Theorem dia2dimlem5 41902

Description: Lemma for dia2dim 41911. The sum of vectors 𝐺 and 𝐷 belongs to the sum of the subspaces generated by them. Thus, 𝐹 = (𝐺 ∘ 𝐷) belongs to the subspace sum. Part of proof of Lemma M in [Crawley] p. 121 line 5. (Contributed by NM, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dia2dimlem5.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dia2dimlem5.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dia2dimlem5.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dia2dimlem5.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dia2dimlem5.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia2dimlem5.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem5.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem5.y	⊢ 𝑌 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem5.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑌)
dia2dimlem5.pl	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑌)
dia2dimlem5.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑌)
dia2dimlem5.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem5.q	⊢ 𝑄 = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))
dia2dimlem5.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dia2dimlem5.u	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊))
dia2dimlem5.v	⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊))
dia2dimlem5.p	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
dia2dimlem5.f	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃))
dia2dimlem5.rf	⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) ≤ (𝑈 ∨ 𝑉))
dia2dimlem5.uv	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
dia2dimlem5.ru	⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) ≠ 𝑈)
dia2dimlem5.rv	⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) ≠ 𝑉)
dia2dimlem5.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑇)
dia2dimlem5.gv	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑃) = 𝑄)
dia2dimlem5.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑇)
dia2dimlem5.dv	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑄) = (𝐹‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
dia2dimlem5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐼‘𝑈) ⊕ (𝐼‘𝑉)))

