MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ellspsn5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ellspsn5 21011
Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 20-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ellspsn5.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
ellspsn5.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
ellspsn5.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
ellspsn5.a (𝜑𝑈𝑆)
ellspsn5.x (𝜑𝑋𝑈)
Assertion
Ref Expression
ellspsn5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem ellspsn5
StepHypRef Expression
1 ellspsn5.x . 2 (𝜑𝑋𝑈)
2 eqid 2734 . . 3 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3 ellspsn5.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4 ellspsn5.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5 ellspsn5.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
6 ellspsn5.a . . 3 (𝜑𝑈𝑆)
72, 3lssel 20952 . . . 4 ((𝑈𝑆𝑋𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
86, 1, 7syl2anc 584 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
92, 3, 4, 5, 6, 8ellspsn5b 21010 . 2 (𝜑 → (𝑋𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))
101, 9mpbid 232 1 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1536  wcel 2105  wss 3962  {csn 4630  cfv 6562  Basecbs 17244  LModclmod 20874  LSubSpclss 20946  LSpanclspn 20986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-lsp 20987
This theorem is referenced by:  lssats2  21015  lspsn  21017  lspsnvsi  21019  lsmelval2  21101  lspprabs  21111  lspvadd  21112  lspabs3  21140  lsmcv  21160  lspsnat  21164  lsppratlem6  21171  issubassa2  21929  lshpnel  38964  lsatel  38986  lsmsat  38989  lssatomic  38992  lssats  38993  lsat0cv  39014  dia2dimlem10  41055  dochsatshpb  41434  lclkrlem2f  41494  lcfrlem25  41549  lcfrlem35  41559  mapdval2N  41612  mapdrvallem2  41627  mapdpglem8  41661  mapdpglem13  41666  mapdindp0  41701  mapdh6aN  41717  mapdh8e  41766  mapdh9a  41771  hdmap1l6a  41791  hdmapval0  41815  hdmapval3lemN  41819  hdmap10lem  41821  hdmap11lem1  41823  hdmap11lem2  41824  hdmaprnlem4N  41835  hdmaprnlem3eN  41840
  Copyright terms: Public domain W3C validator