Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdlemk1.b |
. . 3
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
2 | | cdlemk1.l |
. . 3
β’ β€ =
(leβπΎ) |
3 | | cdlemk1.j |
. . 3
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
4 | | cdlemk1.m |
. . 3
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
5 | | cdlemk1.a |
. . 3
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
6 | | cdlemk1.h |
. . 3
β’ π» = (LHypβπΎ) |
7 | | cdlemk1.t |
. . 3
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
8 | | cdlemk1.r |
. . 3
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
9 | | cdlemk1.s |
. . 3
β’ π = (π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))))) |
10 | | cdlemk1.o |
. . 3
β’ π = (πβπ·) |
11 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 | cdlemk5u 39732 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ) β (π
βπ·)))) β ((π β¨ (πβπ)) β§ ((πΊβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘π·)))) β€ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘π·)))) |
12 | | simp11l 1285 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ) β (π
βπ·)))) β πΎ β HL) |
13 | | simp22l 1293 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ) β (π
βπ·)))) β π β π΄) |
14 | | simp11 1204 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ) β (π
βπ·)))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
15 | | simp212 1313 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ) β (π
βπ·)))) β πΊ β π) |
16 | 2, 5, 6, 7 | ltrnat 39011 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΊ β π β§ π β π΄) β (πΊβπ) β π΄) |
17 | 14, 15, 13, 16 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ) β (π
βπ·)))) β (πΊβπ) β π΄) |
18 | | simp213 1314 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ) β (π
βπ·)))) β π β π) |
19 | 2, 5, 6, 7 | ltrnat 39011 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π β§ π β π΄) β (πβπ) β π΄) |
20 | 14, 18, 13, 19 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ) β (π
βπ·)))) β (πβπ) β π΄) |
21 | | simp1 1137 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ) β (π
βπ·)))) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π)) |
22 | | simp211 1312 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ) β (π
βπ·)))) β π β π) |
23 | | simp22 1208 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ) β (π
βπ·)))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
24 | | simp23 1209 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ) β (π
βπ·)))) β (π
βπΉ) = (π
βπ)) |
25 | | simp3l1 1279 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ) β (π
βπ·)))) β πΉ β ( I βΎ π΅)) |
26 | | simp3l2 1280 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ) β (π
βπ·)))) β π· β ( I βΎ π΅)) |
27 | | simp3r1 1282 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ) β (π
βπ·)))) β (π
βπ·) β (π
βπΉ)) |
28 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 | cdlemkoatnle 39722 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β ((πβπ) β π΄ β§ Β¬ (πβπ) β€ π)) |
29 | 28 | simpld 496 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β (πβπ) β π΄) |
30 | 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 29 | syl133anc 1394 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ) β (π
βπ·)))) β (πβπ) β π΄) |
31 | | simp13 1206 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ) β (π
βπ·)))) β π· β π) |
32 | | simp3r2 1283 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ) β (π
βπ·)))) β (π
βπΊ) β (π
βπ·)) |
33 | 5, 6, 7, 8 | trlcocnvat 39595 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΊ β π β§ π· β π) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·)) β (π
β(πΊ β β‘π·)) β π΄) |
34 | 14, 15, 31, 32, 33 | syl121anc 1376 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ) β (π
βπ·)))) β (π
β(πΊ β β‘π·)) β π΄) |
35 | | simp3r3 1284 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ) β (π
βπ·)))) β (π
βπ) β (π
βπ·)) |
36 | 5, 6, 7, 8 | trlcocnvat 39595 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π β§ π· β π) β§ (π
βπ) β (π
βπ·)) β (π
β(π β β‘π·)) β π΄) |
37 | 14, 18, 31, 35, 36 | syl121anc 1376 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ) β (π
βπ·)))) β (π
β(π β β‘π·)) β π΄) |
38 | 2, 3, 4, 5 | dalaw 38757 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ (πΊβπ) β π΄ β§ (πβπ) β π΄) β§ ((πβπ) β π΄ β§ (π
β(πΊ β β‘π·)) β π΄ β§ (π
β(π β β‘π·)) β π΄)) β (((π β¨ (πβπ)) β§ ((πΊβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘π·)))) β€ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘π·))) β ((π β¨ (πΊβπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘π·)))) β€ ((((πΊβπ) β¨ (πβπ)) β§ ((π
β(πΊ β β‘π·)) β¨ (π
β(π β β‘π·)))) β¨ (((πβπ) β¨ π) β§ ((π
β(π β β‘π·)) β¨ (πβπ)))))) |
39 | 12, 13, 17, 20, 30, 34, 37, 38 | syl133anc 1394 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ) β (π
βπ·)))) β (((π β¨ (πβπ)) β§ ((πΊβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘π·)))) β€ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘π·))) β ((π β¨ (πΊβπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘π·)))) β€ ((((πΊβπ) β¨ (πβπ)) β§ ((π
β(πΊ β β‘π·)) β¨ (π
β(π β β‘π·)))) β¨ (((πβπ) β¨ π) β§ ((π
β(π β β‘π·)) β¨ (πβπ)))))) |
40 | 11, 39 | mpd 15 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ ((π β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ ((πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅)) β§ ((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπΊ) β (π
βπ·) β§ (π
βπ) β (π
βπ·)))) β ((π β¨ (πΊβπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘π·)))) β€ ((((πΊβπ) β¨ (πβπ)) β§ ((π
β(πΊ β β‘π·)) β¨ (π
β(π β β‘π·)))) β¨ (((πβπ) β¨ π) β§ ((π
β(π β β‘π·)) β¨ (πβπ))))) |