Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dia2dimlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dia2dimlem5 38246
 Description: Lemma for dia2dim 38255. The sum of vectors 𝐺 and 𝐷 belongs to the sum of the subspaces generated by them. Thus, 𝐹 = (𝐺 ∘ 𝐷) belongs to the subspace sum. Part of proof of Lemma M in [Crawley] p. 121 line 5. (Contributed by NM, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dia2dimlem5.l = (le‘𝐾)
dia2dimlem5.j = (join‘𝐾)
dia2dimlem5.m = (meet‘𝐾)
dia2dimlem5.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dia2dimlem5.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia2dimlem5.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem5.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem5.y 𝑌 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem5.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑌)
dia2dimlem5.pl = (LSSum‘𝑌)
dia2dimlem5.n 𝑁 = (LSpan‘𝑌)
dia2dimlem5.i 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem5.q 𝑄 = ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))
dia2dimlem5.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dia2dimlem5.u (𝜑 → (𝑈𝐴𝑈 𝑊))
dia2dimlem5.v (𝜑 → (𝑉𝐴𝑉 𝑊))
dia2dimlem5.p (𝜑 → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
dia2dimlem5.f (𝜑 → (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃))
dia2dimlem5.rf (𝜑 → (𝑅𝐹) (𝑈 𝑉))
dia2dimlem5.uv (𝜑𝑈𝑉)
dia2dimlem5.ru (𝜑 → (𝑅𝐹) ≠ 𝑈)
dia2dimlem5.rv (𝜑 → (𝑅𝐹) ≠ 𝑉)
dia2dimlem5.g (𝜑𝐺𝑇)
dia2dimlem5.gv (𝜑 → (𝐺𝑃) = 𝑄)
dia2dimlem5.d (𝜑𝐷𝑇)
dia2dimlem5.dv (𝜑 → (𝐷𝑄) = (𝐹𝑃))
Assertion
Ref Expression
dia2dimlem5 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐼𝑈) (𝐼𝑉)))

Proof of Theorem dia2dimlem5
StepHypRef Expression
1 dia2dimlem5.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 dia2dimlem5.d . . . . 5 (𝜑𝐷𝑇)
3 dia2dimlem5.g . . . . 5 (𝜑𝐺𝑇)
4 dia2dimlem5.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 dia2dimlem5.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
6 dia2dimlem5.y . . . . . 6 𝑌 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
7 eqid 2821 . . . . . 6 (+g𝑌) = (+g𝑌)
84, 5, 6, 7dvavadd 38193 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐷𝑇𝐺𝑇)) → (𝐷(+g𝑌)𝐺) = (𝐷𝐺))
91, 2, 3, 8syl12anc 835 . . . 4 (𝜑 → (𝐷(+g𝑌)𝐺) = (𝐷𝐺))
10 dia2dimlem5.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
11 dia2dimlem5.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
12 dia2dimlem5.p . . . . 5 (𝜑 → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
13 dia2dimlem5.f . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ≠ 𝑃))
1413simpld 498 . . . . 5 (𝜑𝐹𝑇)
15 dia2dimlem5.gv . . . . 5 (𝜑 → (𝐺𝑃) = 𝑄)
16 dia2dimlem5.dv . . . . 5 (𝜑 → (𝐷𝑄) = (𝐹𝑃))
1710, 11, 4, 5, 1, 12, 14, 3, 15, 2, 16dia2dimlem4 38245 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐺) = 𝐹)
189, 17eqtr2d 2857 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝐷(+g𝑌)𝐺))
194, 6dvalvec 38204 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑌 ∈ LVec)
20 lveclmod 19854 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ LVec → 𝑌 ∈ LMod)
211, 19, 203syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ LMod)
22 dia2dimlem5.s . . . . . . 7 𝑆 = (LSubSp‘𝑌)
2322lsssssubg 19706 . . . . . 6 (𝑌 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑌))
2421, 23syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑌))
25 dia2dimlem5.v . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑉𝐴𝑉 𝑊))
2625simpld 498 . . . . . . 7 (𝜑𝑉𝐴)
