Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh6aN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh6aN 40227
Description: Lemma for mapdh6N 40239. Part (6) in [Baer] p. 47, case 1. (Contributed by NM, 23-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh.q 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
mapdh.i 𝐼 = (π‘₯ ∈ V ↦ if((2nd β€˜π‘₯) = 0 , 𝑄, (β„©β„Ž ∈ 𝐷 ((π‘€β€˜(π‘β€˜{(2nd β€˜π‘₯)})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{((1st β€˜(1st β€˜π‘₯)) βˆ’ (2nd β€˜π‘₯))})) = (π½β€˜{((2nd β€˜(1st β€˜π‘₯))π‘…β„Ž)})))))
mapdh.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
mapdh.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
mapdh.s βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
mapdhc.o 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
mapdh.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
mapdh.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
mapdh.r 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
mapdh.j 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
mapdh.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
mapdhc.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh.mn (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
mapdhcl.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdh.p + = (+gβ€˜π‘ˆ)
mapdh.a ✚ = (+gβ€˜πΆ)
mapdhe6.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdhe6.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdhe6.xn (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
mapdh6.yz (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{𝑍}))
mapdh6.fg (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) = 𝐺)
mapdh6.fe (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©) = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
mapdh6aN (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩) = ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐷,β„Ž   β„Ž,𝐹,π‘₯   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝑁   π‘₯, 0   π‘₯,𝑄   π‘₯,𝑅   π‘₯, βˆ’   β„Ž,𝑋,π‘₯   β„Ž,π‘Œ,π‘₯   πœ‘,β„Ž   0 ,β„Ž   𝐢,β„Ž   𝐷,β„Ž   β„Ž,𝐽   β„Ž,𝑀   β„Ž,𝑁   𝑅,β„Ž   π‘ˆ,β„Ž   βˆ’ ,β„Ž   β„Ž,𝐺,π‘₯   β„Ž,𝐸   β„Ž,𝑍,π‘₯   ✚ ,β„Ž   β„Ž,𝐼   + ,β„Ž,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐢(π‘₯)   ✚ (π‘₯)   𝑄(β„Ž)   π‘ˆ(π‘₯)   𝐸(π‘₯)   𝐻(π‘₯,β„Ž)   𝐼(π‘₯)   𝐾(π‘₯,β„Ž)   𝑉(π‘₯,β„Ž)   π‘Š(π‘₯,β„Ž)

Proof of Theorem mapdh6aN
StepHypRef Expression
1 mapdh.q . . . 4 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
2 mapdh.i . . . 4 𝐼 = (π‘₯ ∈ V ↦ if((2nd β€˜π‘₯) = 0 , 𝑄, (β„©β„Ž ∈ 𝐷 ((π‘€β€˜(π‘β€˜{(2nd β€˜π‘₯)})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{((1st β€˜(1st β€˜π‘₯)) βˆ’ (2nd β€˜π‘₯))})) = (π½β€˜{((2nd β€˜(1st β€˜π‘₯))π‘…β„Ž)})))))
3 mapdh.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
4 mapdh.m . . . 4 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 mapdh.u . . . 4 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 mapdh.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
7 mapdh.s . . . 4 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
8 mapdhc.o . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
9 mapdh.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
10 mapdh.c . . . 4 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
11 mapdh.d . . . 4 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
12 mapdh.r . . . 4 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
13 mapdh.j . . . 4 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
14 mapdh.k . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
15 mapdhc.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
16 mapdh.mn . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
17 mapdhcl.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
18 mapdh.p . . . 4 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
19 mapdh.a . . . 4 ✚ = (+gβ€˜πΆ)
20 mapdhe6.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
21 mapdhe6.z . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
22 mapdhe6.xn . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
23 mapdh6.yz . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{𝑍}))
24 mapdh6.fg . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) = 𝐺)
25 mapdh6.fe . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©) = 𝐸)
261, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25mapdh6lem2N 40226 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)})) = (π½β€˜{(𝐺 ✚ 𝐸)}))
2724, 25oveq12d 7380 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©)) = (𝐺 ✚ 𝐸))
2827sneqd 4603 . . . 4 (πœ‘ β†’ {((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©))} = {(𝐺 ✚ 𝐸)})
2928fveq2d 6851 . . 3 (πœ‘ β†’ (π½β€˜{((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©))}) = (π½β€˜{(𝐺 ✚ 𝐸)}))
3026, 29eqtr4d 2780 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)})) = (π½β€˜{((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©))}))
311, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25mapdh6lem1N 40225 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))})) = (π½β€˜{(𝐹𝑅(𝐺 ✚ 𝐸))}))
3227oveq2d 7378 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹𝑅((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©))) = (𝐹𝑅(𝐺 ✚ 𝐸)))
3332sneqd 4603 . . . 4 (πœ‘ β†’ {(𝐹𝑅((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©)))} = {(𝐹𝑅(𝐺 ✚ 𝐸))})
3433fveq2d 6851 . . 3 (πœ‘ β†’ (π½β€˜{(𝐹𝑅((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©)))}) = (π½β€˜{(𝐹𝑅(𝐺 ✚ 𝐸))}))
3531, 34eqtr4d 2780 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))})) = (π½β€˜{(𝐹𝑅((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©)))}))
