MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmmulsr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmmulsr 10853
Description: Domain of multiplication on signed reals. (Contributed by NM, 25-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dmmulsr dom ·R = (R × R)

Proof of Theorem dmmulsr
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-mr 10825 . . . 4 ·R = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥R𝑦R) ∧ ∃𝑤𝑣𝑢𝑓((𝑥 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~R𝑦 = [⟨𝑢, 𝑓⟩] ~R ) ∧ 𝑧 = [⟨((𝑤 ·P 𝑢) +P (𝑣 ·P 𝑓)), ((𝑤 ·P 𝑓) +P (𝑣 ·P 𝑢))⟩] ~R ))}
21dmeqi 5812 . . 3 dom ·R = dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥R𝑦R) ∧ ∃𝑤𝑣𝑢𝑓((𝑥 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~R𝑦 = [⟨𝑢, 𝑓⟩] ~R ) ∧ 𝑧 = [⟨((𝑤 ·P 𝑢) +P (𝑣 ·P 𝑓)), ((𝑤 ·P 𝑓) +P (𝑣 ·P 𝑢))⟩] ~R ))}
3 dmoprabss 7372 . . 3 dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥R𝑦R) ∧ ∃𝑤𝑣𝑢𝑓((𝑥 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~R𝑦 = [⟨𝑢, 𝑓⟩] ~R ) ∧ 𝑧 = [⟨((𝑤 ·P 𝑢) +P (𝑣 ·P 𝑓)), ((𝑤 ·P 𝑓) +P (𝑣 ·P 𝑢))⟩] ~R ))} ⊆ (R × R)
42, 3eqsstri 3960 . 2 dom ·R ⊆ (R × R)
5 0nsr 10846 . . 3 ¬ ∅ ∈ R
6 mulclsr 10851 . . 3 ((𝑥R𝑦R) → (𝑥 ·R 𝑦) ∈ R)
75, 6oprssdm 7448 . 2 (R × R) ⊆ dom ·R
84, 7eqssi 3942 1 dom ·R = (R × R)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396   = wceq 1542  wex 1786  wcel 2110  cop 4573   × cxp 5588  dom cdm 5590  (class class class)co 7272  {coprab 7273  [cec 8488   +P cpp 10628   ·P cmp 10629   ~R cer 10631  Rcnr 10632   ·R cmr 10637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-inf2 9387
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-om 7708  df-1st 7825  df-2nd 7826  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-1o 8289  df-oadd 8293  df-omul 8294  df-er 8490  df-ec 8492  df-qs 8496  df-ni 10639  df-pli 10640  df-mi 10641  df-lti 10642  df-plpq 10675  df-mpq 10676  df-ltpq 10677  df-enq 10678  df-nq 10679  df-erq 10680  df-plq 10681  df-mq 10682  df-1nq 10683  df-rq 10684  df-ltnq 10685  df-np 10748  df-plp 10750  df-mp 10751  df-ltp 10752  df-enr 10822  df-nr 10823  df-mr 10825
This theorem is referenced by:  mulcomsr  10856  mulasssr  10857  distrsr  10858
  Copyright terms: Public domain W3C validator