27 eqid 2821 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2827, 11atbase 36467 . . . . . . 7 (𝑉𝐴𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
2926, 28syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
3025simprd 499 . . . . . 6 (𝜑𝑉 𝑊)
31 dia2dimlem5.i . . . . . . 7 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
3227, 10, 4, 6, 31, 22dialss 38224 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑉 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑉 𝑊)) → (𝐼𝑉) ∈ 𝑆)
331, 29, 30, 32syl12anc 835 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼𝑉) ∈ 𝑆)
3424, 33sseldd 3944 . . . 4 (𝜑 → (𝐼𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑌))
35 dia2dimlem5.u . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈𝐴𝑈 𝑊))
3635simpld 498 . . . . . . 7 (𝜑𝑈𝐴)
3727, 11atbase 36467 . . . . . . 7 (𝑈𝐴𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
3836, 37syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
3935simprd 499 . . . . . 6 (𝜑𝑈 𝑊)
4027, 10, 4, 6, 31, 22dialss 38224 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 𝑊)) → (𝐼𝑈) ∈ 𝑆)
411, 38, 39, 40syl12anc 835 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼𝑈) ∈ 𝑆)
4224, 41sseldd 3944 . . . 4 (𝜑 → (𝐼𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑌))
43 dia2dimlem5.r . . . . . . . 8 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
44 dia2dimlem5.n . . . . . . . 8 𝑁 = (LSpan‘𝑌)
454, 5, 43, 6, 31, 44dia1dim2 38240 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐷𝑇) → (𝐼‘(𝑅𝐷)) = (𝑁‘{𝐷}))
461, 2, 45syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼‘(𝑅𝐷)) = (𝑁‘{𝐷}))
47 dia2dimlem5.j . . . . . . . . . 10 = (join‘𝐾)
48 dia2dimlem5.m . . . . . . . . . 10 = (meet‘𝐾)
49 dia2dimlem5.q . . . . . . . . . 10 𝑄 = ((𝑃 𝑈) ((𝐹𝑃) 𝑉))
50 dia2dimlem5.rf . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑅𝐹) (𝑈 𝑉))
51 dia2dimlem5.uv . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈𝑉)
52 dia2dimlem5.ru . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑅𝐹) ≠ 𝑈)
53 dia2dimlem5.rv . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑅𝐹) ≠ 𝑉)
5410, 47, 48, 11, 4, 5, 43, 49, 1, 35, 25, 12, 13, 50, 51, 52, 53, 2, 16dia2dimlem3 38244 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅𝐷) = 𝑉)
5554fveq2d 6647 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼‘(𝑅𝐷)) = (𝐼𝑉))
56 eqss 3958 . . . . . . . 8 ((𝐼‘(𝑅𝐷)) = (𝐼𝑉) ↔ ((𝐼‘(𝑅𝐷)) ⊆ (𝐼𝑉) ∧ (𝐼𝑉) ⊆ (𝐼‘(𝑅𝐷))))
5755, 56sylib 221 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐼‘(𝑅𝐷)) ⊆ (𝐼𝑉) ∧ (𝐼𝑉) ⊆ (𝐼‘(𝑅𝐷))))
5857simpld 498 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼‘(𝑅𝐷)) ⊆ (𝐼𝑉))
5946, 58eqsstrrd 3982 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝐷}) ⊆ (𝐼𝑉))
60 eqid 2821 . . . . . 6 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
614, 5, 6, 60dvavbase 38191 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘𝑌) = 𝑇)
621, 61syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘𝑌) = 𝑇)
632, 62eleqtrrd 2915 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (Base‘𝑌))
6460, 22, 44, 21, 33, 63lspsnel5 19743 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 ∈ (𝐼𝑉) ↔ (𝑁‘{𝐷}) ⊆ (𝐼𝑉)))
6559, 64mpbird 260 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (𝐼𝑉))
664, 5, 43, 6, 31, 44dia1dim2 38240 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝐼‘(𝑅𝐺)) = (𝑁‘{𝐺}))
671, 3, 66syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼‘(𝑅𝐺)) = (𝑁‘{𝐺}))
