Theorem cvmcov2 35638

Description: The covering map property can be restricted to an open subset. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cvmcov.1	⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})

Assertion

Ref	Expression
cvmcov2	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑈(𝑃 ∈ 𝑥 ∧ (𝑆‘𝑥) ≠ ∅))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝐶   𝑘,𝐹,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥   𝑃,𝑘,𝑥   𝑘,𝐽,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥   𝑥,𝑆   𝑈,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑣,𝑢,𝑠)   𝑆(𝑣,𝑢,𝑘,𝑠)

Proof of Theorem cvmcov2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1152	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
2		simp3 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) → 𝑃 ∈ 𝑈)
3		simp2 1153	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝐽)
4		elunii 4873	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑈 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽) → 𝑃 ∈ ∪ 𝐽)
5	2, 3, 4	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) → 𝑃 ∈ ∪ 𝐽)
6		cvmcov.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})
7		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
8	6, 7	cvmcov 35626	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽) → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝑆‘𝑦) ≠ ∅))
9	1, 5, 8	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝑆‘𝑦) ≠ ∅))
10		inss2 4192	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈
11		vex 3461	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
12	11	inex1 5278	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∩ 𝑈) ∈ V
13	12	elpw 4562	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∩ 𝑈) ∈ 𝒫 𝑈 ↔ (𝑦 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈)
14	10, 13	mpbir 234	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∩ 𝑈) ∈ 𝒫 𝑈
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝑆‘𝑦) ≠ ∅))) → (𝑦 ∩ 𝑈) ∈ 𝒫 𝑈)
16		simprrl 792	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝑆‘𝑦) ≠ ∅))) → 𝑃 ∈ 𝑦)
17	2	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝑆‘𝑦) ≠ ∅))) → 𝑃 ∈ 𝑈)
18	16, 17	elind 4155	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝑆‘𝑦) ≠ ∅))) → 𝑃 ∈ (𝑦 ∩ 𝑈))
19		simprrr 793	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝑆‘𝑦) ≠ ∅))) → (𝑆‘𝑦) ≠ ∅)
20	1	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝑆‘𝑦) ≠ ∅))) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
21		cvmtop2 35624	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
22	20, 21	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝑆‘𝑦) ≠ ∅))) → 𝐽 ∈ Top)
23		simprl 782	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝑆‘𝑦) ≠ ∅))) → 𝑦 ∈ 𝐽)
24	3	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝑆‘𝑦) ≠ ∅))) → 𝑈 ∈ 𝐽)
25		inopn 23017	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽) → (𝑦 ∩ 𝑈) ∈ 𝐽)
26	22, 23, 24, 25	syl3anc 1394	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝑆‘𝑦) ≠ ∅))) → (𝑦 ∩ 𝑈) ∈ 𝐽)
27		inss1 4191	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑦
28	27	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝑆‘𝑦) ≠ ∅))) → (𝑦 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑦)
29	6	cvmsss2 35637	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ (𝑦 ∩ 𝑈) ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑦) → ((𝑆‘𝑦) ≠ ∅ → (𝑆‘(𝑦 ∩ 𝑈)) ≠ ∅))
30	20, 26, 28, 29	syl3anc 1394	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝑆‘𝑦) ≠ ∅))) → ((𝑆‘𝑦) ≠ ∅ → (𝑆‘(𝑦 ∩ 𝑈)) ≠ ∅))
31	19, 30	mpd 16	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝑆‘𝑦) ≠ ∅))) → (𝑆‘(𝑦 ∩ 𝑈)) ≠ ∅)
32		eleq2 2854	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∩ 𝑈) → (𝑃 ∈ 𝑥 ↔ 𝑃 ∈ (𝑦 ∩ 𝑈)))
33		fveq2 6871	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∩ 𝑈) → (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘(𝑦 ∩ 𝑈)))
34	33	neeq1d 3019	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∩ 𝑈) → ((𝑆‘𝑥) ≠ ∅ ↔ (𝑆‘(𝑦 ∩ 𝑈)) ≠ ∅))
35	32, 34	anbi12d 643	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∩ 𝑈) → ((𝑃 ∈ 𝑥 ∧ (𝑆‘𝑥) ≠ ∅) ↔ (𝑃 ∈ (𝑦 ∩ 𝑈) ∧ (𝑆‘(𝑦 ∩ 𝑈)) ≠ ∅)))
36	35	rspcev 3584	. . 3 ⊢ (((𝑦 ∩ 𝑈) ∈ 𝒫 𝑈 ∧ (𝑃 ∈ (𝑦 ∩ 𝑈) ∧ (𝑆‘(𝑦 ∩ 𝑈)) ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑈(𝑃 ∈ 𝑥 ∧ (𝑆‘𝑥) ≠ ∅))
37	15, 18, 31, 36	syl12anc 849	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝑆‘𝑦) ≠ ∅))) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑈(𝑃 ∈ 𝑥 ∧ (𝑆‘𝑥) ≠ ∅))
38	9, 37	rexlimddv 3172	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑈(𝑃 ∈ 𝑥 ∧ (𝑆‘𝑥) ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  {crab 3417   ∖ cdif 3904   ∩ cin 3906   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288  𝒫 cpw 4558  {csn 4585  ∪ cuni 4868   ↦ cmpt 5186  ^◡ccnv 5651   ↾ cres 5654   “ cima 5655  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ↾_t crest 17463  Topctop 23011  Homeochmeo 23871   CovMap ccvm 35618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-map 8814  df-en 8932  df-fin 8935  df-fi 9359  df-rest 17465  df-topgen 17486  df-top 23012  df-topon 23029  df-bases 23064  df-cn 23345  df-hmeo 23873  df-cvm 35619

This theorem is referenced by: (None)