Theorem lsatelbN 40203

Description: A nonzero vector in an atom determines the atom. (Contributed by NM, 3-Feb-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatelb.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsatelb.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatelb.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsatelb.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatelb.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatelb.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lsatelb.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lsatelbN	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ 𝑈 = (𝑁‘{𝑋})))

Proof of Theorem lsatelbN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatelb.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
2		lsatelb.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3		lsatelb.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
4		lsatelb.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
6		lsatelb.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝐴)
8		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
9		lsatelb.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
10		eldifsn 4747	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ))
11	9, 10	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ))
12	11	simprd 501	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
13	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ≠ 0 )
14	1, 2, 3, 5, 7, 8, 13	lsatel 40202	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 = (𝑁‘{𝑋}))
15		eqimss2 3971	. . . 4 ⊢ (𝑈 = (𝑁‘{𝑋}) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
16	15	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝑁‘{𝑋})) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
17		lsatelb.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
18		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
19		lveclmod 21393	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
20	4, 19	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
21	18, 3, 20, 6	lsatlssel 40194	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
22	9	eldifad 4053	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
23	17, 18, 2, 20, 21, 22	ellspsn5b 21282	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))
24	23	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝑁‘{𝑋})) → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))
25	16, 24	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝑁‘{𝑋})) → 𝑋 ∈ 𝑈)
26	14, 25	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ 𝑈 = (𝑁‘{𝑋})))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958   ⊆ wss 3899   ∖ cdif 4047  {csn 4587  ‘cfv 6546  Basecbs 17399  0_gc0g 17622  LModclmod 21147  LSubSpclss 21218  LSpanclspn 21258  LVecclvec 21389  LSAtomsclsa 40171

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-tpos 8254  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-plusg 17453  df-mulr 17454  df-0g 17624  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-grp 19159  df-minusg 19160  df-sbg 19161  df-cmn 20008  df-abl 20009  df-mgp 20373  df-rng 20387  df-ur 20420  df-ring 20473  df-oppr 20579  df-dvdsr 20599  df-unit 20600  df-invr 20630  df-drng 20994  df-lmod 21149  df-lss 21219  df-lsp 21259  df-lvec 21390  df-lsatoms 40173

This theorem is used by: (None)