Theorem mapdh6aN 42567

Description: Lemma for mapdh6N 42579. Part (6) in [Baer] p. 47, case 1. (Contributed by NM, 23-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdhc.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdh.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdhc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdhcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
mapdh.a	⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
mapdhe6.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdhe6.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdhe6.xn	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
mapdh6.yz	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
mapdh6.fg	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
mapdh6.fe	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
mapdh6aN	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷,ℎ   ℎ,𝐹,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥, 0   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥, −   ℎ,𝑋,𝑥   ℎ,𝑌,𝑥   𝜑,ℎ   0 ,ℎ   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ   ℎ,𝐽   ℎ,𝑀   ℎ,𝑁   𝑅,ℎ   𝑈,ℎ   − ,ℎ   ℎ,𝐺,𝑥   ℎ,𝐸   ℎ,𝑍,𝑥   ✚ ,ℎ   ℎ,𝐼   + ,ℎ,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   ✚ (𝑥)   𝑄(ℎ)   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐻(𝑥, ℎ)   𝐼(𝑥)   𝐾(𝑥, ℎ)   𝑉(𝑥, ℎ)   𝑊(𝑥, ℎ)

Proof of Theorem mapdh6aN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
2		mapdh.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
3		mapdh.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		mapdh.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
5		mapdh.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		mapdh.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
7		mapdh.s	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑈)
8		mapdhc.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
9		mapdh.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
10		mapdh.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
11		mapdh.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
12		mapdh.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
13		mapdh.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
14		mapdh.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
15		mapdhc.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
16		mapdh.mn	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
17		mapdhcl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
18		mapdh.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑈)
19		mapdh.a	. . . 4 ⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
20		mapdhe6.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21		mapdhe6.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
22		mapdhe6.xn	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
23		mapdh6.yz	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
24		mapdh6.fg	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
25		mapdh6.fe	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25	mapdh6lem2N 42566	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐺 ✚ 𝐸)}))
27	24, 25	oveq12d 7437	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)) = (𝐺 ✚ 𝐸))
28	27	sneqd 4603	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))} = {(𝐺 ✚ 𝐸)})
29	28	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘{((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))}) = (𝐽‘{(𝐺 ✚ 𝐸)}))
30	26, 29	eqtr4d 2803	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})) = (𝐽‘{((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))}))
31	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25	mapdh6lem1N 42565	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅(𝐺 ✚ 𝐸))}))
32	27	oveq2d 7435	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹𝑅((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))) = (𝐹𝑅(𝐺 ✚ 𝐸)))
33	32	sneqd 4603	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {(𝐹𝑅((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))} = {(𝐹𝑅(𝐺 ✚ 𝐸))})
34	33	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘{(𝐹𝑅((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))}) = (𝐽‘{(𝐹𝑅(𝐺 ✚ 𝐸))}))
35	31, 34	eqtr4d 2803	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))}))
36	3, 5, 14	dvhlmod 41942	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
37	20	eldifad 3918	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
38	21	eldifad 3918	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
39	6, 18	lmodvacl 21046	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
40	36, 37, 38, 39	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
41	6, 18, 8, 9, 36, 37, 38, 23	lmodindp1 21185	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 )
42		eldifsn 4755	. . . 4 ⊢ ((𝑌 + 𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ))
43	40, 41, 42	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
44	3, 10, 14	lcdlmod 42424	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
45	3, 5, 14	dvhlvec 41941	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
46	17	eldifad 3918	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
47	6, 8, 9, 45, 37, 21, 46, 23, 22	lspindp2 21309	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
48	47	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
49	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 37, 48	mapdhcl 42559	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)
50	6, 8, 9, 45, 20, 38, 46, 23, 22	lspindp1 21307	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}) ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
51	50	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
52	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 38, 51	mapdhcl 42559	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) ∈ 𝐷)
53	11, 19	lmodvacl 21046	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷 ∧ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) ∈ 𝐷) → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)) ∈ 𝐷)
54	44, 49, 52, 53	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)) ∈ 𝐷)
55		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
56	6, 55, 9, 36, 37, 38	lspprcl 21149	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
57	6, 18, 9, 36, 37, 38	lspprvacl 21170	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
58	55, 9, 36, 56, 57	ellspsn5 21167	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
59	6, 55, 9, 36, 56, 46	ellspsn5b 21166	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})))
60	22, 59	mtbid 327	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
61		nssne2 4001	. . . . 5 ⊢ (((𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∧ ¬ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})) → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
62	58, 60, 61	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
63	62	necomd 3015	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))
64	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 43, 54, 63	mapdheq 42560	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)) ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})) = (𝐽‘{((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))}))))
65	30, 35, 64	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ✚ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  Vcvv 3457   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  ifcif 4489  {csn 4591  {cpr 4593  ⟨cotp 4599   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540  ℩crio 7375  (class class class)co 7419  1^st c1st 7990  2^nd c2nd 7991  Basecbs 17291  +_gcplusg 17332  0_gc0g 17514  -_gcsg 19046  LModclmod 21031  LSubSpclss 21102  LSpanclspn 21142  HLchlt 40182  LHypclh 40816  DVecHcdvh 41910  LCDualclcd 42418  mapdcmpd 42456

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-riotaBAD 39785

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-undef 8275  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-fz 13552  df-struct 17229  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-sca 17348  df-vsca 17349  df-0g 17516  df-mre 17660  df-mrc 17661  df-acs 17663  df-proset 18372  df-poset 18391  df-plt 18406  df-lub 18422  df-glb 18423  df-join 18424  df-meet 18425  df-p0 18501  df-p1 18502  df-lat 18510  df-clat 18577  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-submnd 18879  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-sbg 19049  df-subg 19233  df-cntz 19431  df-oppg 19460  df-lsm 19750  df-cmn 19896  df-abl 19897  df-mgp 20261  df-rng 20275  df-ur 20308  df-ring 20361  df-oppr 20465  df-dvdsr 20485  df-unit 20486  df-invr 20516  df-dvr 20529  df-nzr 20660  df-rlreg 20843  df-domn 20844  df-drng 20879  df-lmod 21033  df-lss 21103  df-lsp 21143  df-lvec 21274  df-lsatoms 39808  df-lshyp 39809  df-lcv 39851  df-lfl 39890  df-lkr 39918  df-ldual 39956  df-oposet 40008  df-ol 40010  df-oml 40011  df-covers 40098  df-ats 40099  df-atl 40130  df-cvlat 40154  df-hlat 40183  df-llines 40330  df-lplanes 40331  df-lvols 40332  df-lines 40333  df-psubsp 40335  df-pmap 40336  df-padd 40628  df-lhyp 40820  df-laut 40821  df-ldil 40936  df-ltrn 40937  df-trl 40991  df-tgrp 41575  df-tendo 41587  df-edring 41589  df-dveca 41835  df-disoa 41861  df-dvech 41911  df-dib 41971  df-dic 42005  df-dih 42061  df-doch 42180  df-djh 42227  df-lcdual 42419  df-mapd 42457

This theorem is used by:  mapdh6dN  42571  mapdh6eN  42572  mapdh6fN  42573  mapdh6jN  42577