Theorem lsatelbN 39024

Description: A nonzero vector in an atom determines the atom. (Contributed by NM, 3-Feb-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatelb.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsatelb.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatelb.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsatelb.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatelb.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatelb.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lsatelb.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lsatelbN	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ 𝑈 = (𝑁‘{𝑋})))

Proof of Theorem lsatelbN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatelb.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
2		lsatelb.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3		lsatelb.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
4		lsatelb.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
6		lsatelb.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝐴)
8		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
9		lsatelb.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
10		eldifsn 4762	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ))
11	9, 10	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ))
12	11	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ≠ 0 )
14	1, 2, 3, 5, 7, 8, 13	lsatel 39023	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 = (𝑁‘{𝑋}))
15		eqimss2 4018	. . . 4 ⊢ (𝑈 = (𝑁‘{𝑋}) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
16	15	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝑁‘{𝑋})) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
17		lsatelb.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
18		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
19		lveclmod 21064	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
20	4, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
21	18, 3, 20, 6	lsatlssel 39015	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
22	9	eldifad 3938	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
23	17, 18, 2, 20, 21, 22	ellspsn5b 20952	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))
24	23	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝑁‘{𝑋})) → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))
25	16, 24	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝑁‘{𝑋})) → 𝑋 ∈ 𝑈)
26	14, 25	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ 𝑈 = (𝑁‘{𝑋})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3923   ⊆ wss 3926  {csn 4601  ‘cfv 6531  Basecbs 17228  0_gc0g 17453  LModclmod 20817  LSubSpclss 20888  LSpanclspn 20928  LVecclvec 21060  LSAtomsclsa 38992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-oppr 20297  df-dvdsr 20317  df-unit 20318  df-invr 20348  df-drng 20691  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-lsp 20929  df-lvec 21061  df-lsatoms 38994

This theorem is referenced by: (None)