6810, 47, 48, 11, 4, 5, 43, 49, 1, 35, 25, 12, 13, 50, 53, 3, 15dia2dimlem2 38243 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅𝐺) = 𝑈)
6968fveq2d 6647 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼‘(𝑅𝐺)) = (𝐼𝑈))
70 eqss 3958 . . . . . . . 8 ((𝐼‘(𝑅𝐺)) = (𝐼𝑈) ↔ ((𝐼‘(𝑅𝐺)) ⊆ (𝐼𝑈) ∧ (𝐼𝑈) ⊆ (𝐼‘(𝑅𝐺))))
7169, 70sylib 221 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐼‘(𝑅𝐺)) ⊆ (𝐼𝑈) ∧ (𝐼𝑈) ⊆ (𝐼‘(𝑅𝐺))))
7271simpld 498 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼‘(𝑅𝐺)) ⊆ (𝐼𝑈))
7367, 72eqsstrrd 3982 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝐺}) ⊆ (𝐼𝑈))
743, 62eleqtrrd 2915 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ (Base‘𝑌))
7560, 22, 44, 21, 41, 74lspsnel5 19743 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝐼𝑈) ↔ (𝑁‘{𝐺}) ⊆ (𝐼𝑈)))
7673, 75mpbird 260 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (𝐼𝑈))
77 dia2dimlem5.pl . . . . 5 = (LSSum‘𝑌)
787, 77lsmelvali 18754 . . . 4 ((((𝐼𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑌) ∧ (𝐼𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑌)) ∧ (𝐷 ∈ (𝐼𝑉) ∧ 𝐺 ∈ (𝐼𝑈))) → (𝐷(+g𝑌)𝐺) ∈ ((𝐼𝑉) (𝐼𝑈)))
7934, 42, 65, 76, 78syl22anc 837 . . 3 (𝜑 → (𝐷(+g𝑌)𝐺) ∈ ((𝐼𝑉) (𝐼𝑈)))
8018, 79eqeltrd 2912 . 2 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐼𝑉) (𝐼𝑈)))
81 lmodabl 19657 . . . 4 (𝑌 ∈ LMod → 𝑌 ∈ Abel)
8221, 81syl 17 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ Abel)
8377lsmcom 18957 . . 3 ((𝑌 ∈ Abel ∧ (𝐼𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑌) ∧ (𝐼𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑌)) → ((𝐼𝑉) (𝐼𝑈)) = ((𝐼𝑈) (𝐼𝑉)))
8482, 34, 42, 83syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → ((𝐼𝑉) (𝐼𝑈)) = ((𝐼𝑈) (𝐼𝑉)))
8580, 84eleqtrd 2914 1 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐼𝑈) (𝐼𝑉)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3007   ⊆ wss 3910  {csn 4540   class class class wbr 5039   ∘ ccom 5532  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130  Basecbs 16462  +gcplusg 16544  lecple 16551  joincjn 17533  meetcmee 17534  SubGrpcsubg 18252  LSSumclsm 18738  Abelcabl 18886  LModclmod 19610  LSubSpclss 19679  LSpanclspn 19719  LVecclvec 19850  Atomscatm 36441  HLchlt 36528  LHypclh 37162  LTrncltrn 37279  trLctrl 37336  DVecAcdveca 38180  DIsoAcdia 38206 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-riotaBAD 36131 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-tpos 7867  df-undef 7914  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-fz 12876  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-0g 16694  df-proset 17517  df-poset 17535  df-plt 17547  df-lub 17563  df-glb 17564  df-join 17565  df-meet 17566  df-p0 17628  df-p1 17629  df-lat 17635  df-clat 17697  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-sbg 18087  df-subg 18255  df-lsm 18740  df-cmn 18887  df-abl 18888  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-oppr 19352  df-dvdsr 19370  df-unit 19371  df-invr 19401  df-dvr 19412  df-drng 19480  df-lmod 19612  df-lss 19680  df-lsp 19720  df-lvec 19851  df-oposet 36354  df-ol 36356  df-oml 36357  df-covers 36444  df-ats 36445  df-atl 36476  df-cvlat 36500  df-hlat 36529  df-llines 36676  df-lplanes 36677  df-lvols 36678  df-lines 36679  df-psubsp 36681  df-pmap 36682  df-padd 36974  df-lhyp 37166  df-laut 37167  df-ldil 37282  df-ltrn 37283  df-trl 37337  df-tgrp 37921  df-tendo 37933  df-edring 37935  df-dveca 38181  df-disoa 38207 This theorem is referenced by:  dia2dimlem6  38247
 Copyright terms: Public domain W3C validator