Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dia2dimlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dia2dimlem5 36956
Description: Lemma for dia2dim 36965. The sum of vectors 𝐺 and 𝐷 belongs to the sum of the subspaces generated by them. Thus, 𝐹 = (𝐺𝐷) belongs to the subspace sum. Part of proof of Lemma M in [Crawley] p. 121 line 5. (Contributed by NM, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dia2dimlem5.l = (le‘𝐾)
dia2dimlem5.j = (join‘𝐾)
dia2dimlem5.m = (meet‘𝐾)
dia2dimlem5.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dia2dimlem5.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia2dimlem5.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem5.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem5.y 𝑌 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem5.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑌)
dia2dimlem5.pl = (LSSum‘𝑌)
dia2dimlem5.n 𝑁 = (LSpan‘𝑌)
dia2dimlem5.i 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem5.q 𝑄 = ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))
dia2dimlem5.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dia2dimlem5.u (𝜑 → (𝑈𝐴𝑈 𝑊))
dia2dimlem5.v (𝜑 → (𝑉𝐴𝑉 𝑊))
dia2dimlem5.p (𝜑 → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
dia2dimlem5.f (𝜑 → (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃))
dia2dimlem5.rf (𝜑 → (𝑅𝐹) (𝑈 𝑉))
dia2dimlem5.uv (𝜑𝑈𝑉)
dia2dimlem5.ru (𝜑 → (𝑅𝐹) ≠ 𝑈)
dia2dimlem5.rv (𝜑 → (𝑅𝐹) ≠ 𝑉)
dia2dimlem5.g (𝜑𝐺𝑇)
dia2dimlem5.gv (𝜑 → (𝐺𝑃) = 𝑄)
dia2dimlem5.d (𝜑𝐷𝑇)
dia2dimlem5.dv (𝜑 → (𝐷𝑄) = (𝐹𝑃))
Assertion
Ref Expression
dia2dimlem5 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐼𝑈) (𝐼𝑉)))

Proof of Theorem dia2dimlem5
StepHypRef Expression
1 dia2dimlem5.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 dia2dimlem5.d . . . . 5 (𝜑𝐷𝑇)
3 dia2dimlem5.g . . . . 5 (𝜑𝐺𝑇)
4 dia2dimlem5.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 dia2dimlem5.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
6 dia2dimlem5.y . . . . . 6 𝑌 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
7 eqid 2764 . . . . . 6 (+g𝑌) = (+g𝑌)
84, 5, 6, 7dvavadd 36903 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐷𝑇𝐺𝑇)) → (𝐷(+g𝑌)𝐺) = (𝐷𝐺))
91, 2, 3, 8syl12anc 865 . . . 4 (𝜑 → (𝐷(+g𝑌)𝐺) = (𝐷𝐺))
10 dia2dimlem5.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
11 dia2dimlem5.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
12 dia2dimlem5.p . . . . 5 (𝜑 → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
13 dia2dimlem5.f . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃))
1413simpld 488 . . . . 5 (𝜑𝐹𝑇)
15 dia2dimlem5.gv . . . . 5 (𝜑 → (𝐺𝑃) = 𝑄)
16 dia2dimlem5.dv . . . . 5 (𝜑 → (𝐷𝑄) = (𝐹𝑃))
1710, 11, 4, 5, 1, 12, 14, 3, 15, 2, 16dia2dimlem4 36955 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐺) = 𝐹)
189, 17eqtr2d 2799 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝐷(+g𝑌)𝐺))
194, 6dvalvec 36914 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑌 ∈ LVec)
20 lveclmod 19377 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ LVec → 𝑌 ∈ LMod)
211, 19, 203syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ LMod)
22 dia2dimlem5.s . . . . . . 7 𝑆 = (LSubSp‘𝑌)
2322lsssssubg 19229 . . . . . 6 (𝑌 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑌))
2421, 23syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑌))
25 dia2dimlem5.v . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑉𝐴𝑉 𝑊))
2625simpld 488 . . . . . . 7 (𝜑𝑉𝐴)
27 eqid 2764 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2827, 11atbase 35177 . . . . . . 7 (𝑉𝐴𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
2926, 28syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
