Theorem ellspsn5 20924

Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 20-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ellspsn5.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
ellspsn5.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
ellspsn5.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ellspsn5.a	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
ellspsn5.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
ellspsn5	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem ellspsn5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellspsn5.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		ellspsn5.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		ellspsn5.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5		ellspsn5.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		ellspsn5.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
7	2, 3	lssel 20865	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
8	6, 1, 7	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
9	2, 3, 4, 5, 6, 8	ellspsn5b 20923	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))
10	1, 9	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897  {csn 4571  ‘cfv 6476  Basecbs 17115  LModclmod 20788  LSubSpclss 20859  LSpanclspn 20899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-0g 17340  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-lmod 20790  df-lss 20860  df-lsp 20900

This theorem is referenced by:  lssats2  20928  lspsn  20930  lspsnvsi  20932  lsmelval2  21014  lspprabs  21024  lspvadd  21025  lspabs3  21053  lsmcv  21073  lspsnat  21077  lsppratlem6  21084  issubassa2  21824  lshpnel  39022  lsatel  39044  lsmsat  39047  lssatomic  39050  lssats  39051  lsat0cv  39072  dia2dimlem10  41112  dochsatshpb  41491  lclkrlem2f  41551  lcfrlem25  41606  lcfrlem35  41616  mapdval2N  41669  mapdrvallem2  41684  mapdpglem8  41718  mapdpglem13  41723  mapdindp0  41758  mapdh6aN  41774  mapdh8e  41823  mapdh9a  41828  hdmap1l6a  41848  hdmapval0  41872  hdmapval3lemN  41876  hdmap10lem  41878  hdmap11lem1  41880  hdmap11lem2  41881  hdmaprnlem4N  41892  hdmaprnlem3eN  41897