Theorem subeq0d 11007

Description: If the difference between two numbers is zero, they are equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
subeq0d.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = 0)

Assertion

Ref	Expression
subeq0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem subeq0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subeq0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = 0)
2		negidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
3		pncand.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		subeq0 10914	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐵))
6	1, 5	mpbid 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  0cc0 10539   − cmin 10872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-ltxr 10682  df-sub 10874

This theorem is referenced by:  cru  11632  crre  14475  incexc  15194  bitsinv1lem  15792  4sqlem10  16285  xrsxmet  23419  zdis  23426  dveq0  24599  dvivthlem1  24607  efif1olem4  25131  dquartlem2  25432  lgsdirprm  25909  2sqmod  26014  ipasslem2  28611  dvasin  34980  dvacos  34981  congabseq  39578