Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmcov2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmcov2 33869
Description: The covering map property can be restricted to an open subset. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cvmcov.1 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
Assertion
Ref Expression
cvmcov2 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑈(𝑃𝑥 ∧ (𝑆𝑥) ≠ ∅))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝐶   𝑘,𝐹,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥   𝑃,𝑘,𝑥   𝑘,𝐽,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥   𝑥,𝑆   𝑈,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑣,𝑢,𝑠)   𝑆(𝑣,𝑢,𝑘,𝑠)

Proof of Theorem cvmcov2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
2 simp3 1138 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) → 𝑃𝑈)
3 simp2 1137 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) → 𝑈𝐽)
4 elunii 4870 . . . 4 ((𝑃𝑈𝑈𝐽) → 𝑃 𝐽)
52, 3, 4syl2anc 584 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) → 𝑃 𝐽)
6 cvmcov.1 . . . 4 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
7 eqid 2736 . . . 4 𝐽 = 𝐽
86, 7cvmcov 33857 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑃 𝐽) → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))
91, 5, 8syl2anc 584 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))
10 inss2 4189 . . . . 5 (𝑦𝑈) ⊆ 𝑈
11 vex 3449 . . . . . . 7 𝑦 ∈ V
1211inex1 5274 . . . . . 6 (𝑦𝑈) ∈ V
1312elpw 4564 . . . . 5 ((𝑦𝑈) ∈ 𝒫 𝑈 ↔ (𝑦𝑈) ⊆ 𝑈)
1410, 13mpbir 230 . . . 4 (𝑦𝑈) ∈ 𝒫 𝑈
1514a1i 11 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → (𝑦𝑈) ∈ 𝒫 𝑈)
16 simprrl 779 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → 𝑃𝑦)
172adantr 481 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → 𝑃𝑈)
1816, 17elind 4154 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → 𝑃 ∈ (𝑦𝑈))
19 simprrr 780 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → (𝑆𝑦) ≠ ∅)
201adantr 481 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
21 cvmtop2 33855 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
2220, 21syl 17 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → 𝐽 ∈ Top)
23 simprl 769 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → 𝑦𝐽)
243adantr 481 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → 𝑈𝐽)
25 inopn 22248 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑦𝐽𝑈𝐽) → (𝑦𝑈) ∈ 𝐽)
2622, 23, 24, 25syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → (𝑦𝑈) ∈ 𝐽)
27 inss1 4188 . . . . . 6 (𝑦𝑈) ⊆ 𝑦
2827a1i 11 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → (𝑦𝑈) ⊆ 𝑦)
296cvmsss2 33868 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ (𝑦𝑈) ∈ 𝐽 ∧ (𝑦𝑈) ⊆ 𝑦) → ((𝑆𝑦) ≠ ∅ → (𝑆‘(𝑦𝑈)) ≠ ∅))
3020, 26, 28, 29syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → ((𝑆𝑦) ≠ ∅ → (𝑆‘(𝑦𝑈)) ≠ ∅))
3119, 30mpd 15 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → (𝑆‘(𝑦𝑈)) ≠ ∅)
32 eleq2 2826 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦𝑈) → (𝑃𝑥𝑃 ∈ (𝑦𝑈)))
33 fveq2 6842 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦𝑈) → (𝑆𝑥) = (𝑆‘(𝑦𝑈)))
3433neeq1d 3003 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦𝑈) → ((𝑆𝑥) ≠ ∅ ↔ (𝑆‘(𝑦𝑈)) ≠ ∅))
3532, 34anbi12d 631 . . . 4 (𝑥 = (𝑦𝑈) → ((𝑃𝑥 ∧ (𝑆𝑥) ≠ ∅) ↔ (𝑃 ∈ (𝑦𝑈) ∧ (𝑆‘(𝑦𝑈)) ≠ ∅)))
3635rspcev 3581 . . 3 (((𝑦𝑈) ∈ 𝒫 𝑈 ∧ (𝑃 ∈ (𝑦𝑈) ∧ (𝑆‘(𝑦𝑈)) ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑈(𝑃𝑥 ∧ (𝑆𝑥) ≠ ∅))
3715, 18, 31, 36syl12anc 835 . 2 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑈(𝑃𝑥 ∧ (𝑆𝑥) ≠ ∅))
389, 37rexlimddv 3158 1 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑈(𝑃𝑥 ∧ (𝑆𝑥) ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  cdif 3907  cin 3909  wss 3910  c0 4282  𝒫 cpw 4560  {csn 4586   cuni 4865  cmpt 5188  ccnv 5632  cres 5635  cima 5636  cfv 6496  (class class class)co 7357  t crest 17302  Topctop 22242  Homeochmeo 23104   CovMap ccvm 33849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-map 8767  df-en 8884  df-fin 8887  df-fi 9347  df-rest 17304  df-topgen 17325  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-cn 22578  df-hmeo 23106  df-cvm 33850
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator