Theorem efieq 16219

Description: The exponentials of two imaginary numbers are equal iff their sine and cosine components are equal. (Contributed by Paul Chapman, 15-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
efieq	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(i · 𝐵)) ↔ ((cos‘𝐴) = (cos‘𝐵) ∧ (sin‘𝐴) = (sin‘𝐵))))

Proof of Theorem efieq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11190	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recn 11190	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
3		efival 16208	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))
4		efival 16208	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐵)) = ((cos‘𝐵) + (i · (sin‘𝐵))))
5	3, 4	eqeqan12d 2783	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(i · 𝐵)) ↔ ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) = ((cos‘𝐵) + (i · (sin‘𝐵)))))
6	1, 2, 5	syl2an 607	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(i · 𝐵)) ↔ ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) = ((cos‘𝐵) + (i · (sin‘𝐵)))))
7		recoscl 16197	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
8		resincl 16196	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
9	7, 8	jca 520	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℝ))
10		recoscl 16197	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (cos‘𝐵) ∈ ℝ)
11		resincl 16196	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (sin‘𝐵) ∈ ℝ)
12	10, 11	jca 520	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((cos‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐵) ∈ ℝ))
13		cru 12210	. . 3 ⊢ ((((cos‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ ((cos‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐵) ∈ ℝ)) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) = ((cos‘𝐵) + (i · (sin‘𝐵))) ↔ ((cos‘𝐴) = (cos‘𝐵) ∧ (sin‘𝐴) = (sin‘𝐵))))
14	9, 12, 13	syl2an 607	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) = ((cos‘𝐵) + (i · (sin‘𝐵))) ↔ ((cos‘𝐴) = (cos‘𝐵) ∧ (sin‘𝐴) = (sin‘𝐵))))
15	6, 14	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((exp‘(i · 𝐴)) = (exp‘(i · 𝐵)) ↔ ((cos‘𝐴) = (cos‘𝐵) ∧ (sin‘𝐴) = (sin‘𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  ℝcr 11099  ici 11102   + caddc 11103   · cmul 11105  expce 16115  sincsin 16117  cosccos 16118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-ico 13378  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-seq 14038  df-exp 14098  df-fac 14310  df-hash 14367  df-shft 15104  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-limsup 15522  df-clim 15539  df-rlim 15540  df-sum 15738  df-ef 16121  df-sin 16123  df-cos 16124

This theorem is referenced by: (None)