3025simprd 489 . . . . . 6 (𝜑𝑉 𝑊)
31 dia2dimlem5.i . . . . . . 7 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
3227, 10, 4, 6, 31, 22dialss 36934 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑉 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑉 𝑊)) → (𝐼𝑉) ∈ 𝑆)
331, 29, 30, 32syl12anc 865 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼𝑉) ∈ 𝑆)
3424, 33sseldd 3761 . . . 4 (𝜑 → (𝐼𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑌))
35 dia2dimlem5.u . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈𝐴𝑈 𝑊))
3635simpld 488 . . . . . . 7 (𝜑𝑈𝐴)
3727, 11atbase 35177 . . . . . . 7 (𝑈𝐴𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
3836, 37syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
3935simprd 489 . . . . . 6 (𝜑𝑈 𝑊)
4027, 10, 4, 6, 31, 22dialss 36934 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 𝑊)) → (𝐼𝑈) ∈ 𝑆)
411, 38, 39, 40syl12anc 865 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼𝑈) ∈ 𝑆)
4224, 41sseldd 3761 . . . 4 (𝜑 → (𝐼𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑌))
43 dia2dimlem5.r . . . . . . . 8 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
44 dia2dimlem5.n . . . . . . . 8 𝑁 = (LSpan‘𝑌)
454, 5, 43, 6, 31, 44dia1dim2 36950 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐷𝑇) → (𝐼‘(𝑅𝐷)) = (𝑁‘{𝐷}))
461, 2, 45syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼‘(𝑅𝐷)) = (𝑁‘{𝐷}))
47 dia2dimlem5.j . . . . . . . . . 10 = (join‘𝐾)
48 dia2dimlem5.m . . . . . . . . . 10 = (meet‘𝐾)
49 dia2dimlem5.q . . . . . . . . . 10 𝑄 = ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))
50 dia2dimlem5.rf . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑅𝐹) (𝑈 𝑉))
51 dia2dimlem5.uv . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈𝑉)
52 dia2dimlem5.ru . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑅𝐹) ≠ 𝑈)
53 dia2dimlem5.rv . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑅𝐹) ≠ 𝑉)
5410, 47, 48, 11, 4, 5, 43, 49, 1, 35, 25, 12, 13, 50, 51, 52, 53, 2, 16dia2dimlem3 36954 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅𝐷) = 𝑉)
5554fveq2d 6378 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼‘(𝑅𝐷)) = (𝐼𝑉))
56 eqss 3775 . . . . . . . 8 ((𝐼‘(𝑅𝐷)) = (𝐼𝑉) ↔ ((𝐼‘(𝑅𝐷)) ⊆ (𝐼𝑉) ∧ (𝐼𝑉) ⊆ (𝐼‘(𝑅𝐷))))
5755, 56sylib 209 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐼‘(𝑅𝐷)) ⊆ (𝐼𝑉) ∧ (𝐼𝑉) ⊆ (𝐼‘(𝑅𝐷))))
5857simpld 488 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼‘(𝑅𝐷)) ⊆ (𝐼𝑉))
5946, 58eqsstr3d 3799 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝐷}) ⊆ (𝐼𝑉))
60 eqid 2764 . . . . . 6 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
614, 5, 6, 60dvavbase 36901 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘𝑌) = 𝑇)
621, 61syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘𝑌) = 𝑇)
632, 62eleqtrrd 2846 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (Base‘𝑌))
6460, 22, 44, 21, 33, 63lspsnel5 19266 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 ∈ (𝐼𝑉) ↔ (𝑁‘{𝐷}) ⊆ (𝐼𝑉)))
6559, 64mpbird 248 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (𝐼𝑉))
664, 5, 43, 6, 31, 44dia1dim2 36950 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝐼‘(𝑅𝐺)) = (𝑁‘{𝐺}))
671, 3, 66syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼‘(𝑅𝐺)) = (𝑁‘{𝐺}))
6810, 47, 48, 11, 4, 5, 43, 49, 1, 35, 25, 12, 13, 50, 53, 3, 15dia2dimlem2 36953 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅𝐺) = 𝑈)
6968fveq2d 6378 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼‘(𝑅𝐺)) = (𝐼𝑈))
70 eqss 3775 . . . . . . . 8 ((𝐼‘(𝑅𝐺)) = (𝐼𝑈) ↔ ((𝐼‘(𝑅𝐺)) ⊆ (𝐼𝑈) ∧ (𝐼𝑈) ⊆ (𝐼‘(𝑅𝐺))))
7169, 70sylib 209 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐼‘(𝑅𝐺)) ⊆ (𝐼𝑈) ∧ (𝐼𝑈) ⊆ (𝐼‘(𝑅𝐺))))
