Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh6aN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh6aN 38870
 Description: Lemma for mapdh6N 38882. Part (6) in [Baer] p. 47, case 1. (Contributed by NM, 23-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh.q 𝑄 = (0g𝐶)
mapdh.i 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
mapdh.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh.s = (-g𝑈)
mapdhc.o 0 = (0g𝑈)
mapdh.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdh.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdhc.f (𝜑𝐹𝐷)
mapdh.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdhcl.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh.p + = (+g𝑈)
mapdh.a = (+g𝐶)
mapdhe6.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdhe6.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdhe6.xn (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
mapdh6.yz (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
mapdh6.fg (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
mapdh6.fe (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
mapdh6aN (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷,   ,𝐹,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥, 0   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥,   ,𝑋,𝑥   ,𝑌,𝑥   𝜑,   0 ,   𝐶,   𝐷,   ,𝐽   ,𝑀   ,𝑁   𝑅,   𝑈,   ,   ,𝐺,𝑥   ,𝐸   ,𝑍,𝑥   ,   ,𝐼   + ,,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   (𝑥)   𝑄()   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐻(𝑥,)   𝐼(𝑥)   𝐾(𝑥,)   𝑉(𝑥,)   𝑊(𝑥,)

Proof of Theorem mapdh6aN
StepHypRef Expression
1 mapdh.q . . . 4 𝑄 = (0g𝐶)
2 mapdh.i . . . 4 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
3 mapdh.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 mapdh.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
5 mapdh.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6 mapdh.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
7 mapdh.s . . . 4 = (-g𝑈)
8 mapdhc.o . . . 4 0 = (0g𝑈)
9 mapdh.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
10 mapdh.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
11 mapdh.d . . . 4 𝐷 = (Base‘𝐶)
12 mapdh.r . . . 4 𝑅 = (-g𝐶)
13 mapdh.j . . . 4 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
14 mapdh.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
15 mapdhc.f . . . 4 (𝜑𝐹𝐷)
16 mapdh.mn . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
17 mapdhcl.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
18 mapdh.p . . . 4 + = (+g𝑈)
19 mapdh.a . . . 4 = (+g𝐶)
20 mapdhe6.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21 mapdhe6.z . . . 4 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
22 mapdhe6.xn . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
23 mapdh6.yz . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
24 mapdh6.fg . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
25 mapdh6.fe . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
261, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25mapdh6lem2N 38869 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐺 𝐸)}))
2724, 25oveq12d 7173 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)) = (𝐺 𝐸))
2827sneqd 4578 . . . 4 (𝜑 → {((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))} = {(𝐺 𝐸)})
2928fveq2d 6673 . . 3 (𝜑 → (𝐽‘{((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))}) = (𝐽‘{(𝐺 𝐸)}))
3026, 29eqtr4d 2859 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})) = (𝐽‘{((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))}))
311, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25mapdh6lem1N 38868 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅(𝐺 𝐸))}))
3227oveq2d 7171 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑅((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))) = (𝐹𝑅(𝐺 𝐸)))
3332sneqd 4578 . . . 4 (𝜑 → {(𝐹𝑅((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))} = {(𝐹𝑅(𝐺 𝐸))})
3433fveq2d 6673 . . 3 (𝜑 → (𝐽‘{(𝐹𝑅((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))}) = (𝐽‘{(𝐹𝑅(𝐺 𝐸))}))
3531, 34eqtr4d 2859 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))}))
363, 5, 14dvhlmod 38245 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
3720eldifad 3947 . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
3821eldifad 3947 . . . . 5 (𝜑𝑍𝑉)
396, 18lmodvacl 19647 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉𝑍𝑉) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
4036, 37, 38, 39syl3anc 1367 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
416, 18, 8, 9, 36, 37, 38, 23lmodindp1 19785 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 )
