Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmcov2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmcov2 32067
Description: The covering map property can be restricted to an open subset. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cvmcov.1 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
Assertion
Ref Expression
cvmcov2 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑈(𝑃𝑥 ∧ (𝑆𝑥) ≠ ∅))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝐶   𝑘,𝐹,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥   𝑃,𝑘,𝑥   𝑘,𝐽,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥   𝑥,𝑆   𝑈,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑣,𝑢,𝑠)   𝑆(𝑣,𝑢,𝑘,𝑠)

Proof of Theorem cvmcov2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1116 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
2 simp3 1118 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) → 𝑃𝑈)
3 simp2 1117 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) → 𝑈𝐽)
4 elunii 4711 . . . 4 ((𝑃𝑈𝑈𝐽) → 𝑃 𝐽)
52, 3, 4syl2anc 576 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) → 𝑃 𝐽)
6 cvmcov.1 . . . 4 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
7 eqid 2772 . . . 4 𝐽 = 𝐽
86, 7cvmcov 32055 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑃 𝐽) → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))
91, 5, 8syl2anc 576 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))
10 inss2 4088 . . . . 5 (𝑦𝑈) ⊆ 𝑈
11 vex 3412 . . . . . . 7 𝑦 ∈ V
1211inex1 5072 . . . . . 6 (𝑦𝑈) ∈ V
1312elpw 4422 . . . . 5 ((𝑦𝑈) ∈ 𝒫 𝑈 ↔ (𝑦𝑈) ⊆ 𝑈)
1410, 13mpbir 223 . . . 4 (𝑦𝑈) ∈ 𝒫 𝑈
1514a1i 11 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → (𝑦𝑈) ∈ 𝒫 𝑈)
16 simprrl 768 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → 𝑃𝑦)
172adantr 473 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → 𝑃𝑈)
1816, 17elind 4055 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → 𝑃 ∈ (𝑦𝑈))
19 simprrr 769 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → (𝑆𝑦) ≠ ∅)
201adantr 473 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
21 cvmtop2 32053 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
2220, 21syl 17 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → 𝐽 ∈ Top)
23 simprl 758 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → 𝑦𝐽)
243adantr 473 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → 𝑈𝐽)
25 inopn 21201 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑦𝐽𝑈𝐽) → (𝑦𝑈) ∈ 𝐽)
2622, 23, 24, 25syl3anc 1351 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → (𝑦𝑈) ∈ 𝐽)
27 inss1 4087 . . . . . 6 (𝑦𝑈) ⊆ 𝑦
2827a1i 11 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → (𝑦𝑈) ⊆ 𝑦)
296cvmsss2 32066 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ (𝑦𝑈) ∈ 𝐽 ∧ (𝑦𝑈) ⊆ 𝑦) → ((𝑆𝑦) ≠ ∅ → (𝑆‘(𝑦𝑈)) ≠ ∅))
3020, 26, 28, 29syl3anc 1351 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → ((𝑆𝑦) ≠ ∅ → (𝑆‘(𝑦𝑈)) ≠ ∅))
3119, 30mpd 15 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → (𝑆‘(𝑦𝑈)) ≠ ∅)
32 eleq2 2848 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦𝑈) → (𝑃𝑥𝑃 ∈ (𝑦𝑈)))
33 fveq2 6493 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦𝑈) → (𝑆𝑥) = (𝑆‘(𝑦𝑈)))
3433neeq1d 3020 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦𝑈) → ((𝑆𝑥) ≠ ∅ ↔ (𝑆‘(𝑦𝑈)) ≠ ∅))
3532, 34anbi12d 621 . . . 4 (𝑥 = (𝑦𝑈) → ((𝑃𝑥 ∧ (𝑆𝑥) ≠ ∅) ↔ (𝑃 ∈ (𝑦𝑈) ∧ (𝑆‘(𝑦𝑈)) ≠ ∅)))
3635rspcev 3529 . . 3 (((𝑦𝑈) ∈ 𝒫 𝑈 ∧ (𝑃 ∈ (𝑦𝑈) ∧ (𝑆‘(𝑦𝑈)) ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑈(𝑃𝑥 ∧ (𝑆𝑥) ≠ ∅))
3715, 18, 31, 36syl12anc 824 . 2 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑈(𝑃𝑥 ∧ (𝑆𝑥) ≠ ∅))
389, 37rexlimddv 3230 1 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑈(𝑃𝑥 ∧ (𝑆𝑥) ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2048  wne 2961  wral 3082  wrex 3083  {crab 3086  cdif 3822  cin 3824  wss 3825  c0 4173  𝒫 cpw 4416  {csn 4435   cuni 4706  cmpt 5002  ccnv 5399  cres 5402  cima 5403  cfv 6182  (class class class)co 6970  t crest 16540  Topctop 21195  Homeochmeo 22055   CovMap ccvm 32047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-oadd 7901  df-er 8081  df-map 8200  df-en 8299  df-fin 8302  df-fi 8662  df-rest 16542  df-topgen 16563  df-top 21196  df-topon 21213  df-bases 21248  df-cn 21529  df-hmeo 22057  df-cvm 32048
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator