Theorem dia2dim 37226

Description: A two-dimensional subspace of partial vector space A is closed, or equivalently, the isomorphism of a join of two atoms is a subset of the subspace sum of the isomorphisms of each atom (and thus they are equal, as shown later for the full vector space H). (Contributed by NM, 9-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dia2dim.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dia2dim.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dia2dim.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dia2dim.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dia2dim.y	⊢ 𝑌 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dia2dim.pl	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑌)
dia2dim.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
dia2dim.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dia2dim.u	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊))
dia2dim.v	⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊))

Assertion

Ref	Expression
dia2dim	⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) ⊆ ((𝐼‘𝑈) ⊕ (𝐼‘𝑉)))

Proof of Theorem dia2dim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dia2dim.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		dia2dim.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		eqid 2777	. 2 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
4		dia2dim.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		dia2dim.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		eqid 2777	. 2 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2777	. 2 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
8		dia2dim.y	. 2 ⊢ 𝑌 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
9		eqid 2777	. 2 ⊢ (LSubSp‘𝑌) = (LSubSp‘𝑌)
10		dia2dim.pl	. 2 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑌)
11		eqid 2777	. 2 ⊢ (LSpan‘𝑌) = (LSpan‘𝑌)
12		dia2dim.i	. 2 ⊢ 𝐼 = ((DIsoA‘𝐾)‘𝑊)
13		dia2dim.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
14		dia2dim.u	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊))
15		dia2dim.v	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊))
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	dia2dimlem13 37225	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑈 ∨ 𝑉)) ⊆ ((𝐼‘𝑈) ⊕ (𝐼‘𝑉)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3791   class class class wbr 4886  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  lecple 16345  joincjn 17330  meetcmee 17331  LSSumclsm 18433  LSubSpclss 19324  LSpanclspn 19366  Atomscatm 35412  HLchlt 35499  LHypclh 36133  LTrncltrn 36250  trLctrl 36307  DVecAcdveca 37151  DIsoAcdia 37177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-riotaBAD 35102

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-tpos 7634  df-undef 7681  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-0g 16488  df-proset 17314  df-poset 17332  df-plt 17344  df-lub 17360  df-glb 17361  df-join 17362  df-meet 17363  df-p0 17425  df-p1 17426  df-lat 17432  df-clat 17494  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-subg 17975  df-cntz 18133  df-lsm 18435  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-oppr 19010  df-dvdsr 19028  df-unit 19029  df-invr 19059  df-dvr 19070  df-drng 19141  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-lsp 19367  df-lvec 19498  df-oposet 35325  df-ol 35327  df-oml 35328  df-covers 35415  df-ats 35416  df-atl 35447  df-cvlat 35471  df-hlat 35500  df-llines 35647  df-lplanes 35648  df-lvols 35649  df-lines 35650  df-psubsp 35652  df-pmap 35653  df-padd 35945  df-lhyp 36137  df-laut 36138  df-ldil 36253  df-ltrn 36254  df-trl 36308  df-tgrp 36892  df-tendo 36904  df-edring 36906  df-dveca 37152  df-disoa 37178

This theorem is referenced by:  dib2dim  37392  dih2dimbALTN  37394