42 eldifsn 4718 . . . 4 ((𝑌 + 𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ))
4340, 41, 42sylanbrc 585 . . 3 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
443, 10, 14lcdlmod 38727 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
453, 5, 14dvhlvec 38244 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
4617eldifad 3947 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑉)
476, 8, 9, 45, 37, 21, 46, 23, 22lspindp2 19906 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
4847simpld 497 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
491, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 37, 48mapdhcl 38862 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)
506, 8, 9, 45, 20, 38, 46, 23, 22lspindp1 19904 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}) ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
5150simpld 497 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
521, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 38, 51mapdhcl 38862 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) ∈ 𝐷)
5311, 19lmodvacl 19647 . . . 4 ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷 ∧ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) ∈ 𝐷) → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)) ∈ 𝐷)
5444, 49, 52, 53syl3anc 1367 . . 3 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)) ∈ 𝐷)
55 eqid 2821 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
566, 55, 9, 36, 37, 38lspprcl 19749 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
576, 18, 9, 36, 37, 38lspprvacl 19770 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
5855, 9, 36, 56, 57lspsnel5a 19767 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
596, 55, 9, 36, 56, 46lspsnel5 19766 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})))
6022, 59mtbid 326 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
61 nssne2 4027 . . . . 5 (((𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∧ ¬ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})) → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
6258, 60, 61syl2anc 586 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
6362necomd 3071 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))
641, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 43, 54, 63mapdheq 38863 . 2 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)) ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})) = (𝐽‘{((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))}))))
6530, 35, 64mpbir2and 711 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  Vcvv 3494   ∖ cdif 3932   ⊆ wss 3935  ifcif 4466  {csn 4566  {cpr 4568  ⟨cotp 4574   ↦ cmpt 5145  ‘cfv 6354  ℩crio 7112  (class class class)co 7155  1st c1st 7686  2nd c2nd 7687  Basecbs 16482  +gcplusg 16564  0gc0g 16712  -gcsg 18104  LModclmod 19633  LSubSpclss 19702  LSpanclspn 19742  HLchlt 36485  LHypclh 37119  DVecHcdvh 38213  LCDualclcd 38721  mapdcmpd 38759 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-riotaBAD 36088 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-ot 4575  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-iin 4921  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-tpos 7891  df-undef 7938  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12892  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-0g 16714  df-mre 16856  df-mrc 16857  df-acs 16859  df-proset 17537  df-poset 17555  df-plt 17567  df-lub 17583  df-glb 17584  df-join 17585  df-meet 17586  df-p0 17648  df-p1 17649  df-lat 17655  df-clat 17717  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-submnd 17956  df-grp 18105  df-minusg 18106  df-sbg 18107  df-subg 18275  df-cntz 18446  df-oppg 18473  df-lsm 18760  df-cmn 18907  df-abl 18908  df-mgp 19239  df-ur 19251  df-ring 19298  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-dvr 19432  df-drng 19503  df-lmod 19635  df-lss 19703  df-lsp 19743  df-lvec 19874  df-lsatoms 36111  df-lshyp 36112  df-lcv 36154  df-lfl 36193  df-lkr 36221  df-ldual 36259  df-oposet 36311  df-ol 36313  df-oml 36314  df-covers 36401  df-ats 36402  df-atl 36433  df-cvlat 36457  df-hlat 36486  df-llines 36633  df-lplanes 36634  df-lvols 36635  df-lines 36636  df-psubsp 36638  df-pmap 36639  df-padd 36931  df-lhyp 37123  df-laut 37124  df-ldil 37239  df-ltrn 37240  df-trl 37294  df-tgrp 37878  df-tendo 37890  df-edring 37892  df-dveca 38138  df-disoa 38164  df-dvech 38214  df-dib 38274  df-dic 38308  df-dih 38364  df-doch 38483  df-djh 38530  df-lcdual 38722  df-mapd 38760 This theorem is referenced by:  mapdh6dN  38874  mapdh6eN  38875  mapdh6fN  38876  mapdh6jN  38880
 Copyright terms: Public domain W3C validator