Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dia2dimlem5 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dia2dimlem5 40243
Description: Lemma for dia2dim 40252. The sum of vectors 𝐺 and 𝐷 belongs to the sum of the subspaces generated by them. Thus, 𝐹 = (𝐺 ∘ 𝐷) belongs to the subspace sum. Part of proof of Lemma M in [Crawley] p. 121 line 5. (Contributed by NM, 8-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dia2dimlem5.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dia2dimlem5.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dia2dimlem5.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dia2dimlem5.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dia2dimlem5.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dia2dimlem5.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dia2dimlem5.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dia2dimlem5.y π‘Œ = ((DVecAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dia2dimlem5.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Œ)
dia2dimlem5.pl βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Œ)
dia2dimlem5.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Œ)
dia2dimlem5.i 𝐼 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dia2dimlem5.q 𝑄 = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))
dia2dimlem5.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
dia2dimlem5.u (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š))
dia2dimlem5.v (πœ‘ β†’ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))
dia2dimlem5.p (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
dia2dimlem5.f (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))
dia2dimlem5.rf (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑉))
dia2dimlem5.uv (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  𝑉)
dia2dimlem5.ru (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  π‘ˆ)
dia2dimlem5.rv (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  𝑉)
dia2dimlem5.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
dia2dimlem5.gv (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) = 𝑄)
dia2dimlem5.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑇)
dia2dimlem5.dv (πœ‘ β†’ (π·β€˜π‘„) = (πΉβ€˜π‘ƒ))
Assertion
Ref Expression
dia2dimlem5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((πΌβ€˜π‘ˆ) βŠ• (πΌβ€˜π‘‰)))
Proof of Theorem dia2dimlem5
StepHypRef Expression
1 dia2dimlem5.k . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 dia2dimlem5.d . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑇)
3 dia2dimlem5.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
4 dia2dimlem5.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
5 dia2dimlem5.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 dia2dimlem5.y . . . . . 6 π‘Œ = ((DVecAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
7 eqid 2731 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘Œ) = (+gβ€˜π‘Œ)
84, 5, 6, 7dvavadd 40190 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇)) β†’ (𝐷(+gβ€˜π‘Œ)𝐺) = (𝐷 ∘ 𝐺))
91, 2, 3, 8syl12anc 834 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐷(+gβ€˜π‘Œ)𝐺) = (𝐷 ∘ 𝐺))
10 dia2dimlem5.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
11 dia2dimlem5.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
12 dia2dimlem5.p . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
13 dia2dimlem5.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  𝑃))
1413simpld 494 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
15 dia2dimlem5.gv . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘ƒ) = 𝑄)
16 dia2dimlem5.dv . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π·β€˜π‘„) = (πΉβ€˜π‘ƒ))
1710, 11, 4, 5, 1, 12, 14, 3, 15, 2, 16dia2dimlem4 40242 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∘ 𝐺) = 𝐹)
189, 17eqtr2d 2772 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝐷(+gβ€˜π‘Œ)𝐺))
194, 6dvalvec 40201 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘Œ ∈ LVec)
20 lveclmod 20862 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ LVec β†’ π‘Œ ∈ LMod)
211, 19, 203syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ LMod)
