Theorem dmadjop 31004

Description: A member of the domain of the adjoint function is a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
dmadjop	⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)

Proof of Theorem dmadjop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmadjss 31003	. . 3 ⊢ dom adjℎ ⊆ ( ℋ ↑m ℋ)
2	1	sseli 3974	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → 𝑇 ∈ ( ℋ ↑m ℋ))
3		ax-hilex 30115	. . 3 ⊢ ℋ ∈ V
4	3, 3	elmap 8848	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ ( ℋ ↑m ℋ) ↔ 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
5	2, 4	sylib 217	1 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  dom cdm 5669  ⟶wf 6528  (class class class)co 7393   ↑_m cmap 8803   ℋchba 30035  adj_ℎcado 30071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-hilex 30115  ax-hfi 30195  ax-his1 30198

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-er 8686  df-map 8805  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-2 12257  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-adjh 30965

This theorem is referenced by:  adjval  31006  adjval2  31007  dmadjrnb  31022  adjcl  31048  adj2  31050  adjadj  31052  hmopadj2  31057  adjlnop  31202  adjmul  31208  adjadd  31209