MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ellspsn5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ellspsn5 20994
Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 20-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ellspsn5.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
ellspsn5.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
ellspsn5.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
ellspsn5.a (𝜑𝑈𝑆)
ellspsn5.x (𝜑𝑋𝑈)
Assertion
Ref Expression
ellspsn5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem ellspsn5
StepHypRef Expression
1 ellspsn5.x . 2 (𝜑𝑋𝑈)
2 eqid 2737 . . 3 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3 ellspsn5.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4 ellspsn5.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5 ellspsn5.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
6 ellspsn5.a . . 3 (𝜑𝑈𝑆)
72, 3lssel 20935 . . . 4 ((𝑈𝑆𝑋𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
86, 1, 7syl2anc 584 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
92, 3, 4, 5, 6, 8ellspsn5b 20993 . 2 (𝜑 → (𝑋𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))
101, 9mpbid 232 1 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951  {csn 4626  cfv 6561  Basecbs 17247  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929  LSpanclspn 20969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970
This theorem is referenced by:  lssats2  20998  lspsn  21000  lspsnvsi  21002  lsmelval2  21084  lspprabs  21094  lspvadd  21095  lspabs3  21123  lsmcv  21143  lspsnat  21147  lsppratlem6  21154  issubassa2  21912  lshpnel  38984  lsatel  39006  lsmsat  39009  lssatomic  39012  lssats  39013  lsat0cv  39034  dia2dimlem10  41075  dochsatshpb  41454  lclkrlem2f  41514  lcfrlem25  41569  lcfrlem35  41579  mapdval2N  41632  mapdrvallem2  41647  mapdpglem8  41681  mapdpglem13  41686  mapdindp0  41721  mapdh6aN  41737  mapdh8e  41786  mapdh9a  41791  hdmap1l6a  41811  hdmapval0  41835  hdmapval3lemN  41839  hdmap10lem  41841  hdmap11lem1  41843  hdmap11lem2  41844  hdmaprnlem4N  41855  hdmaprnlem3eN  41860
  Copyright terms: Public domain W3C validator