22 dia2dimlem5.s . . . . . . 7 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Œ)
2322lsssssubg 20714 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ LMod β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Œ))
2421, 23syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Œ))
25 dia2dimlem5.v . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š))
2625simpld 494 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ 𝐴)
27 eqid 2731 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2827, 11atbase 38463 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ 𝐴 β†’ 𝑉 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2926, 28syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3025simprd 495 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑉 ≀ π‘Š)
31 dia2dimlem5.i . . . . . . 7 𝐼 = ((DIsoAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3227, 10, 4, 6, 31, 22dialss 40221 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑉 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘‰) ∈ 𝑆)
331, 29, 30, 32syl12anc 834 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘‰) ∈ 𝑆)
3424, 33sseldd 3984 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘‰) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Œ))
35 dia2dimlem5.u . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š))
3635simpld 494 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
3727, 11atbase 38463 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ 𝐴 β†’ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3836, 37syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3935simprd 495 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ≀ π‘Š)
4027, 10, 4, 6, 31, 22dialss 40221 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ˆ ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘ˆ) ∈ 𝑆)
411, 38, 39, 40syl12anc 834 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘ˆ) ∈ 𝑆)
4224, 41sseldd 3984 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘ˆ) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Œ))
43 dia2dimlem5.r . . . . . . . 8 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
44 dia2dimlem5.n . . . . . . . 8 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Œ)
454, 5, 43, 6, 31, 44dia1dim2 40237 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) β†’ (πΌβ€˜(π‘…β€˜π·)) = (π‘β€˜{𝐷}))
461, 2, 45syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜(π‘…β€˜π·)) = (π‘β€˜{𝐷}))
47 dia2dimlem5.j . . . . . . . . . 10 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
48 dia2dimlem5.m . . . . . . . . . 10 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
49 dia2dimlem5.q . . . . . . . . . 10 𝑄 = ((𝑃 ∨ π‘ˆ) ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ) ∨ 𝑉))
50 dia2dimlem5.rf . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑉))
51 dia2dimlem5.uv . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  𝑉)
52 dia2dimlem5.ru . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  π‘ˆ)
53 dia2dimlem5.rv . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  𝑉)
5410, 47, 48, 11, 4, 5, 43, 49, 1, 35, 25, 12, 13, 50, 51, 52, 53, 2, 16dia2dimlem3 40241 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜π·) = 𝑉)
5554fveq2d 6896 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜(π‘…β€˜π·)) = (πΌβ€˜π‘‰))
56 eqss 3998 . . . . . . . 8 ((πΌβ€˜(π‘…β€˜π·)) = (πΌβ€˜π‘‰) ↔ ((πΌβ€˜(π‘…β€˜π·)) βŠ† (πΌβ€˜π‘‰) ∧ (πΌβ€˜π‘‰) βŠ† (πΌβ€˜(π‘…β€˜π·))))
5755, 56sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜(π‘…β€˜π·)) βŠ† (πΌβ€˜π‘‰) ∧ (πΌβ€˜π‘‰) βŠ† (πΌβ€˜(π‘…β€˜π·))))
5857simpld 494 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜(π‘…β€˜π·)) βŠ† (πΌβ€˜π‘‰))
5946, 58eqsstrrd 4022 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝐷}) βŠ† (πΌβ€˜π‘‰))
60 eqid 2731 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
614, 5, 6, 60dvavbase 40188 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (Baseβ€˜π‘Œ) = 𝑇)
621, 61syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘Œ) = 𝑇)
632, 62eleqtrrd 2835 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
6460, 22, 44, 21, 33, 63lspsnel5 20751 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∈ (πΌβ€˜π‘‰) ↔ (π‘β€˜{𝐷}) βŠ† (πΌβ€˜π‘‰)))
