Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmcov2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmcov2 34890
Description: The covering map property can be restricted to an open subset. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cvmcov.1 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
Assertion
Ref Expression
cvmcov2 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑈(𝑃𝑥 ∧ (𝑆𝑥) ≠ ∅))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝐶   𝑘,𝐹,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥   𝑃,𝑘,𝑥   𝑘,𝐽,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥   𝑥,𝑆   𝑈,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑣,𝑢,𝑠)   𝑆(𝑣,𝑢,𝑘,𝑠)

Proof of Theorem cvmcov2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
2 simp3 1135 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) → 𝑃𝑈)
3 simp2 1134 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) → 𝑈𝐽)
4 elunii 4915 . . . 4 ((𝑃𝑈𝑈𝐽) → 𝑃 𝐽)
52, 3, 4syl2anc 582 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) → 𝑃 𝐽)
6 cvmcov.1 . . . 4 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
7 eqid 2727 . . . 4 𝐽 = 𝐽
86, 7cvmcov 34878 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑃 𝐽) → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))
91, 5, 8syl2anc 582 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))
10 inss2 4230 . . . . 5 (𝑦𝑈) ⊆ 𝑈
11 vex 3475 . . . . . . 7 𝑦 ∈ V
1211inex1 5319 . . . . . 6 (𝑦𝑈) ∈ V
1312elpw 4608 . . . . 5 ((𝑦𝑈) ∈ 𝒫 𝑈 ↔ (𝑦𝑈) ⊆ 𝑈)
1410, 13mpbir 230 . . . 4 (𝑦𝑈) ∈ 𝒫 𝑈
1514a1i 11 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → (𝑦𝑈) ∈ 𝒫 𝑈)
16 simprrl 779 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → 𝑃𝑦)
172adantr 479 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → 𝑃𝑈)
1816, 17elind 4194 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → 𝑃 ∈ (𝑦𝑈))
19 simprrr 780 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → (𝑆𝑦) ≠ ∅)
201adantr 479 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
21 cvmtop2 34876 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
2220, 21syl 17 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → 𝐽 ∈ Top)
23 simprl 769 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → 𝑦𝐽)
243adantr 479 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → 𝑈𝐽)
25 inopn 22819 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑦𝐽𝑈𝐽) → (𝑦𝑈) ∈ 𝐽)
2622, 23, 24, 25syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → (𝑦𝑈) ∈ 𝐽)
27 inss1 4229 . . . . . 6 (𝑦𝑈) ⊆ 𝑦
2827a1i 11 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → (𝑦𝑈) ⊆ 𝑦)
296cvmsss2 34889 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ (𝑦𝑈) ∈ 𝐽 ∧ (𝑦𝑈) ⊆ 𝑦) → ((𝑆𝑦) ≠ ∅ → (𝑆‘(𝑦𝑈)) ≠ ∅))
3020, 26, 28, 29syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → ((𝑆𝑦) ≠ ∅ → (𝑆‘(𝑦𝑈)) ≠ ∅))
3119, 30mpd 15 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → (𝑆‘(𝑦𝑈)) ≠ ∅)
32 eleq2 2817 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦𝑈) → (𝑃𝑥𝑃 ∈ (𝑦𝑈)))
33 fveq2 6900 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦𝑈) → (𝑆𝑥) = (𝑆‘(𝑦𝑈)))
3433neeq1d 2996 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦𝑈) → ((𝑆𝑥) ≠ ∅ ↔ (𝑆‘(𝑦𝑈)) ≠ ∅))
3532, 34anbi12d 630 . . . 4 (𝑥 = (𝑦𝑈) → ((𝑃𝑥 ∧ (𝑆𝑥) ≠ ∅) ↔ (𝑃 ∈ (𝑦𝑈) ∧ (𝑆‘(𝑦𝑈)) ≠ ∅)))
3635rspcev 3609 . . 3 (((𝑦𝑈) ∈ 𝒫 𝑈 ∧ (𝑃 ∈ (𝑦𝑈) ∧ (𝑆‘(𝑦𝑈)) ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑈(𝑃𝑥 ∧ (𝑆𝑥) ≠ ∅))
3715, 18, 31, 36syl12anc 835 . 2 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑈(𝑃𝑥 ∧ (𝑆𝑥) ≠ ∅))
389, 37rexlimddv 3157 1 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑈(𝑃𝑥 ∧ (𝑆𝑥) ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2936  wral 3057  wrex 3066  {crab 3428  cdif 3944  cin 3946  wss 3947  c0 4324  𝒫 cpw 4604  {csn 4630   cuni 4910  cmpt 5233  ccnv 5679  cres 5682  cima 5683  cfv 6551  (class class class)co 7424  t crest 17407  Topctop 22813  Homeochmeo 23675   CovMap ccvm 34870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-map 8851  df-en 8969  df-fin 8972  df-fi 9440  df-rest 17409  df-topgen 17430  df-top 22814  df-topon 22831  df-bases 22867  df-cn 23149  df-hmeo 23677  df-cvm 34871
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator