MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmaddsr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmaddsr 10723
Description: Domain of addition on signed reals. (Contributed by NM, 25-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dmaddsr dom +R = (R × R)

Proof of Theorem dmaddsr
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-plr 10695 . . . 4 +R = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥R𝑦R) ∧ ∃𝑤𝑣𝑢𝑓((𝑥 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~R𝑦 = [⟨𝑢, 𝑓⟩] ~R ) ∧ 𝑧 = [⟨(𝑤 +P 𝑢), (𝑣 +P 𝑓)⟩] ~R ))}
21dmeqi 5787 . . 3 dom +R = dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥R𝑦R) ∧ ∃𝑤𝑣𝑢𝑓((𝑥 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~R𝑦 = [⟨𝑢, 𝑓⟩] ~R ) ∧ 𝑧 = [⟨(𝑤 +P 𝑢), (𝑣 +P 𝑓)⟩] ~R ))}
3 dmoprabss 7331 . . 3 dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥R𝑦R) ∧ ∃𝑤𝑣𝑢𝑓((𝑥 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~R𝑦 = [⟨𝑢, 𝑓⟩] ~R ) ∧ 𝑧 = [⟨(𝑤 +P 𝑢), (𝑣 +P 𝑓)⟩] ~R ))} ⊆ (R × R)
42, 3eqsstri 3949 . 2 dom +R ⊆ (R × R)
5 0nsr 10717 . . 3 ¬ ∅ ∈ R
6 addclsr 10721 . . 3 ((𝑥R𝑦R) → (𝑥 +R 𝑦) ∈ R)
75, 6oprssdm 7407 . 2 (R × R) ⊆ dom +R
84, 7eqssi 3931 1 dom +R = (R × R)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 399   = wceq 1543  wex 1787  wcel 2111  cop 4561   × cxp 5563  dom cdm 5565  (class class class)co 7231  {coprab 7232  [cec 8409   +P cpp 10499   ~R cer 10502  Rcnr 10503   +R cplr 10507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5272  ax-pr 5336  ax-un 7541  ax-inf2 9280
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3422  df-sbc 3709  df-csb 3826  df-dif 3883  df-un 3885  df-in 3887  df-ss 3897  df-pss 3899  df-nul 4252  df-if 4454  df-pw 4529  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4834  df-int 4874  df-iun 4920  df-br 5068  df-opab 5130  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5469  df-eprel 5474  df-po 5482  df-so 5483  df-fr 5523  df-we 5525  df-xp 5571  df-rel 5572  df-cnv 5573  df-co 5574  df-dm 5575  df-rn 5576  df-res 5577  df-ima 5578  df-pred 6175  df-ord 6233  df-on 6234  df-lim 6235  df-suc 6236  df-iota 6355  df-fun 6399  df-fn 6400  df-f 6401  df-f1 6402  df-fo 6403  df-f1o 6404  df-fv 6405  df-ov 7234  df-oprab 7235  df-mpo 7236  df-om 7663  df-1st 7779  df-2nd 7780  df-wrecs 8067  df-recs 8128  df-rdg 8166  df-1o 8222  df-oadd 8226  df-omul 8227  df-er 8411  df-ec 8413  df-qs 8417  df-ni 10510  df-pli 10511  df-mi 10512  df-lti 10513  df-plpq 10546  df-mpq 10547  df-ltpq 10548  df-enq 10549  df-nq 10550  df-erq 10551  df-plq 10552  df-mq 10553  df-1nq 10554  df-rq 10555  df-ltnq 10556  df-np 10619  df-plp 10621  df-ltp 10623  df-enr 10693  df-nr 10694  df-plr 10695
This theorem is referenced by:  addcomsr  10725  addasssr  10726  distrsr  10729  ltasr  10738
  Copyright terms: Public domain W3C validator