Theorem lspsnne2 21208

Description: Two ways to express that vectors have different spans. (Contributed by NM, 20-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnne2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnne2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsnne2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspsnne2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspsnne2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspsnne2.e	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
lspsnne2	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))

Proof of Theorem lspsnne2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnne2.e	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
2		eqimss 3997	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
3		lspsnne2.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
5		lspsnne2.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6		lspsnne2.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		lspsnne2.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
8	3, 4, 5	lspsncl 21064	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
9	6, 7, 8	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
10		lspsnne2.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
11	3, 4, 5, 6, 9, 10	ellspsn5b 21082	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})))
12	2, 11	imbitrrid 249	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌})))
13	12	necon3bd 2974	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌})))
14	1, 13	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960   ⊆ wss 3907  {csn 4585  ‘cfv 6525  Basecbs 17257  LModclmod 20947  LSubSpclss 21018  LSpanclspn 21058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-plusg 17311  df-0g 17482  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-grp 18991  df-minusg 18992  df-sbg 18993  df-mgp 20205  df-ur 20252  df-ring 20305  df-lmod 20949  df-lss 21019  df-lsp 21059

This theorem is referenced by:  lspsnnecom  21209  lspexchn1  21220  hdmaplem1  42402  hdmaplem2N  42403  mapdh9a  42420  hdmap1eulem  42453  hdmap11lem1  42472  hdmap11lem2  42473  hdmaprnlem1N  42480  hdmaprnlem3N  42481