Theorem cvmcov2 35589

Description: The covering map property can be restricted to an open subset. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cvmcov.1	⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})

Assertion

Ref	Expression
cvmcov2	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑈(𝑃 ∈ 𝑥 ∧ (𝑆‘𝑥) ≠ ∅))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝐶   𝑘,𝐹,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥   𝑃,𝑘,𝑥   𝑘,𝐽,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥   𝑥,𝑆   𝑈,𝑘,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑣,𝑢,𝑠)   𝑆(𝑣,𝑢,𝑘,𝑠)

Proof of Theorem cvmcov2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1148	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
2		simp3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) → 𝑃 ∈ 𝑈)
3		simp2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝐽)
4		elunii 4869	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑈 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽) → 𝑃 ∈ ∪ 𝐽)
5	2, 3, 4	syl2anc 593	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) → 𝑃 ∈ ∪ 𝐽)
6		cvmcov.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑘 ∈ 𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ (∪ 𝑠 = (◡𝐹 “ 𝑘) ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢 ∩ 𝑣) = ∅ ∧ (𝐹 ↾ 𝑢) ∈ ((𝐶 ↾t 𝑢)Homeo(𝐽 ↾t 𝑘))))})
7		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
8	6, 7	cvmcov 35577	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑃 ∈ ∪ 𝐽) → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝑆‘𝑦) ≠ ∅))
9	1, 5, 8	syl2anc 593	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝑆‘𝑦) ≠ ∅))
10		inss2 4189	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈
11		vex 3457	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
12	11	inex1 5272	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∩ 𝑈) ∈ V
13	12	elpw 4558	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∩ 𝑈) ∈ 𝒫 𝑈 ↔ (𝑦 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈)
14	10, 13	mpbir 233	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∩ 𝑈) ∈ 𝒫 𝑈
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝑆‘𝑦) ≠ ∅))) → (𝑦 ∩ 𝑈) ∈ 𝒫 𝑈)
16		simprrl 790	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝑆‘𝑦) ≠ ∅))) → 𝑃 ∈ 𝑦)
17	2	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝑆‘𝑦) ≠ ∅))) → 𝑃 ∈ 𝑈)
18	16, 17	elind 4152	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝑆‘𝑦) ≠ ∅))) → 𝑃 ∈ (𝑦 ∩ 𝑈))
19		simprrr 791	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝑆‘𝑦) ≠ ∅))) → (𝑆‘𝑦) ≠ ∅)
20	1	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝑆‘𝑦) ≠ ∅))) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
21		cvmtop2 35575	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
22	20, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝑆‘𝑦) ≠ ∅))) → 𝐽 ∈ Top)
23		simprl 780	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝑆‘𝑦) ≠ ∅))) → 𝑦 ∈ 𝐽)
24	3	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝑆‘𝑦) ≠ ∅))) → 𝑈 ∈ 𝐽)
25		inopn 22939	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽) → (𝑦 ∩ 𝑈) ∈ 𝐽)
26	22, 23, 24, 25	syl3anc 1389	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝑆‘𝑦) ≠ ∅))) → (𝑦 ∩ 𝑈) ∈ 𝐽)
27		inss1 4188	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑦
28	27	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝑆‘𝑦) ≠ ∅))) → (𝑦 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑦)
29	6	cvmsss2 35588	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ (𝑦 ∩ 𝑈) ∈ 𝐽 ∧ (𝑦 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑦) → ((𝑆‘𝑦) ≠ ∅ → (𝑆‘(𝑦 ∩ 𝑈)) ≠ ∅))
30	20, 26, 28, 29	syl3anc 1389	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝑆‘𝑦) ≠ ∅))) → ((𝑆‘𝑦) ≠ ∅ → (𝑆‘(𝑦 ∩ 𝑈)) ≠ ∅))
31	19, 30	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝑆‘𝑦) ≠ ∅))) → (𝑆‘(𝑦 ∩ 𝑈)) ≠ ∅)
32		eleq2 2850	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∩ 𝑈) → (𝑃 ∈ 𝑥 ↔ 𝑃 ∈ (𝑦 ∩ 𝑈)))
33		fveq2 6863	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∩ 𝑈) → (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘(𝑦 ∩ 𝑈)))
34	33	neeq1d 3015	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∩ 𝑈) → ((𝑆‘𝑥) ≠ ∅ ↔ (𝑆‘(𝑦 ∩ 𝑈)) ≠ ∅))
35	32, 34	anbi12d 641	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∩ 𝑈) → ((𝑃 ∈ 𝑥 ∧ (𝑆‘𝑥) ≠ ∅) ↔ (𝑃 ∈ (𝑦 ∩ 𝑈) ∧ (𝑆‘(𝑦 ∩ 𝑈)) ≠ ∅)))
36	35	rspcev 3581	. . 3 ⊢ (((𝑦 ∩ 𝑈) ∈ 𝒫 𝑈 ∧ (𝑃 ∈ (𝑦 ∩ 𝑈) ∧ (𝑆‘(𝑦 ∩ 𝑈)) ≠ ∅)) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑈(𝑃 ∈ 𝑥 ∧ (𝑆‘𝑥) ≠ ∅))
37	15, 18, 31, 36	syl12anc 847	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ 𝑦 ∧ (𝑆‘𝑦) ≠ ∅))) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑈(𝑃 ∈ 𝑥 ∧ (𝑆‘𝑥) ≠ ∅))
38	9, 37	rexlimddv 3168	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑈(𝑃 ∈ 𝑥 ∧ (𝑆‘𝑥) ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075  ∃wrex 3085  {crab 3413   ∖ cdif 3901   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4554  {csn 4581  ∪ cuni 4864   ↦ cmpt 5180  ^◡ccnv 5644   ↾ cres 5647   “ cima 5648  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392   ↾_t crest 17432  Topctop 22933  Homeochmeo 23793   CovMap ccvm 35569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-map 8805  df-en 8924  df-fin 8927  df-fi 9354  df-rest 17434  df-topgen 17455  df-top 22934  df-topon 22951  df-bases 22986  df-cn 23267  df-hmeo 23795  df-cvm 35570

This theorem is referenced by: (None)