Theorem lsatelbN 38478

Description: A nonzero vector in an atom determines the atom. (Contributed by NM, 3-Feb-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatelb.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsatelb.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatelb.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsatelb.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatelb.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatelb.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lsatelb.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lsatelbN	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ 𝑈 = (𝑁‘{𝑋})))

Proof of Theorem lsatelbN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatelb.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
2		lsatelb.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3		lsatelb.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
4		lsatelb.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
6		lsatelb.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝐴)
8		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
9		lsatelb.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
10		eldifsn 4791	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ))
11	9, 10	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ))
12	11	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ≠ 0 )
14	1, 2, 3, 5, 7, 8, 13	lsatel 38477	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 = (𝑁‘{𝑋}))
15		eqimss2 4039	. . . 4 ⊢ (𝑈 = (𝑁‘{𝑋}) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
16	15	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝑁‘{𝑋})) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
17		lsatelb.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
18		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
19		lveclmod 20990	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
20	4, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
21	18, 3, 20, 6	lsatlssel 38469	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
22	9	eldifad 3959	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
23	17, 18, 2, 20, 21, 22	lspsnel5 20878	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))
24	23	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝑁‘{𝑋})) → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))
25	16, 24	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝑁‘{𝑋})) → 𝑋 ∈ 𝑈)
26	14, 25	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ 𝑈 = (𝑁‘{𝑋})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937   ∖ cdif 3944   ⊆ wss 3947  {csn 4629  ‘cfv 6548  Basecbs 17179  0_gc0g 17420  LModclmod 20742  LSubSpclss 20814  LSpanclspn 20854  LVecclvec 20986  LSAtomsclsa 38446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8231  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20272  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-drng 20625  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-lsp 20855  df-lvec 20987  df-lsatoms 38448

This theorem is referenced by: (None)