Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochsncom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dochsncom 38626
Description: Swap vectors in an orthocomplement of a singleton. (Contributed by NM, 17-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dochsncom.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochsncom.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochsncom.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochsncom.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochsncom.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dochsncom.x (𝜑𝑋𝑉)
dochsncom.y (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
dochsncom (𝜑 → (𝑋 ∈ ( ‘{𝑌}) ↔ 𝑌 ∈ ( ‘{𝑋})))

Proof of Theorem dochsncom
StepHypRef Expression
1 dochsncom.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 eqid 2824 . . . 4 ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
3 dochsncom.o . . . 4 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4 dochsncom.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
5 dochsncom.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
6 dochsncom.u . . . . . 6 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7 dochsncom.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑈)
8 eqid 2824 . . . . . 6 (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
91, 6, 7, 8, 2dihlsprn 38575 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
104, 5, 9syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
11 dochsncom.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
121, 6, 7, 8, 2dihlsprn 38575 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌𝑉) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
134, 11, 12syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
141, 2, 3, 4, 10, 13dochord3 38616 . . 3 (𝜑 → (((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) ⊆ ( ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑌})) ↔ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}) ⊆ ( ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}))))
1511snssd 4726 . . . . 5 (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝑉)
161, 6, 3, 7, 8, 4, 15dochocsp 38623 . . . 4 (𝜑 → ( ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑌})) = ( ‘{𝑌}))
1716sseq2d 3985 . . 3 (𝜑 → (((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) ⊆ ( ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑌})) ↔ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) ⊆ ( ‘{𝑌})))
185snssd 4726 . . . . 5 (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
191, 6, 3, 7, 8, 4, 18dochocsp 38623 . . . 4 (𝜑 → ( ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑋})) = ( ‘{𝑋}))
2019sseq2d 3985 . . 3 (𝜑 → (((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}) ⊆ ( ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑋})) ↔ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}) ⊆ ( ‘{𝑋})))
2114, 17, 203bitr3d 312 . 2 (𝜑 → (((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) ⊆ ( ‘{𝑌}) ↔ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}) ⊆ ( ‘{𝑋})))
22 eqid 2824 . . 3 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
231, 6, 4dvhlmod 38354 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
241, 6, 7, 22, 3dochlss 38598 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ {𝑌} ⊆ 𝑉) → ( ‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
254, 15, 24syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → ( ‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
267, 22, 8, 23, 25, 5lspsnel5 19767 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ ( ‘{𝑌}) ↔ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) ⊆ ( ‘{𝑌})))
271, 6, 7, 22, 3dochlss 38598 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → ( ‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
284, 18, 27syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → ( ‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
297, 22, 8, 23, 28, 11lspsnel5 19767 . 2 (𝜑 → (𝑌 ∈ ( ‘{𝑋}) ↔ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}) ⊆ ( ‘{𝑋})))
3021, 26, 293bitr4d 314 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ ( ‘{𝑌}) ↔ 𝑌 ∈ ( ‘{𝑋})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wss 3919  {csn 4550  ran crn 5543  cfv 6343  Basecbs 16483  LSubSpclss 19703  LSpanclspn 19743  HLchlt 36594  LHypclh 37228  DVecHcdvh 38322  DIsoHcdih 38472  ocHcoch 38591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-riotaBAD 36197
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-tpos 7888  df-undef 7935  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-0g 16715  df-proset 17538  df-poset 17556  df-plt 17568  df-lub 17584  df-glb 17585  df-join 17586  df-meet 17587  df-p0 17649  df-p1 17650  df-lat 17656  df-clat 17718  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276  df-cntz 18447  df-lsm 18761  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-oppr 19376  df-dvdsr 19394  df-unit 19395  df-invr 19425  df-dvr 19436  df-drng 19504  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lsp 19744  df-lvec 19875  df-lsatoms 36220  df-oposet 36420  df-ol 36422  df-oml 36423  df-covers 36510  df-ats 36511  df-atl 36542  df-cvlat 36566  df-hlat 36595  df-llines 36742  df-lplanes 36743  df-lvols 36744  df-lines 36745  df-psubsp 36747  df-pmap 36748  df-padd 37040  df-lhyp 37232  df-laut 37233  df-ldil 37348  df-ltrn 37349  df-trl 37403  df-tendo 37999  df-edring 38001  df-disoa 38273  df-dvech 38323  df-dib 38383  df-dic 38417  df-dih 38473  df-doch 38592
This theorem is referenced by:  hdmapip0com  39161  hdmapoc  39175
  Copyright terms: Public domain W3C validator