Theorem efieq 16254

Description: The exponentials of two imaginary numbers are equal iff their sine and cosine components are equal. (Contributed by Paul Chapman, 15-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
efieq	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(i · 𝐵)) ↔ ((cos‘𝐴) = (cos‘𝐵) ∧ (sin‘𝐴) = (sin‘𝐵))))

Proof of Theorem efieq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11217	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recn 11217	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
3		efival 16243	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))
4		efival 16243	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐵)) = ((cos‘𝐵) + (i · (sin‘𝐵))))
5	3, 4	eqeqan12d 2774	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(i · 𝐵)) ↔ ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) = ((cos‘𝐵) + (i · (sin‘𝐵)))))
6	1, 2, 5	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(i · 𝐵)) ↔ ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) = ((cos‘𝐵) + (i · (sin‘𝐵)))))
7		recoscl 16232	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
8		resincl 16231	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
9	7, 8	jca 521	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℝ))
10		recoscl 16232	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (cos‘𝐵) ∈ ℝ)
11		resincl 16231	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (sin‘𝐵) ∈ ℝ)
12	10, 11	jca 521	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((cos‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐵) ∈ ℝ))
13		cru 12237	. . 3 ⊢ ((((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ ((cos‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐵) ∈ ℝ)) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) = ((cos‘𝐵) + (i · (sin‘𝐵))) ↔ ((cos‘𝐴) = (cos‘𝐵) ∧ (sin‘𝐴) = (sin‘𝐵))))
14	9, 12, 13	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) = ((cos‘𝐵) + (i · (sin‘𝐵))) ↔ ((cos‘𝐴) = (cos‘𝐵) ∧ (sin‘𝐴) = (sin‘𝐵))))
15	6, 14	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(i · 𝐵)) ↔ ((cos‘𝐴) = (cos‘𝐵) ∧ (sin‘𝐴) = (sin‘𝐵))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℂcc 11125  ℝcr 11126  ici 11129   + caddc 11130   · cmul 11132  expce 16150  sincsin 16152  cosccos 16153

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13046  df-ico 13407  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-fl 13856  df-seq 14069  df-exp 14129  df-fac 14341  df-hash 14398  df-shft 15143  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-limsup 15561  df-clim 15578  df-rlim 15579  df-sum 15777  df-ef 16156  df-sin 16158  df-cos 16159

This theorem is used by: (None)