Theorem efieq 16245

Description: The exponentials of two imaginary numbers are equal iff their sine and cosine components are equal. (Contributed by Paul Chapman, 15-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
efieq	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(i · 𝐵)) ↔ ((cos‘𝐴) = (cos‘𝐵) ∧ (sin‘𝐴) = (sin‘𝐵))))

Proof of Theorem efieq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11209	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recn 11209	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
3		efival 16234	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))
4		efival 16234	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐵)) = ((cos‘𝐵) + (i · (sin‘𝐵))))
5	3, 4	eqeqan12d 2779	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(i · 𝐵)) ↔ ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) = ((cos‘𝐵) + (i · (sin‘𝐵)))))
6	1, 2, 5	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(i · 𝐵)) ↔ ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) = ((cos‘𝐵) + (i · (sin‘𝐵)))))
7		recoscl 16223	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
8		resincl 16222	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
9	7, 8	jca 521	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℝ))
10		recoscl 16223	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (cos‘𝐵) ∈ ℝ)
11		resincl 16222	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (sin‘𝐵) ∈ ℝ)
12	10, 11	jca 521	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((cos‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐵) ∈ ℝ))
13		cru 12229	. . 3 ⊢ ((((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ ((cos‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐵) ∈ ℝ)) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) = ((cos‘𝐵) + (i · (sin‘𝐵))) ↔ ((cos‘𝐴) = (cos‘𝐵) ∧ (sin‘𝐴) = (sin‘𝐵))))
14	9, 12, 13	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) = ((cos‘𝐵) + (i · (sin‘𝐵))) ↔ ((cos‘𝐴) = (cos‘𝐵) ∧ (sin‘𝐴) = (sin‘𝐵))))
15	6, 14	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(i · 𝐵)) ↔ ((cos‘𝐴) = (cos‘𝐵) ∧ (sin‘𝐴) = (sin‘𝐵))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11117  ℝcr 11118  ici 11121   + caddc 11122   · cmul 11124  expce 16141  sincsin 16143  cosccos 16144

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196  ax-pre-sup 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11891  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12883  df-rp 13037  df-ico 13398  df-fz 13556  df-fzo 13704  df-fl 13847  df-seq 14060  df-exp 14120  df-fac 14332  df-hash 14389  df-shft 15132  df-cj 15178  df-re 15179  df-im 15180  df-sqrt 15314  df-abs 15315  df-limsup 15550  df-clim 15567  df-rlim 15568  df-sum 15766  df-ef 16147  df-sin 16149  df-cos 16150

This theorem is used by: (None)