Theorem lspsnne2 21056

Description: Two ways to express that vectors have different spans. (Contributed by NM, 20-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnne2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnne2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsnne2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspsnne2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspsnne2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspsnne2.e	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
lspsnne2	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))

Proof of Theorem lspsnne2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnne2.e	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
2		eqimss 3993	. . . 4 ⊢ ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
3		lspsnne2.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
5		lspsnne2.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6		lspsnne2.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		lspsnne2.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
8	3, 4, 5	lspsncl 20911	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
9	6, 7, 8	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
10		lspsnne2.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
11	3, 4, 5, 6, 9, 10	ellspsn5b 20929	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})))
12	2, 11	imbitrrid 246	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌})))
13	12	necon3bd 2942	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌})))
14	1, 13	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   ⊆ wss 3902  {csn 4576  ‘cfv 6481  Basecbs 17120  LModclmod 20794  LSubSpclss 20865  LSpanclspn 20905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-mgp 20060  df-ur 20101  df-ring 20154  df-lmod 20796  df-lss 20866  df-lsp 20906

This theorem is referenced by:  lspsnnecom  21057  lspexchn1  21068  hdmaplem1  41816  hdmaplem2N  41817  mapdh9a  41834  hdmap1eulem  41867  hdmap11lem1  41886  hdmap11lem2  41887  hdmaprnlem1N  41894  hdmaprnlem3N  41895