Theorem lsatelbN 39115

Description: A nonzero vector in an atom determines the atom. (Contributed by NM, 3-Feb-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatelb.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsatelb.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatelb.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsatelb.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatelb.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatelb.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lsatelb.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lsatelbN	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ 𝑈 = (𝑁‘{𝑋})))

Proof of Theorem lsatelbN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatelb.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
2		lsatelb.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3		lsatelb.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
4		lsatelb.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
6		lsatelb.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝐴)
8		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
9		lsatelb.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
10		eldifsn 4735	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ))
11	9, 10	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ))
12	11	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ≠ 0 )
14	1, 2, 3, 5, 7, 8, 13	lsatel 39114	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 = (𝑁‘{𝑋}))
15		eqimss2 3989	. . . 4 ⊢ (𝑈 = (𝑁‘{𝑋}) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
16	15	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝑁‘{𝑋})) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
17		lsatelb.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
18		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
19		lveclmod 21040	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
20	4, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
21	18, 3, 20, 6	lsatlssel 39106	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
22	9	eldifad 3909	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
23	17, 18, 2, 20, 21, 22	ellspsn5b 20928	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))
24	23	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝑁‘{𝑋})) → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))
25	16, 24	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 = (𝑁‘{𝑋})) → 𝑋 ∈ 𝑈)
26	14, 25	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ 𝑈 = (𝑁‘{𝑋})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   ∖ cdif 3894   ⊆ wss 3897  {csn 4573  ‘cfv 6481  Basecbs 17120  0_gc0g 17343  LModclmod 20793  LSubSpclss 20864  LSpanclspn 20904  LVecclvec 21036  LSAtomsclsa 39083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-ring 20153  df-oppr 20255  df-dvdsr 20275  df-unit 20276  df-invr 20306  df-drng 20646  df-lmod 20795  df-lss 20865  df-lsp 20905  df-lvec 21037  df-lsatoms 39085

This theorem is referenced by: (None)