)) โˆ˜ โ—ก(๐‘ข โˆˆ ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) ยทo ๐‘ข) +o ๐‘ฃ))) โˆ˜ (seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘“ โˆˆ V โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆˆ ((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) โ†ฆ (dom ๐‘“ +o ๐‘ฅ)) โˆช โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘“ โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ฅ)))), โˆ…)โ€˜dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) = (((๐‘ข โˆˆ ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) โ†ฆ ((((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) ยทo ๐‘ฃ) +o ๐‘ข)) โˆ˜ โ—ก(๐‘ข โˆˆ ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) ยทo ๐‘ข) +o ๐‘ฃ))) โˆ˜ (seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘“ โˆˆ V โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆˆ ((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) โ†ฆ (dom ๐‘“ +o ๐‘ฅ)) โˆช โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘“ โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ฅ)))), โˆ…)โ€˜dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))))
12 eqid 2728 . 2 (๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ด) โ†ฆ (((๐‘ข โˆˆ ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) โ†ฆ ((((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) ยทo ๐‘ฃ) +o ๐‘ข)) โˆ˜ โ—ก(๐‘ข โˆˆ ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) ยทo ๐‘ข) +o ๐‘ฃ))) โˆ˜ (seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘“ โˆˆ V โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆˆ ((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) โ†ฆ (dom ๐‘“ +o ๐‘ฅ)) โˆช โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘“ โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ฅ)))), โˆ…)โ€˜dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))))) = (๐‘ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o ๐ด) โ†ฆ (((๐‘ข โˆˆ ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) โ†ฆ ((((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) ยทo ๐‘ฃ) +o ๐‘ข)) โˆ˜ โ—ก(๐‘ข โˆˆ ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))), ๐‘ฃ โˆˆ (ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜โˆช dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))) ยทo ๐‘ข) +o ๐‘ฃ))) โˆ˜ (seqฯ‰((๐‘˜ โˆˆ V, ๐‘“ โˆˆ V โ†ฆ ((๐‘ฅ โˆˆ ((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) โ†ฆ (dom ๐‘“ +o ๐‘ฅ)) โˆช โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ dom ๐‘“ โ†ฆ (((ฯ‰ โ†‘o (OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜)) ยทo ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘)โ€˜(OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…))โ€˜๐‘˜))) +o ๐‘ฅ)))), โˆ…)โ€˜dom OrdIso( E , ((โ—ก(ฯ‰ CNF ๐ด)โ€˜๐‘) supp โˆ…)))))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12cnfcom3clem 9738 1 (๐ด โˆˆ On โ†’ โˆƒ๐‘”โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ด (ฯ‰ โІ ๐‘ โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ (On โˆ– 1o)(๐‘”โ€˜๐‘):๐‘โ€“1-1-ontoโ†’(ฯ‰ โ†‘o ๐‘ค)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4  โˆƒwex 1773   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3058  โˆƒwrex 3067  Vcvv 3473   โˆ– cdif 3946   โˆช cun 3947   โІ wss 3949  โˆ…c0 4326  โˆช cuni 4912   โ†ฆ cmpt 5235   E cep 5585  โ—กccnv 5681  dom cdm 5682   โˆ˜ ccom 5686  Oncon0 6374  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6552  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   โˆˆ cmpo 7428  ฯ‰com 7878   supp csupp 8173  seqฯ‰cseqom 8476  1oc1o 8488   +o coa 8492   ยทo comu 8493   โ†‘o coe 8494  OrdIsocoi 9542   CNF ccnf 9694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-seqom 8477  df-1o 8495  df-2o 8496  df-oadd 8499  df-omul 8500  df-oexp 8501  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-oi 9543  df-cnf 9695
This theorem is referenced by:  infxpenc2  10055
  Copyright terms: Public domain W3C validator