Proof of Theorem dia2dimlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dia2dimlem5.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dia2dimlem5.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑇)
3		dia2dimlem5.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑇)
4		dia2dimlem5.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		dia2dimlem5.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
6		dia2dimlem5.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
8	4, 5, 6, 7	dvavadd 41849	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → (𝐷(+g‘𝑌)𝐺) = (𝐷 ∘ 𝐺))
9	1, 2, 3, 8	syl12anc 850	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷(+g‘𝑌)𝐺) = (𝐷 ∘ 𝐺))
10		dia2dimlem5.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
11		dia2dimlem5.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
12		dia2dimlem5.p	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
13		dia2dimlem5.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃))
14	13	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑇)
15		dia2dimlem5.gv	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑃) = 𝑄)
16		dia2dimlem5.dv	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑄) = (𝐹‘𝑃))
17	10, 11, 4, 5, 1, 12, 14, 3, 15, 2, 16	dia2dimlem4 41901	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∘ 𝐺) = 𝐹)
18	9, 17	eqtr2d 2801	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐷(+g‘𝑌)𝐺))
19	4, 6	dvalvec 41860	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑌 ∈ LVec)
20		lveclmod 21279	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ LVec → 𝑌 ∈ LMod)
21	1, 19, 20	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ LMod)
22		dia2dimlem5.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑌)
23	22	lsssssubg 21131	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑌))
24	21, 23	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑌))
25		dia2dimlem5.v	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊))
26	25	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐴)
27		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
28	27, 11	atbase 40123	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ 𝐴 → 𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
29	26, 28	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
30	25	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ≤ 𝑊)
31		dia2dimlem5.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
32	27, 10, 4, 6, 31, 22	dialss 41880	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑉 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑉) ∈ 𝑆)
33	1, 29, 30, 32	syl12anc 850	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑉) ∈ 𝑆)
34	24, 33	sseldd 3939	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑌))
35		dia2dimlem5.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊))
36	35	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
37	27, 11	atbase 40123	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐴 → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
38	36, 37	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
39	35	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝑊)
40	27, 10, 4, 6, 31, 22	dialss 41880	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑈) ∈ 𝑆)
41	1, 38, 39, 40	syl12anc 850	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑈) ∈ 𝑆)
42	24, 41	sseldd 3939	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑌))
43		dia2dimlem5.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
44		dia2dimlem5.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑌)
45	4, 5, 43, 6, 31, 44	dia1dim2 41896	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐷)) = (𝑁‘{𝐷}))
46	1, 2, 45	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑅‘𝐷)) = (𝑁‘{𝐷}))
47		dia2dimlem5.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
48		dia2dimlem5.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
49		dia2dimlem5.q	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑄 = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))
50		dia2dimlem5.rf	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) ≤ (𝑈 ∨ 𝑉))
51		dia2dimlem5.uv	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
52		dia2dimlem5.ru	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) ≠ 𝑈)
53		dia2dimlem5.rv	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) ≠ 𝑉)
54	10, 47, 48, 11, 4, 5, 43, 49, 1, 35, 25, 12, 13, 50, 51, 52, 53, 2, 16	dia2dimlem3 41900	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐷) = 𝑉)
55	54	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑅‘𝐷)) = (𝐼‘𝑉))
56		eqss 3953	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼‘(𝑅‘𝐷)) = (𝐼‘𝑉) ↔ ((𝐼‘(𝑅‘𝐷)) ⊆ (𝐼‘𝑉) ∧ (𝐼‘𝑉) ⊆ (𝐼‘(𝑅‘𝐷))))
57	55, 56	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(𝑅‘𝐷)) ⊆ (𝐼‘𝑉) ∧ (𝐼‘𝑉) ⊆ (𝐼‘(𝑅‘𝐷))))
58	57	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑅‘𝐷)) ⊆ (𝐼‘𝑉))
59	46, 58	eqsstrrd 3973	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐷}) ⊆ (𝐼‘𝑉))
60		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
61	4, 5, 6, 60	dvavbase 41847	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝑌) = 𝑇)
62	1, 61	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) = 𝑇)
63	2, 62	eleqtrrd 2868	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Base‘𝑌))
64	60, 22, 44, 21, 33, 63	ellspsn5b 21168	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (𝐼‘𝑉) ↔ (𝑁‘{𝐷}) ⊆ (𝐼‘𝑉)))
65	59, 64	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐼‘𝑉))
66	4, 5, 43, 6, 31, 44	dia1dim2 41896	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐺)) = (𝑁‘{𝐺}))
67	1, 3, 66	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑅‘𝐺)) = (𝑁‘{𝐺}))
68	10, 47, 48, 11, 4, 5, 43, 49, 1, 35, 25, 12, 13, 50, 53, 3, 15	dia2dimlem2 41899	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐺) = 𝑈)
69	68	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑅‘𝐺)) = (𝐼‘𝑈))
70		eqss 3953	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼‘(𝑅‘𝐺)) = (𝐼‘𝑈) ↔ ((𝐼‘(𝑅‘𝐺)) ⊆ (𝐼‘𝑈) ∧ (𝐼‘𝑈) ⊆ (𝐼‘(𝑅‘𝐺))))
71	69, 70	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(𝑅‘𝐺)) ⊆ (𝐼‘𝑈) ∧ (𝐼‘𝑈) ⊆ (𝐼‘(𝑅‘𝐺))))
72	71	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑅‘𝐺)) ⊆ (𝐼‘𝑈))
73	67, 72	eqsstrrd 3973	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐺}) ⊆ (𝐼‘𝑈))
74	3, 62	eleqtrrd 2868	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘𝑌))
75	60, 22, 44, 21, 41, 74	ellspsn5b 21168	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝐼‘𝑈) ↔ (𝑁‘{𝐺}) ⊆ (𝐼‘𝑈)))
76	73, 75	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐼‘𝑈))
77		dia2dimlem5.pl	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑌)
78	7, 77	lsmelvali 19766	. . . 4 ⊢ ((((𝐼‘𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑌) ∧ (𝐼‘𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑌)) ∧ (𝐷 ∈ (𝐼‘𝑉) ∧ 𝐺 ∈ (𝐼‘𝑈))) → (𝐷(+g‘𝑌)𝐺) ∈ ((𝐼‘𝑉) ⊕ (𝐼‘𝑈)))
79	34, 42, 65, 76, 78	syl22anc 852	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷(+g‘𝑌)𝐺) ∈ ((𝐼‘𝑉) ⊕ (𝐼‘𝑈)))
80	18, 79	eqeltrd 2865	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐼‘𝑉) ⊕ (𝐼‘𝑈)))
81		lmodabl 21082	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ LMod → 𝑌 ∈ Abel)
82	21, 81	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Abel)
83	77	lsmcom 19974	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ Abel ∧ (𝐼‘𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑌) ∧ (𝐼‘𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑌)) → ((𝐼‘𝑉) ⊕ (𝐼‘𝑈)) = ((𝐼‘𝑈) ⊕ (𝐼‘𝑉)))
84	82, 34, 42, 83	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑉) ⊕ (𝐼‘𝑈)) = ((𝐼‘𝑈) ⊕ (𝐼‘𝑉)))
85	80, 84	eleqtrd 2867	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐼‘𝑈) ⊕ (𝐼‘𝑉)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   ⊆ wss 3906  {csn 4591   class class class wbr 5111   ∘ ccom 5667  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17293  +_gcplusg 17334  lecple 17341  joincjn 18391  meetcmee 18392  SubGrpcsubg 19232  LSSumclsm 19750  Abelcabl 19897  LModclmod 21033  LSubSpclss 21104  LSpanclspn 21144  LVecclvec 21275  Atomscatm 40097  HLchlt 40184  LHypclh 40818  LTrncltrn 40935  trLctrl 40992  DVecAcdveca 41836  DIsoAcdia 41862

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-riotaBAD 39787

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-undef 8275  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-sca 17350  df-vsca 17351  df-0g 17518  df-proset 18374  df-poset 18393  df-plt 18408  df-lub 18424  df-glb 18425  df-join 18426  df-meet 18427  df-p0 18503  df-p1 18504  df-lat 18512  df-clat 18579  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-grp 19049  df-minusg 19050  df-sbg 19051  df-subg 19235  df-lsm 19752  df-cmn 19898  df-abl 19899  df-mgp 20263  df-rng 20277  df-ur 20310  df-ring 20363  df-oppr 20467  df-dvdsr 20487  df-unit 20488  df-invr 20518  df-dvr 20531  df-drng 20881  df-lmod 21035  df-lss 21105  df-lsp 21145  df-lvec 21276  df-oposet 40010  df-ol 40012  df-oml 40013  df-covers 40100  df-ats 40101  df-atl 40132  df-cvlat 40156  df-hlat 40185  df-llines 40332  df-lplanes 40333  df-lvols 40334  df-lines 40335  df-psubsp 40337  df-pmap 40338  df-padd 40630  df-lhyp 40822  df-laut 40823  df-ldil 40938  df-ltrn 40939  df-trl 40993  df-tgrp 41577  df-tendo 41589  df-edring 41591  df-dveca 41837  df-disoa 41863

This theorem is used by:  dia2dimlem6  41903