363, 5, 14dvhlmod 39602 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
3720eldifad 3927 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
3821eldifad 3927 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
396, 18lmodvacl 20352 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ + 𝑍) ∈ 𝑉)
4036, 37, 38, 39syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + 𝑍) ∈ 𝑉)
416, 18, 8, 9, 36, 37, 38, 23lmodindp1 20491 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 )
42 eldifsn 4752 . . . 4 ((π‘Œ + 𝑍) ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ↔ ((π‘Œ + 𝑍) ∈ 𝑉 ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ))
4340, 41, 42sylanbrc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + 𝑍) ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
443, 10, 14lcdlmod 40084 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LMod)
453, 5, 14dvhlvec 39601 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
4617eldifad 3927 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
476, 8, 9, 45, 37, 21, 46, 23, 22lspindp2 20612 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑍 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
4847simpld 496 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
491, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 37, 48mapdhcl 40219 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ∈ 𝐷)
506, 8, 9, 45, 20, 38, 46, 23, 22lspindp1 20610 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑍}) ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
5150simpld 496 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑍}))
521, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 38, 51mapdhcl 40219 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©) ∈ 𝐷)
5311, 19lmodvacl 20352 . . . 4 ((𝐢 ∈ LMod ∧ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ∈ 𝐷 ∧ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©) ∈ 𝐷) β†’ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©)) ∈ 𝐷)
5444, 49, 52, 53syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©)) ∈ 𝐷)
55 eqid 2737 . . . . . 6 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
566, 55, 9, 36, 37, 38lspprcl 20455 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
576, 18, 9, 36, 37, 38lspprvacl 20476 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + 𝑍) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
5855, 9, 36, 56, 57lspsnel5a 20473 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}) βŠ† (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
596, 55, 9, 36, 56, 46lspsnel5 20472 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) ↔ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍})))
6022, 59mtbid 324 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
61 nssne2 4010 . . . . 5 (((π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}) βŠ† (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) ∧ Β¬ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍})) β†’ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}))
6258, 60, 61syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}))
6362necomd 3000 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}))
641, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 43, 54, 63mapdheq 40220 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩) = ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©)) ↔ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)})) = (π½β€˜{((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©))}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))})) = (π½β€˜{(𝐹𝑅((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©)))}))))
6530, 35, 64mpbir2and 712 1 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩) = ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   βŠ† wss 3915  ifcif 4491  {csn 4591  {cpr 4593  βŸ¨cotp 4599   ↦ cmpt 5193  β€˜cfv 6501  β„©crio 7317  (class class class)co 7362  1st c1st 7924  2nd c2nd 7925  Basecbs 17090  +gcplusg 17140  0gc0g 17328  -gcsg 18757  LModclmod 20338  LSubSpclss 20408  LSpanclspn 20448  HLchlt 37841  LHypclh 38476  DVecHcdvh 39570  LCDualclcd 40078  mapdcmpd 40116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-riotaBAD 37444
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-tpos 8162  df-undef 8209  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-0g 17330  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-proset 18191  df-poset 18209  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-p1 18322  df-lat 18328  df-clat 18395  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-subg 18932  df-cntz 19104  df-oppg 19131  df-lsm 19425  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-dvr 20119  df-drng 20201  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-lvec 20580  df-lsatoms 37467  df-lshyp 37468  df-lcv 37510  df-lfl 37549  df-lkr 37577  df-ldual 37615  df-oposet 37667  df-ol 37669  df-oml 37670  df-covers 37757  df-ats 37758  df-atl 37789  df-cvlat 37813  df-hlat 37842  df-llines 37990  df-lplanes 37991  df-lvols 37992  df-lines 37993  df-psubsp 37995  df-pmap 37996  df-padd 38288  df-lhyp 38480  df-laut 38481  df-ldil 38596  df-ltrn 38597  df-trl 38651  df-tgrp 39235  df-tendo 39247  df-edring 39249  df-dveca 39495  df-disoa 39521  df-dvech 39571  df-dib 39631  df-dic 39665  df-dih 39721  df-doch 39840  df-djh 39887  df-lcdual 40079  df-mapd 40117
This theorem is referenced by:  mapdh6dN  40231  mapdh6eN  40232  mapdh6fN  40233  mapdh6jN  40237
  Copyright terms: Public domain W3C validator