HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  funadj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funadj 29070
Description: Functionality of the adjoint function. (Contributed by NM, 15-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
funadj Fun adj

Proof of Theorem funadj
Dummy variables 𝑢 𝑡 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funopab 6133 . . 3 (Fun {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡𝑦)) = ((𝑢𝑥) ·ih 𝑦))} ↔ ∀𝑡∃*𝑢(𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡𝑦)) = ((𝑢𝑥) ·ih 𝑦)))
2 adjmo 29016 . . . 4 ∃*𝑢(𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡𝑦)) = ((𝑢𝑥) ·ih 𝑦))
3 3simpc 1175 . . . . 5 ((𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡𝑦)) = ((𝑢𝑥) ·ih 𝑦)) → (𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡𝑦)) = ((𝑢𝑥) ·ih 𝑦)))
43moimi 2683 . . . 4 (∃*𝑢(𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡𝑦)) = ((𝑢𝑥) ·ih 𝑦)) → ∃*𝑢(𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡𝑦)) = ((𝑢𝑥) ·ih 𝑦)))
52, 4ax-mp 5 . . 3 ∃*𝑢(𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡𝑦)) = ((𝑢𝑥) ·ih 𝑦))
61, 5mpgbir 1884 . 2 Fun {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡𝑦)) = ((𝑢𝑥) ·ih 𝑦))}
7 dfadj2 29069 . . 3 adj = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡𝑦)) = ((𝑢𝑥) ·ih 𝑦))}
87funeqi 6119 . 2 (Fun adj ↔ Fun {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑢: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑡𝑦)) = ((𝑢𝑥) ·ih 𝑦))})
96, 8mpbir 222 1 Fun adj
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  ∃*wmo 2633  wral 3095  {copab 4902  Fun wfun 6092  wf 6094  cfv 6098  (class class class)co 6871  chil 28101   ·ih csp 28104  adjcado 28137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1880  ax-4 1897  ax-5 2004  ax-6 2070  ax-7 2106  ax-8 2160  ax-9 2167  ax-10 2187  ax-11 2203  ax-12 2216  ax-13 2422  ax-ext 2784  ax-sep 4971  ax-nul 4980  ax-pow 5032  ax-pr 5093  ax-un 7176  ax-resscn 10275  ax-1cn 10276  ax-icn 10277  ax-addcl 10278  ax-addrcl 10279  ax-mulcl 10280  ax-mulrcl 10281  ax-mulcom 10282  ax-addass 10283  ax-mulass 10284  ax-distr 10285  ax-i2m1 10286  ax-1ne0 10287  ax-1rid 10288  ax-rnegex 10289  ax-rrecex 10290  ax-cnre 10291  ax-pre-lttri 10292  ax-pre-lttrn 10293  ax-pre-ltadd 10294  ax-pre-mulgt0 10295  ax-hfvadd 28182  ax-hvcom 28183  ax-hvass 28184  ax-hv0cl 28185  ax-hvaddid 28186  ax-hfvmul 28187  ax-hvmulid 28188  ax-hvdistr2 28191  ax-hvmul0 28192  ax-hfi 28261  ax-his1 28264  ax-his2 28265  ax-his3 28266  ax-his4 28267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1865  df-sb 2063  df-eu 2636  df-mo 2637  df-clab 2792  df-cleq 2798  df-clel 2801  df-nfc 2936  df-ne 2978  df-nel 3081  df-ral 3100  df-rex 3101  df-reu 3102  df-rmo 3103  df-rab 3104  df-v 3392  df-sbc 3631  df-csb 3726  df-dif 3769  df-un 3771  df-in 3773  df-ss 3780  df-nul 4114  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-op 4374  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4841  df-opab 4903  df-mpt 4920  df-id 5216  df-po 5229  df-so 5230  df-xp 5314  df-rel 5315  df-cnv 5316  df-co 5317  df-dm 5318  df-rn 5319  df-res 5320  df-ima 5321  df-iota 6061  df-fun 6100  df-fn 6101  df-f 6102  df-f1 6103  df-fo 6104  df-f1o 6105  df-fv 6106  df-riota 6832  df-ov 6874  df-oprab 6875  df-mpt2 6876  df-er 7976  df-en 8190  df-dom 8191  df-sdom 8192  df-pnf 10358  df-mnf 10359  df-xr 10360  df-ltxr 10361  df-le 10362  df-sub 10550  df-neg 10551  df-div 10967  df-2 11360  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-hvsub 28153  df-adjh 29033
This theorem is referenced by:  funcnvadj  29077  adj1o  29078  adj1  29117  adjeq  29119
  Copyright terms: Public domain W3C validator