Theorem dia2dimlem5 41070

Description: Lemma for dia2dim 41079. The sum of vectors 𝐺 and 𝐷 belongs to the sum of the subspaces generated by them. Thus, 𝐹 = (𝐺 ∘ 𝐷) belongs to the subspace sum. Part of proof of Lemma M in [Crawley] p. 121 line 5. (Contributed by NM, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dia2dimlem5.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dia2dimlem5.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dia2dimlem5.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dia2dimlem5.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dia2dimlem5.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia2dimlem5.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem5.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem5.y	⊢ 𝑌 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem5.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑌)
dia2dimlem5.pl	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑌)
dia2dimlem5.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑌)
dia2dimlem5.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem5.q	⊢ 𝑄 = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))
dia2dimlem5.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dia2dimlem5.u	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊))
dia2dimlem5.v	⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊))
dia2dimlem5.p	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
dia2dimlem5.f	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃))
dia2dimlem5.rf	⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) ≤ (𝑈 ∨ 𝑉))
dia2dimlem5.uv	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
dia2dimlem5.ru	⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) ≠ 𝑈)
dia2dimlem5.rv	⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) ≠ 𝑉)
dia2dimlem5.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑇)
dia2dimlem5.gv	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑃) = 𝑄)
dia2dimlem5.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑇)
dia2dimlem5.dv	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑄) = (𝐹‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
dia2dimlem5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐼‘𝑈) ⊕ (𝐼‘𝑉)))

