Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatelbN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatelbN 38478
Description: A nonzero vector in an atom determines the atom. (Contributed by NM, 3-Feb-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatelb.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsatelb.o 0 = (0g𝑊)
lsatelb.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsatelb.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatelb.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsatelb.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lsatelb.u (𝜑𝑈𝐴)
Assertion
Ref Expression
lsatelbN (𝜑 → (𝑋𝑈𝑈 = (𝑁‘{𝑋})))

Proof of Theorem lsatelbN
StepHypRef Expression
1 lsatelb.o . . 3 0 = (0g𝑊)
2 lsatelb.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3 lsatelb.a . . 3 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
4 lsatelb.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
54adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
6 lsatelb.u . . . 4 (𝜑𝑈𝐴)
76adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑈𝐴)
8 simpr 484 . . 3 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑋𝑈)
9 lsatelb.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
10 eldifsn 4791 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋𝑉𝑋0 ))
119, 10sylib 217 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝑉𝑋0 ))
1211simprd 495 . . . 4 (𝜑𝑋0 )
1312adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑋0 )
141, 2, 3, 5, 7, 8, 13lsatel 38477 . 2 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑈 = (𝑁‘{𝑋}))
15 eqimss2 4039 . . . 4 (𝑈 = (𝑁‘{𝑋}) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
1615adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑈 = (𝑁‘{𝑋})) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
17 lsatelb.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
18 eqid 2728 . . . . 5 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
19 lveclmod 20990 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
204, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2118, 3, 20, 6lsatlssel 38469 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
229eldifad 3959 . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
2317, 18, 2, 20, 21, 22lspsnel5 20878 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))
2423adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑈 = (𝑁‘{𝑋})) → (𝑋𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))
2516, 24mpbird 257 . 2 ((𝜑𝑈 = (𝑁‘{𝑋})) → 𝑋𝑈)
2614, 25impbida 800 1 (𝜑 → (𝑋𝑈𝑈 = (𝑁‘{𝑋})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2937  cdif 3944  wss 3947  {csn 4629  cfv 6548  Basecbs 17179  0gc0g 17420  LModclmod 20742  LSubSpclss 20814  LSpanclspn 20854  LVecclvec 20986  LSAtomsclsa 38446
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8231  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20272  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-drng 20625  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-lsp 20855  df-lvec 20987  df-lsatoms 38448
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator