Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemk6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemk6 38011
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Apply dalaw 37060. (Contributed by NM, 25-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk.l = (le‘𝐾)
cdlemk.j = (join‘𝐾)
cdlemk.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cdlemk6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)))) → ((𝑃 (𝐺𝑃)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) ((((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) ((𝑅‘(𝐺𝐹)) (𝑅‘(𝑋𝐹)))) (((𝑋𝑃) 𝑃) ((𝑅‘(𝑋𝐹)) (𝑁𝑃)))))

Proof of Theorem cdlemk6
StepHypRef Expression
1 simp31 1206 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
2 simp32 1207 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
3 simp33l 1297 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)))) → (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹))
41, 2, 33jca 1125 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)))) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹)))
5 cdlemk.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 cdlemk.l . . . 4 = (le‘𝐾)
7 cdlemk.j . . . 4 = (join‘𝐾)
8 cdlemk.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9 cdlemk.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10 cdlemk.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11 cdlemk.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
12 cdlemk.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
135, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12cdlemk5 38010 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑃 (𝑁𝑃)) ((𝐺𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) ((𝑋𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐹))))
144, 13syld3an3 1406 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)))) → ((𝑃 (𝑁𝑃)) ((𝐺𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) ((𝑋𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐹))))
15 simp11l 1281 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)))) → 𝐾 ∈ HL)
16 simp22l 1289 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)))) → 𝑃𝐴)
17 simp11 1200 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
18 simp13 1202 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)))) → 𝐺𝑇)
196, 8, 9, 10ltrnat 37314 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝑃𝐴) → (𝐺𝑃) ∈ 𝐴)
2017, 18, 16, 19syl3anc 1368 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)))) → (𝐺𝑃) ∈ 𝐴)
21 simp21r 1288 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)))) → 𝑋𝑇)
226, 8, 9, 10ltrnat 37314 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑇𝑃𝐴) → (𝑋𝑃) ∈ 𝐴)
2317, 21, 16, 22syl3anc 1368 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)))) → (𝑋𝑃) ∈ 𝐴)
24 simp21l 1287 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)))) → 𝑁𝑇)
256, 8, 9, 10ltrnat 37314 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑁𝑇𝑃𝐴) → (𝑁𝑃) ∈ 𝐴)
2617, 24, 16, 25syl3anc 1368 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)))) → (𝑁𝑃) ∈ 𝐴)
27 simp12 1201 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)))) → 𝐹𝑇)
288, 9, 10, 11trlcocnvat 37898 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹)) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐴)
2917, 18, 27, 3, 28syl121anc 1372 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)))) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐴)
30 simp33r 1298 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)))) → (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹))
318, 9, 10, 11trlcocnvat 37898 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝑇𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)) → (𝑅‘(𝑋𝐹)) ∈ 𝐴)
3217, 21, 27, 30, 31syl121anc 1372 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)))) → (𝑅‘(𝑋𝐹)) ∈ 𝐴)
336, 7, 12, 8dalaw 37060 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝑃) ∈ 𝐴) ∧ ((𝑁𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅‘(𝑋𝐹)) ∈ 𝐴)) → (((𝑃 (𝑁𝑃)) ((𝐺𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) ((𝑋𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐹))) → ((𝑃 (𝐺𝑃)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) ((((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) ((𝑅‘(𝐺𝐹)) (𝑅‘(𝑋𝐹)))) (((𝑋𝑃) 𝑃) ((𝑅‘(𝑋𝐹)) (𝑁𝑃))))))
3415, 16, 20, 23, 26, 29, 32, 33syl133anc 1390 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)))) → (((𝑃 (𝑁𝑃)) ((𝐺𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) ((𝑋𝑃) (𝑅‘(𝑋𝐹))) → ((𝑃 (𝐺𝑃)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) ((((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) ((𝑅‘(𝐺𝐹)) (𝑅‘(𝑋𝐹)))) (((𝑋𝑃) 𝑃) ((𝑅‘(𝑋𝐹)) (𝑁𝑃))))))
3514, 34mpd 15 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑁𝑇𝑋𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ((𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑋) ≠ (𝑅𝐹)))) → ((𝑃 (𝐺𝑃)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) ((((𝐺𝑃) (𝑋𝑃)) ((𝑅‘(𝐺𝐹)) (𝑅‘(𝑋𝐹)))) (((𝑋𝑃) 𝑃) ((𝑅‘(𝑋𝐹)) (𝑁𝑃)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3007   class class class wbr 5039   I cid 5432  ccnv 5527  cres 5530  ccom 5532  cfv 6328  (class class class)co 7130  Basecbs 16461  lecple 16550  joincjn 17532  meetcmee 17533  Atomscatm 36437  HLchlt 36524  LHypclh 37158  LTrncltrn 37275  trLctrl 37332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-riotaBAD 36127
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-undef 7914  df-map 8383  df-proset 17516  df-poset 17534  df-plt 17546  df-lub 17562  df-glb 17563  df-join 17564  df-meet 17565  df-p0 17627  df-p1 17628  df-lat 17634  df-clat 17696  df-oposet 36350  df-ol 36352  df-oml 36353  df-covers 36440  df-ats 36441  df-atl 36472  df-cvlat 36496  df-hlat 36525  df-llines 36672  df-lplanes 36673  df-lvols 36674  df-lines 36675  df-psubsp 36677  df-pmap 36678  df-padd 36970  df-lhyp 37162  df-laut 37163  df-ldil 37278  df-ltrn 37279  df-trl 37333
This theorem is referenced by:  cdlemk7  38022
  Copyright terms: Public domain W3C validator