Proof of Theorem dia2dimlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dia2dimlem5.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dia2dimlem5.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑇)
3		dia2dimlem5.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑇)
4		dia2dimlem5.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		dia2dimlem5.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
6		dia2dimlem5.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
8	4, 5, 6, 7	dvavadd 41017	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → (𝐷(+g‘𝑌)𝐺) = (𝐷 ∘ 𝐺))
9	1, 2, 3, 8	syl12anc 837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷(+g‘𝑌)𝐺) = (𝐷 ∘ 𝐺))
10		dia2dimlem5.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
11		dia2dimlem5.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
12		dia2dimlem5.p	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
13		dia2dimlem5.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃))
14	13	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑇)
15		dia2dimlem5.gv	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑃) = 𝑄)
16		dia2dimlem5.dv	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑄) = (𝐹‘𝑃))
17	10, 11, 4, 5, 1, 12, 14, 3, 15, 2, 16	dia2dimlem4 41069	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∘ 𝐺) = 𝐹)
18	9, 17	eqtr2d 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐷(+g‘𝑌)𝐺))
19	4, 6	dvalvec 41028	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑌 ∈ LVec)
20		lveclmod 21105	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ LVec → 𝑌 ∈ LMod)
21	1, 19, 20	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ LMod)
22		dia2dimlem5.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑌)
23	22	lsssssubg 20956	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑌))
24	21, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑌))
25		dia2dimlem5.v	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊))
26	25	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐴)
27		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
28	27, 11	atbase 39290	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ 𝐴 → 𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
29	26, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
30	25	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ≤ 𝑊)
31		dia2dimlem5.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
32	27, 10, 4, 6, 31, 22	dialss 41048	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑉 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑉) ∈ 𝑆)
33	1, 29, 30, 32	syl12anc 837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑉) ∈ 𝑆)
34	24, 33	sseldd 3984	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑌))
35		dia2dimlem5.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊))
36	35	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
37	27, 11	atbase 39290	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐴 → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
38	36, 37	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
39	35	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝑊)
40	27, 10, 4, 6, 31, 22	dialss 41048	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑈) ∈ 𝑆)
41	1, 38, 39, 40	syl12anc 837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑈) ∈ 𝑆)
42	24, 41	sseldd 3984	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑌))
43		dia2dimlem5.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
44		dia2dimlem5.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑌)
45	4, 5, 43, 6, 31, 44	dia1dim2 41064	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐷)) = (𝑁‘{𝐷}))
46	1, 2, 45	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑅‘𝐷)) = (𝑁‘{𝐷}))
47		dia2dimlem5.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
48		dia2dimlem5.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
49		dia2dimlem5.q	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑄 = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))
50		dia2dimlem5.rf	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) ≤ (𝑈 ∨ 𝑉))
51		dia2dimlem5.uv	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
52		dia2dimlem5.ru	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) ≠ 𝑈)
53		dia2dimlem5.rv	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) ≠ 𝑉)
54	10, 47, 48, 11, 4, 5, 43, 49, 1, 35, 25, 12, 13, 50, 51, 52, 53, 2, 16	dia2dimlem3 41068	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐷) = 𝑉)
55	54	fveq2d 6910	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑅‘𝐷)) = (𝐼‘𝑉))
56		eqss 3999	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼‘(𝑅‘𝐷)) = (𝐼‘𝑉) ↔ ((𝐼‘(𝑅‘𝐷)) ⊆ (𝐼‘𝑉) ∧ (𝐼‘𝑉) ⊆ (𝐼‘(𝑅‘𝐷))))
57	55, 56	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(𝑅‘𝐷)) ⊆ (𝐼‘𝑉) ∧ (𝐼‘𝑉) ⊆ (𝐼‘(𝑅‘𝐷))))
58	57	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑅‘𝐷)) ⊆ (𝐼‘𝑉))
59	46, 58	eqsstrrd 4019	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐷}) ⊆ (𝐼‘𝑉))
60		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
61	4, 5, 6, 60	dvavbase 41015	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝑌) = 𝑇)
62	1, 61	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) = 𝑇)
63	2, 62	eleqtrrd 2844	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Base‘𝑌))
64	60, 22, 44, 21, 33, 63	ellspsn5b 20993	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (𝐼‘𝑉) ↔ (𝑁‘{𝐷}) ⊆ (𝐼‘𝑉)))
65	59, 64	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐼‘𝑉))
66	4, 5, 43, 6, 31, 44	dia1dim2 41064	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐺)) = (𝑁‘{𝐺}))
67	1, 3, 66	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑅‘𝐺)) = (𝑁‘{𝐺}))
68	10, 47, 48, 11, 4, 5, 43, 49, 1, 35, 25, 12, 13, 50, 53, 3, 15	dia2dimlem2 41067	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐺) = 𝑈)
69	68	fveq2d 6910	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑅‘𝐺)) = (𝐼‘𝑈))
70		eqss 3999	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼‘(𝑅‘𝐺)) = (𝐼‘𝑈) ↔ ((𝐼‘(𝑅‘𝐺)) ⊆ (𝐼‘𝑈) ∧ (𝐼‘𝑈) ⊆ (𝐼‘(𝑅‘𝐺))))
71	69, 70	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(𝑅‘𝐺)) ⊆ (𝐼‘𝑈) ∧ (𝐼‘𝑈) ⊆ (𝐼‘(𝑅‘𝐺))))
72	71	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑅‘𝐺)) ⊆ (𝐼‘𝑈))
73	67, 72	eqsstrrd 4019	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐺}) ⊆ (𝐼‘𝑈))
74	3, 62	eleqtrrd 2844	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘𝑌))
75	60, 22, 44, 21, 41, 74	ellspsn5b 20993	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝐼‘𝑈) ↔ (𝑁‘{𝐺}) ⊆ (𝐼‘𝑈)))
76	73, 75	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐼‘𝑈))
77		dia2dimlem5.pl	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑌)
78	7, 77	lsmelvali 19668	. . . 4 ⊢ ((((𝐼‘𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑌) ∧ (𝐼‘𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑌)) ∧ (𝐷 ∈ (𝐼‘𝑉) ∧ 𝐺 ∈ (𝐼‘𝑈))) → (𝐷(+g‘𝑌)𝐺) ∈ ((𝐼‘𝑉) ⊕ (𝐼‘𝑈)))
79	34, 42, 65, 76, 78	syl22anc 839	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷(+g‘𝑌)𝐺) ∈ ((𝐼‘𝑉) ⊕ (𝐼‘𝑈)))
80	18, 79	eqeltrd 2841	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐼‘𝑉) ⊕ (𝐼‘𝑈)))
81		lmodabl 20907	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ LMod → 𝑌 ∈ Abel)
82	21, 81	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Abel)
83	77	lsmcom 19876	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ Abel ∧ (𝐼‘𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑌) ∧ (𝐼‘𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑌)) → ((𝐼‘𝑉) ⊕ (𝐼‘𝑈)) = ((𝐼‘𝑈) ⊕ (𝐼‘𝑉)))
84	82, 34, 42, 83	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑉) ⊕ (𝐼‘𝑈)) = ((𝐼‘𝑈) ⊕ (𝐼‘𝑉)))
85	80, 84	eleqtrd 2843	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐼‘𝑈) ⊕ (𝐼‘𝑉)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   ⊆ wss 3951  {csn 4626   class class class wbr 5143   ∘ ccom 5689  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  lecple 17304  joincjn 18357  meetcmee 18358  SubGrpcsubg 19138  LSSumclsm 19652  Abelcabl 19799  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929  LSpanclspn 20969  LVecclvec 21101  Atomscatm 39264  HLchlt 39351  LHypclh 39986  LTrncltrn 40103  trLctrl 40160  DVecAcdveca 41004  DIsoAcdia 41030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-riotaBAD 38954

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-undef 8298  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-0g 17486  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-lsm 19654  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lvec 21102  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-llines 39500  df-lplanes 39501  df-lvols 39502  df-lines 39503  df-psubsp 39505  df-pmap 39506  df-padd 39798  df-lhyp 39990  df-laut 39991  df-ldil 40106  df-ltrn 40107  df-trl 40161  df-tgrp 40745  df-tendo 40757  df-edring 40759  df-dveca 41005  df-disoa 41031

This theorem is referenced by:  dia2dimlem6  41071