Theorem dia2dimlem5 40242

Description: Lemma for dia2dim 40251. The sum of vectors 𝐺 and 𝐷 belongs to the sum of the subspaces generated by them. Thus, 𝐹 = (𝐺 ∘ 𝐷) belongs to the subspace sum. Part of proof of Lemma M in [Crawley] p. 121 line 5. (Contributed by NM, 8-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dia2dimlem5.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dia2dimlem5.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dia2dimlem5.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dia2dimlem5.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dia2dimlem5.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia2dimlem5.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem5.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem5.y	⊢ 𝑌 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem5.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑌)
dia2dimlem5.pl	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑌)
dia2dimlem5.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑌)
dia2dimlem5.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
dia2dimlem5.q	⊢ 𝑄 = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))
dia2dimlem5.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dia2dimlem5.u	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊))
dia2dimlem5.v	⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊))
dia2dimlem5.p	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
dia2dimlem5.f	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃))
dia2dimlem5.rf	⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) ≤ (𝑈 ∨ 𝑉))
dia2dimlem5.uv	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
dia2dimlem5.ru	⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) ≠ 𝑈)
dia2dimlem5.rv	⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) ≠ 𝑉)
dia2dimlem5.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑇)
dia2dimlem5.gv	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑃) = 𝑄)
dia2dimlem5.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑇)
dia2dimlem5.dv	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑄) = (𝐹‘𝑃))

Assertion

Ref	Expression
dia2dimlem5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐼‘𝑈) ⊕ (𝐼‘𝑉)))