7271simpld 488 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼‘(𝑅𝐺)) ⊆ (𝐼𝑈))
7367, 72eqsstr3d 3799 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝐺}) ⊆ (𝐼𝑈))
743, 62eleqtrrd 2846 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ (Base‘𝑌))
7560, 22, 44, 21, 41, 74lspsnel5 19266 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝐼𝑈) ↔ (𝑁‘{𝐺}) ⊆ (𝐼𝑈)))
7673, 75mpbird 248 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (𝐼𝑈))
77 dia2dimlem5.pl . . . . 5 = (LSSum‘𝑌)
787, 77lsmelvali 18330 . . . 4 ((((𝐼𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑌) ∧ (𝐼𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑌)) ∧ (𝐷 ∈ (𝐼𝑉) ∧ 𝐺 ∈ (𝐼𝑈))) → (𝐷(+g𝑌)𝐺) ∈ ((𝐼𝑉) (𝐼𝑈)))
7934, 42, 65, 76, 78syl22anc 867 . . 3 (𝜑 → (𝐷(+g𝑌)𝐺) ∈ ((𝐼𝑉) (𝐼𝑈)))
8018, 79eqeltrd 2843 . 2 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐼𝑉) (𝐼𝑈)))
81 lmodabl 19178 . . . 4 (𝑌 ∈ LMod → 𝑌 ∈ Abel)
8221, 81syl 17 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ Abel)
8377lsmcom 18526 . . 3 ((𝑌 ∈ Abel ∧ (𝐼𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑌) ∧ (𝐼𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑌)) → ((𝐼𝑉) (𝐼𝑈)) = ((𝐼𝑈) (𝐼𝑉)))
8482, 34, 42, 83syl3anc 1490 . 2 (𝜑 → ((𝐼𝑉) (𝐼𝑈)) = ((𝐼𝑈) (𝐼𝑉)))
8580, 84eleqtrd 2845 1 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐼𝑈) (𝐼𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2936  wss 3731  {csn 4333   class class class wbr 4808  ccom 5280  cfv 6067  (class class class)co 6841  Basecbs 16131  +gcplusg 16215  lecple 16222  joincjn 17211  meetcmee 17212  SubGrpcsubg 17853  LSSumclsm 18314  Abelcabl 18459  LModclmod 19131  LSubSpclss 19200  LSpanclspn 19242  LVecclvec 19373  Atomscatm 35151  HLchlt 35238  LHypclh 35872  LTrncltrn 35989  trLctrl 36046  DVecAcdveca 36890  DIsoAcdia 36916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265  ax-riotaBAD 34841
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-int 4633  df-iun 4677  df-iin 4678  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-om 7263  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-tpos 7554  df-undef 7601  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-1o 7763  df-oadd 7767  df-er 7946  df-map 8061  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-fin 8163  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-nn 11274  df-2 11334  df-3 11335  df-4 11336  df-5 11337  df-6 11338  df-n0 11538  df-z 11624  df-uz 11886  df-fz 12533  df-struct 16133  df-ndx 16134  df-slot 16135  df-base 16137  df-sets 16138  df-ress 16139  df-plusg 16228  df-mulr 16229  df-sca 16231  df-vsca 16232  df-0g 16369  df-proset 17195  df-poset 17213  df-plt 17225  df-lub 17241  df-glb 17242  df-join 17243  df-meet 17244  df-p0 17306  df-p1 17307  df-lat 17313  df-clat 17375  df-mgm 17509  df-sgrp 17551  df-mnd 17562  df-grp 17693  df-minusg 17694  df-sbg 17695  df-subg 17856  df-lsm 18316  df-cmn 18460  df-abl 18461  df-mgp 18756  df-ur 18768  df-ring 18815  df-oppr 18889  df-dvdsr 18907  df-unit 18908  df-invr 18938  df-dvr 18949  df-drng 19017  df-lmod 19133  df-lss 19201  df-lsp 19243  df-lvec 19374  df-oposet 35064  df-ol 35066  df-oml 35067  df-covers 35154  df-ats 35155  df-atl 35186  df-cvlat 35210  df-hlat 35239  df-llines 35386  df-lplanes 35387  df-lvols 35388  df-lines 35389  df-psubsp 35391  df-pmap 35392  df-padd 35684  df-lhyp 35876  df-laut 35877  df-ldil 35992  df-ltrn 35993  df-trl 36047  df-tgrp 36631  df-tendo 36643  df-edring 36645  df-dveca 36891  df-disoa 36917
This theorem is referenced by:  dia2dimlem6  36957
  Copyright terms: Public domain W3C validator