6559, 64mpbird 256 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (πΌβ€˜π‘‰))
664, 5, 43, 6, 31, 44dia1dim2 40237 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (πΌβ€˜(π‘…β€˜πΊ)) = (π‘β€˜{𝐺}))
671, 3, 66syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜(π‘…β€˜πΊ)) = (π‘β€˜{𝐺}))
6810, 47, 48, 11, 4, 5, 43, 49, 1, 35, 25, 12, 13, 50, 53, 3, 15dia2dimlem2 40240 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜πΊ) = π‘ˆ)
6968fveq2d 6896 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜(π‘…β€˜πΊ)) = (πΌβ€˜π‘ˆ))
70 eqss 3998 . . . . . . . 8 ((πΌβ€˜(π‘…β€˜πΊ)) = (πΌβ€˜π‘ˆ) ↔ ((πΌβ€˜(π‘…β€˜πΊ)) βŠ† (πΌβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΌβ€˜π‘ˆ) βŠ† (πΌβ€˜(π‘…β€˜πΊ))))
7169, 70sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜(π‘…β€˜πΊ)) βŠ† (πΌβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΌβ€˜π‘ˆ) βŠ† (πΌβ€˜(π‘…β€˜πΊ))))
7271simpld 494 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜(π‘…β€˜πΊ)) βŠ† (πΌβ€˜π‘ˆ))
7367, 72eqsstrrd 4022 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝐺}) βŠ† (πΌβ€˜π‘ˆ))
743, 62eleqtrrd 2835 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
7560, 22, 44, 21, 41, 74lspsnel5 20751 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ (πΌβ€˜π‘ˆ) ↔ (π‘β€˜{𝐺}) βŠ† (πΌβ€˜π‘ˆ)))
7673, 75mpbird 256 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (πΌβ€˜π‘ˆ))
77 dia2dimlem5.pl . . . . 5 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Œ)
787, 77lsmelvali 19560 . . . 4 ((((πΌβ€˜π‘‰) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Œ) ∧ (πΌβ€˜π‘ˆ) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝐷 ∈ (πΌβ€˜π‘‰) ∧ 𝐺 ∈ (πΌβ€˜π‘ˆ))) β†’ (𝐷(+gβ€˜π‘Œ)𝐺) ∈ ((πΌβ€˜π‘‰) βŠ• (πΌβ€˜π‘ˆ)))
7934, 42, 65, 76, 78syl22anc 836 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐷(+gβ€˜π‘Œ)𝐺) ∈ ((πΌβ€˜π‘‰) βŠ• (πΌβ€˜π‘ˆ)))
8018, 79eqeltrd 2832 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((πΌβ€˜π‘‰) βŠ• (πΌβ€˜π‘ˆ)))
81 lmodabl 20664 . . . 4 (π‘Œ ∈ LMod β†’ π‘Œ ∈ Abel)
8221, 81syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Abel)
8377lsmcom 19768 . . 3 ((π‘Œ ∈ Abel ∧ (πΌβ€˜π‘‰) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Œ) ∧ (πΌβ€˜π‘ˆ) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Œ)) β†’ ((πΌβ€˜π‘‰) βŠ• (πΌβ€˜π‘ˆ)) = ((πΌβ€˜π‘ˆ) βŠ• (πΌβ€˜π‘‰)))
8482, 34, 42, 83syl3anc 1370 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜π‘‰) βŠ• (πΌβ€˜π‘ˆ)) = ((πΌβ€˜π‘ˆ) βŠ• (πΌβ€˜π‘‰)))
8580, 84eleqtrd 2834 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((πΌβ€˜π‘ˆ) βŠ• (πΌβ€˜π‘‰)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939   βŠ† wss 3949  {csn 4629   class class class wbr 5149   ∘ ccom 5681  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  lecple 17209  joincjn 18269  meetcmee 18270  SubGrpcsubg 19037  LSSumclsm 19544  Abelcabl 19691  LModclmod 20615  LSubSpclss 20687  LSpanclspn 20727  LVecclvec 20858  Atomscatm 38437  HLchlt 38524  LHypclh 39159  LTrncltrn 39276  trLctrl 39333  DVecAcdveca 40177  DIsoAcdia 40203
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-riotaBAD 38127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-tpos 8214  df-undef 8261  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-0g 17392  df-proset 18253  df-poset 18271  df-plt 18288  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p0 18383  df-p1 18384  df-lat 18390  df-clat 18457  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19040  df-lsm 19546  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-drng 20503  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-lsp 20728  df-lvec 20859  df-oposet 38350  df-ol 38352  df-oml 38353  df-covers 38440  df-ats 38441  df-atl 38472  df-cvlat 38496  df-hlat 38525  df-llines 38673  df-lplanes 38674  df-lvols 38675  df-lines 38676  df-psubsp 38678  df-pmap 38679  df-padd 38971  df-lhyp 39163  df-laut 39164  df-ldil 39279  df-ltrn 39280  df-trl 39334  df-tgrp 39918  df-tendo 39930  df-edring 39932  df-dveca 40178  df-disoa 40204
This theorem is referenced by:  dia2dimlem6  40244
  Copyright terms: Public domain W3C validator