Theorem dochsncom 42439

Description: Swap vectors in an orthocomplement of a singleton. (Contributed by NM, 17-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochsncom.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochsncom.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochsncom.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochsncom.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochsncom.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochsncom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
dochsncom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dochsncom	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{𝑌}) ↔ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})))

Proof of Theorem dochsncom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochsncom.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
3		dochsncom.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		dochsncom.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
5		dochsncom.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
6		dochsncom.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		dochsncom.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
8		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
9	1, 6, 7, 8, 2	dihlsprn 42388	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
10	4, 5, 9	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
11		dochsncom.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
12	1, 6, 7, 8, 2	dihlsprn 42388	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
13	4, 11, 12	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
14	1, 2, 3, 4, 10, 13	dochord3 42429	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) ⊆ ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑌})) ↔ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}) ⊆ ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}))))
15	11	snssd 4747	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝑉)
16	1, 6, 3, 7, 8, 4, 15	dochocsp 42436	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑌})) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
17	16	sseq2d 3963	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) ⊆ ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑌})) ↔ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) ⊆ ( ⊥ ‘{𝑌})))
18	5	snssd 4747	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
19	1, 6, 3, 7, 8, 4, 18	dochocsp 42436	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑋})) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
20	19	sseq2d 3963	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}) ⊆ ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑋})) ↔ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}) ⊆ ( ⊥ ‘{𝑋})))
21	14, 17, 20	3bitr3d 312	. 2 ⊢ (𝜑 → (((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) ⊆ ( ⊥ ‘{𝑌}) ↔ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}) ⊆ ( ⊥ ‘{𝑋})))
22		eqid 2761	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
23	1, 6, 4	dvhlmod 42167	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
24	1, 6, 7, 22, 3	dochlss 42411	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ {𝑌} ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
25	4, 15, 24	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
26	7, 22, 8, 23, 25, 5	ellspsn5b 21270	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{𝑌}) ↔ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) ⊆ ( ⊥ ‘{𝑌})))
27	1, 6, 7, 22, 3	dochlss 42411	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
28	4, 18, 27	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
29	7, 22, 8, 23, 28, 11	ellspsn5b 21270	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋}) ↔ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑌}) ⊆ ( ⊥ ‘{𝑋})))
30	21, 26, 29	3bitr4d 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{𝑌}) ↔ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ran crn 5652  ‘cfv 6538  Basecbs 17387  LSubSpclss 21206  LSpanclspn 21246  HLchlt 40407  LHypclh 41041  DVecHcdvh 42135  DIsoHcdih 42285  ocHcoch 42404

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-riotaBAD 40010

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-undef 8290  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-0g 17612  df-proset 18468  df-poset 18487  df-plt 18502  df-lub 18518  df-glb 18519  df-join 18520  df-meet 18521  df-p0 18597  df-p1 18598  df-lat 18606  df-clat 18673  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-subg 19333  df-cntz 19531  df-lsm 19850  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-invr 20618  df-dvr 20631  df-drng 20982  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-lsp 21247  df-lvec 21378  df-lsatoms 40033  df-oposet 40233  df-ol 40235  df-oml 40236  df-covers 40323  df-ats 40324  df-atl 40355  df-cvlat 40379  df-hlat 40408  df-llines 40555  df-lplanes 40556  df-lvols 40557  df-lines 40558  df-psubsp 40560  df-pmap 40561  df-padd 40853  df-lhyp 41045  df-laut 41046  df-ldil 41161  df-ltrn 41162  df-trl 41216  df-tendo 41812  df-edring 41814  df-disoa 42086  df-dvech 42136  df-dib 42196  df-dic 42230  df-dih 42286  df-doch 42405

This theorem is used by:  hdmapip0com  42974  hdmapoc  42988