Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmcov2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmcov2 35260
Description: The covering map property can be restricted to an open subset. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cvmcov.1 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
Assertion
Ref Expression
cvmcov2 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑈(𝑃𝑥 ∧ (𝑆𝑥) ≠ ∅))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝐶   𝑘,𝐹,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥   𝑃,𝑘,𝑥   𝑘,𝐽,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥   𝑥,𝑆   𝑈,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑣,𝑢,𝑠)   𝑆(𝑣,𝑢,𝑘,𝑠)

Proof of Theorem cvmcov2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
2 simp3 1137 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) → 𝑃𝑈)
3 simp2 1136 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) → 𝑈𝐽)
4 elunii 4917 . . . 4 ((𝑃𝑈𝑈𝐽) → 𝑃 𝐽)
52, 3, 4syl2anc 584 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) → 𝑃 𝐽)
6 cvmcov.1 . . . 4 𝑆 = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
7 eqid 2735 . . . 4 𝐽 = 𝐽
86, 7cvmcov 35248 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑃 𝐽) → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))
91, 5, 8syl2anc 584 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) → ∃𝑦𝐽 (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))
10 inss2 4246 . . . . 5 (𝑦𝑈) ⊆ 𝑈
11 vex 3482 . . . . . . 7 𝑦 ∈ V
1211inex1 5323 . . . . . 6 (𝑦𝑈) ∈ V
1312elpw 4609 . . . . 5 ((𝑦𝑈) ∈ 𝒫 𝑈 ↔ (𝑦𝑈) ⊆ 𝑈)
1410, 13mpbir 231 . . . 4 (𝑦𝑈) ∈ 𝒫 𝑈
1514a1i 11 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → (𝑦𝑈) ∈ 𝒫 𝑈)
16 simprrl 781 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → 𝑃𝑦)
172adantr 480 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → 𝑃𝑈)
1816, 17elind 4210 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → 𝑃 ∈ (𝑦𝑈))
19 simprrr 782 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → (𝑆𝑦) ≠ ∅)
201adantr 480 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
21 cvmtop2 35246 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
2220, 21syl 17 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → 𝐽 ∈ Top)
23 simprl 771 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → 𝑦𝐽)
243adantr 480 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → 𝑈𝐽)
25 inopn 22921 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑦𝐽𝑈𝐽) → (𝑦𝑈) ∈ 𝐽)
2622, 23, 24, 25syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → (𝑦𝑈) ∈ 𝐽)
27 inss1 4245 . . . . . 6 (𝑦𝑈) ⊆ 𝑦
2827a1i 11 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → (𝑦𝑈) ⊆ 𝑦)
296cvmsss2 35259 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ (𝑦𝑈) ∈ 𝐽 ∧ (𝑦𝑈) ⊆ 𝑦) → ((𝑆𝑦) ≠ ∅ → (𝑆‘(𝑦𝑈)) ≠ ∅))
3020, 26, 28, 29syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → ((𝑆𝑦) ≠ ∅ → (𝑆‘(𝑦𝑈)) ≠ ∅))
3119, 30mpd 15 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → (𝑆‘(𝑦𝑈)) ≠ ∅)
32 eleq2 2828 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦𝑈) → (𝑃𝑥𝑃 ∈ (𝑦𝑈)))
33 fveq2 6907 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦𝑈) → (𝑆𝑥) = (𝑆‘(𝑦𝑈)))
3433neeq1d 2998 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦𝑈) → ((𝑆𝑥) ≠ ∅ ↔ (𝑆‘(𝑦𝑈)) ≠ ∅))
3532, 34anbi12d 632 . . . 4 (𝑥 = (𝑦𝑈) → ((𝑃𝑥 ∧ (𝑆𝑥) ≠ ∅) ↔ (𝑃 ∈ (𝑦𝑈) ∧ (𝑆‘(𝑦𝑈)) ≠ ∅)))
3635rspcev 3622 . . 3 (((𝑦𝑈) ∈ 𝒫 𝑈 ∧ (𝑃 ∈ (𝑦𝑈) ∧ (𝑆‘(𝑦𝑈)) ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑈(𝑃𝑥 ∧ (𝑆𝑥) ≠ ∅))
3715, 18, 31, 36syl12anc 837 . 2 (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) ∧ (𝑦𝐽 ∧ (𝑃𝑦 ∧ (𝑆𝑦) ≠ ∅))) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑈(𝑃𝑥 ∧ (𝑆𝑥) ≠ ∅))
389, 37rexlimddv 3159 1 ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈𝐽𝑃𝑈) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑈(𝑃𝑥 ∧ (𝑆𝑥) ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  {crab 3433  cdif 3960  cin 3962  wss 3963  c0 4339  𝒫 cpw 4605  {csn 4631   cuni 4912  cmpt 5231  ccnv 5688  cres 5691  cima 5692  cfv 6563  (class class class)co 7431  t crest 17467  Topctop 22915  Homeochmeo 23777   CovMap ccvm 35240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-map 8867  df-en 8985  df-fin 8988  df-fi 9449  df-rest 17469  df-topgen 17490  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-cn 23251  df-hmeo 23779  df-cvm 35241
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator