Theorem cvmcov2 36126

Description: The covering map property can be restricted to an open subset. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cvmcov.1	⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})

Assertion

Ref	Expression
cvmcov2	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑈(𝑃 ∈ 𝑥 ∧ (𝑆‘𝑥) ≠ ∅))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝐶   𝑘,𝐹,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥   𝑃,𝑘,𝑥   𝑘,𝐽,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥   𝑥,𝑆   𝑈,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑣, 𝑢, 𝑠)   𝑆(𝑣, 𝑢, 𝑘, 𝑠)

Proof of Theorem cvmcov2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
2		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) → 𝑃 ∈ 𝑈)
3		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝐽)
4		elunii 4871	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑈 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽) → 𝑃 ∈ ∪ 𝐽)
5	2, 3, 4	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) → 𝑃 ∈ ∪ 𝐽)
6		cvmcov.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})
7		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
8	6, 7	cvmcov 36114	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽) → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝑆‘𝑦) ≠ ∅))
9	1, 5, 8	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝑆‘𝑦) ≠ ∅))
10		inss2 4134	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈
11		vex 3454	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
12	11	inex1 5276	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∩ 𝑈) ∈ V
13	12	elpw 4560	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∩ 𝑈) ∈ 𝒫 𝑈 ↔ (𝑦 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈)
14	10, 13	mpbir 234	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∩ 𝑈) ∈ 𝒫 𝑈
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝑆‘𝑦) ≠ ∅))) → (𝑦 ∩ 𝑈) ∈ 𝒫 𝑈)
16		simprrl 793	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝑆‘𝑦) ≠ ∅))) → 𝑃 ∈ 𝑦)
17	2	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝑆‘𝑦) ≠ ∅))) → 𝑃 ∈ 𝑈)
18	16, 17	elind 4097	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝑆‘𝑦) ≠ ∅))) → 𝑃 ∈ (𝑦 ∩ 𝑈))
19		simprrr 794	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝑆‘𝑦) ≠ ∅))) → (𝑆‘𝑦) ≠ ∅)
20	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝑆‘𝑦) ≠ ∅))) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
21		cvmtop2 36112	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
22	20, 21	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝑆‘𝑦) ≠ ∅))) → 𝐽 ∈ Top)
23		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝑆‘𝑦) ≠ ∅))) → 𝑦 ∈ 𝐽)
24	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝑆‘𝑦) ≠ ∅))) → 𝑈 ∈ 𝐽)
25		inopn 23222	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽) → (𝑦 ∩ 𝑈) ∈ 𝐽)
26	22, 23, 24, 25	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝑆‘𝑦) ≠ ∅))) → (𝑦 ∩ 𝑈) ∈ 𝐽)
27		inss1 4133	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑦
28	27	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝑆‘𝑦) ≠ ∅))) → (𝑦 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑦)
29	6	cvmsss2 36125	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ (𝑦 ∩ 𝑈) ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑦) → ((𝑆‘𝑦) ≠ ∅ → (𝑆‘(𝑦 ∩ 𝑈)) ≠ ∅))
30	20, 26, 28, 29	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝑆‘𝑦) ≠ ∅))) → ((𝑆‘𝑦) ≠ ∅ → (𝑆‘(𝑦 ∩ 𝑈)) ≠ ∅))
31	19, 30	mpd 16	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝑆‘𝑦) ≠ ∅))) → (𝑆‘(𝑦 ∩ 𝑈)) ≠ ∅)
32		eleq2 2849	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∩ 𝑈) → (𝑃 ∈ 𝑥 ↔ 𝑃 ∈ (𝑦 ∩ 𝑈)))
33		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∩ 𝑈) → (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘(𝑦 ∩ 𝑈)))
34	33	neeq1d 3014	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∩ 𝑈) → ((𝑆‘𝑥) ≠ ∅ ↔ (𝑆‘(𝑦 ∩ 𝑈)) ≠ ∅))
35	32, 34	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∩ 𝑈) → ((𝑃 ∈ 𝑥 ∧ (𝑆‘𝑥) ≠ ∅) ↔ (𝑃 ∈ (𝑦 ∩ 𝑈) ∧ (𝑆‘(𝑦 ∩ 𝑈)) ≠ ∅)))
36	35	rspcev 3576	. . 3 ⊢ (((𝑦 ∩ 𝑈) ∈ 𝒫 𝑈 ∧ (𝑃 ∈ (𝑦 ∩ 𝑈) ∧ (𝑆‘(𝑦 ∩ 𝑈)) ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑈(𝑃 ∈ 𝑥 ∧ (𝑆‘𝑥) ≠ ∅))
37	15, 18, 31, 36	syl12anc 850	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝑆‘𝑦) ≠ ∅))) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑈(𝑃 ∈ 𝑥 ∧ (𝑆‘𝑥) ≠ ∅))
38	9, 37	rexlimddv 3169	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑈(𝑃 ∈ 𝑥 ∧ (𝑆‘𝑥) ≠ ∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045   ∩ cin 4089  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556  {csn 4584  ∪ cuni 4866   ↦ cmpt 5185  ^◡ccnv 5649   ↾ cres 5652   “ cima 5653  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↾_t crest 17596  Topctop 23216  Homeochmeo 24077   CovMap ccvm 36106

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-map 8852  df-en 8977  df-fin 8980  df-fi 9406  df-rest 17598  df-topgen 17619  df-top 23217  df-topon 23234  df-bases 23269  df-cn 23550  df-hmeo 24079  df-cvm 36107

This theorem is used by: (None)