Proof of Theorem dia2dimlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dia2dimlem5.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dia2dimlem5.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑇)
3		dia2dimlem5.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑇)
4		dia2dimlem5.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		dia2dimlem5.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
6		dia2dimlem5.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
8	4, 5, 6, 7	dvavadd 40189	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) → (𝐷(+g‘𝑌)𝐺) = (𝐷 ∘ 𝐺))
9	1, 2, 3, 8	syl12anc 833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷(+g‘𝑌)𝐺) = (𝐷 ∘ 𝐺))
10		dia2dimlem5.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
11		dia2dimlem5.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
12		dia2dimlem5.p	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
13		dia2dimlem5.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝐹‘𝑃) ≠ 𝑃))
14	13	simpld 493	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑇)
15		dia2dimlem5.gv	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑃) = 𝑄)
16		dia2dimlem5.dv	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑄) = (𝐹‘𝑃))
17	10, 11, 4, 5, 1, 12, 14, 3, 15, 2, 16	dia2dimlem4 40241	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∘ 𝐺) = 𝐹)
18	9, 17	eqtr2d 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐷(+g‘𝑌)𝐺))
19	4, 6	dvalvec 40200	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑌 ∈ LVec)
20		lveclmod 20861	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ LVec → 𝑌 ∈ LMod)
21	1, 19, 20	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ LMod)
22		dia2dimlem5.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑌)
23	22	lsssssubg 20713	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑌))
24	21, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑌))
25		dia2dimlem5.v	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊))
26	25	simpld 493	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐴)
27		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
28	27, 11	atbase 38462	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ 𝐴 → 𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
29	26, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (Base‘𝐾))
30	25	simprd 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ≤ 𝑊)
31		dia2dimlem5.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
32	27, 10, 4, 6, 31, 22	dialss 40220	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑉 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑉) ∈ 𝑆)
33	1, 29, 30, 32	syl12anc 833	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑉) ∈ 𝑆)
34	24, 33	sseldd 3982	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑌))
35		dia2dimlem5.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊))
36	35	simpld 493	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
37	27, 11	atbase 38462	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐴 → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
38	36, 37	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
39	35	simprd 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝑊)
40	27, 10, 4, 6, 31, 22	dialss 40220	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑈) ∈ 𝑆)
41	1, 38, 39, 40	syl12anc 833	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑈) ∈ 𝑆)
42	24, 41	sseldd 3982	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑌))
43		dia2dimlem5.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
44		dia2dimlem5.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑌)
45	4, 5, 43, 6, 31, 44	dia1dim2 40236	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐷)) = (𝑁‘{𝐷}))
46	1, 2, 45	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑅‘𝐷)) = (𝑁‘{𝐷}))
47		dia2dimlem5.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
48		dia2dimlem5.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
49		dia2dimlem5.q	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑄 = ((𝑃 ∨ 𝑈) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∨ 𝑉))
50		dia2dimlem5.rf	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) ≤ (𝑈 ∨ 𝑉))
51		dia2dimlem5.uv	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
52		dia2dimlem5.ru	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) ≠ 𝑈)
53		dia2dimlem5.rv	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐹) ≠ 𝑉)
54	10, 47, 48, 11, 4, 5, 43, 49, 1, 35, 25, 12, 13, 50, 51, 52, 53, 2, 16	dia2dimlem3 40240	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐷) = 𝑉)
55	54	fveq2d 6894	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑅‘𝐷)) = (𝐼‘𝑉))
56		eqss 3996	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼‘(𝑅‘𝐷)) = (𝐼‘𝑉) ↔ ((𝐼‘(𝑅‘𝐷)) ⊆ (𝐼‘𝑉) ∧ (𝐼‘𝑉) ⊆ (𝐼‘(𝑅‘𝐷))))
57	55, 56	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(𝑅‘𝐷)) ⊆ (𝐼‘𝑉) ∧ (𝐼‘𝑉) ⊆ (𝐼‘(𝑅‘𝐷))))
58	57	simpld 493	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑅‘𝐷)) ⊆ (𝐼‘𝑉))
59	46, 58	eqsstrrd 4020	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐷}) ⊆ (𝐼‘𝑉))
60		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
61	4, 5, 6, 60	dvavbase 40187	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝑌) = 𝑇)
62	1, 61	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) = 𝑇)
63	2, 62	eleqtrrd 2834	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Base‘𝑌))
64	60, 22, 44, 21, 33, 63	lspsnel5 20750	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (𝐼‘𝑉) ↔ (𝑁‘{𝐷}) ⊆ (𝐼‘𝑉)))
65	59, 64	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐼‘𝑉))
66	4, 5, 43, 6, 31, 44	dia1dim2 40236	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝐼‘(𝑅‘𝐺)) = (𝑁‘{𝐺}))
67	1, 3, 66	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑅‘𝐺)) = (𝑁‘{𝐺}))
68	10, 47, 48, 11, 4, 5, 43, 49, 1, 35, 25, 12, 13, 50, 53, 3, 15	dia2dimlem2 40239	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝐺) = 𝑈)
69	68	fveq2d 6894	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑅‘𝐺)) = (𝐼‘𝑈))
70		eqss 3996	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼‘(𝑅‘𝐺)) = (𝐼‘𝑈) ↔ ((𝐼‘(𝑅‘𝐺)) ⊆ (𝐼‘𝑈) ∧ (𝐼‘𝑈) ⊆ (𝐼‘(𝑅‘𝐺))))
71	69, 70	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(𝑅‘𝐺)) ⊆ (𝐼‘𝑈) ∧ (𝐼‘𝑈) ⊆ (𝐼‘(𝑅‘𝐺))))
72	71	simpld 493	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑅‘𝐺)) ⊆ (𝐼‘𝑈))
73	67, 72	eqsstrrd 4020	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐺}) ⊆ (𝐼‘𝑈))
74	3, 62	eleqtrrd 2834	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘𝑌))
75	60, 22, 44, 21, 41, 74	lspsnel5 20750	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝐼‘𝑈) ↔ (𝑁‘{𝐺}) ⊆ (𝐼‘𝑈)))
76	73, 75	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐼‘𝑈))
77		dia2dimlem5.pl	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑌)
78	7, 77	lsmelvali 19559	. . . 4 ⊢ ((((𝐼‘𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑌) ∧ (𝐼‘𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑌)) ∧ (𝐷 ∈ (𝐼‘𝑉) ∧ 𝐺 ∈ (𝐼‘𝑈))) → (𝐷(+g‘𝑌)𝐺) ∈ ((𝐼‘𝑉) ⊕ (𝐼‘𝑈)))
79	34, 42, 65, 76, 78	syl22anc 835	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷(+g‘𝑌)𝐺) ∈ ((𝐼‘𝑉) ⊕ (𝐼‘𝑈)))
80	18, 79	eqeltrd 2831	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐼‘𝑉) ⊕ (𝐼‘𝑈)))
81		lmodabl 20663	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ LMod → 𝑌 ∈ Abel)
82	21, 81	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Abel)
83	77	lsmcom 19767	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ Abel ∧ (𝐼‘𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑌) ∧ (𝐼‘𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑌)) → ((𝐼‘𝑉) ⊕ (𝐼‘𝑈)) = ((𝐼‘𝑈) ⊕ (𝐼‘𝑉)))
84	82, 34, 42, 83	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑉) ⊕ (𝐼‘𝑈)) = ((𝐼‘𝑈) ⊕ (𝐼‘𝑉)))
85	80, 84	eleqtrd 2833	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐼‘𝑈) ⊕ (𝐼‘𝑉)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938   ⊆ wss 3947  {csn 4627   class class class wbr 5147   ∘ ccom 5679  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  +_gcplusg 17201  lecple 17208  joincjn 18268  meetcmee 18269  SubGrpcsubg 19036  LSSumclsm 19543  Abelcabl 19690  LModclmod 20614  LSubSpclss 20686  LSpanclspn 20726  LVecclvec 20857  Atomscatm 38436  HLchlt 38523  LHypclh 39158  LTrncltrn 39275  trLctrl 39332  DVecAcdveca 40176  DIsoAcdia 40202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 38126

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-undef 8260  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-0g 17391  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-lsm 19545  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-drng 20502  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-lvec 20858  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-llines 38672  df-lplanes 38673  df-lvols 38674  df-lines 38675  df-psubsp 38677  df-pmap 38678  df-padd 38970  df-lhyp 39162  df-laut 39163  df-ldil 39278  df-ltrn 39279  df-trl 39333  df-tgrp 39917  df-tendo 39929  df-edring 39931  df-dveca 40177  df-disoa 40203

This theorem is referenced by:  dia2dimlem6  40243