Theorem lspsnne2 21020

Description: Two ways to express that vectors have different spans. (Contributed by NM, 20-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnne2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnne2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsnne2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspsnne2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspsnne2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspsnne2.e	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
lspsnne2	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))

Proof of Theorem lspsnne2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnne2.e	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
2		eqimss 4040	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
3		lspsnne2.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
5		lspsnne2.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6		lspsnne2.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		lspsnne2.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
8	3, 4, 5	lspsncl 20875	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
9	6, 7, 8	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
10		lspsnne2.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
11	3, 4, 5, 6, 9, 10	lspsnel5 20893	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})))
12	2, 11	imbitrrid 245	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌})))
13	12	necon3bd 2951	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌})))
14	1, 13	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937   ⊆ wss 3949  {csn 4632  ‘cfv 6553  Basecbs 17189  LModclmod 20757  LSubSpclss 20829  LSpanclspn 20869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-plusg 17255  df-0g 17432  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mgp 20089  df-ur 20136  df-ring 20189  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-lsp 20870

This theorem is referenced by:  lspsnnecom  21021  lspexchn1  21032  hdmaplem1  41284  hdmaplem2N  41285  mapdh9a  41302  hdmap1eulem  41335  hdmap11lem1  41354  hdmap11lem2  41355  hdmaprnlem1N  41362  hdmaprnlem3N  41363