Theorem ellspsn5 21091

Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 20-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ellspsn5.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
ellspsn5.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
ellspsn5.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ellspsn5.a	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
ellspsn5.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
ellspsn5	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem ellspsn5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellspsn5.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
2		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		ellspsn5.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		ellspsn5.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5		ellspsn5.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		ellspsn5.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
7	2, 3	lssel 21032	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
8	6, 1, 7	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
9	2, 3, 4, 5, 6, 8	ellspsn5b 21090	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))
10	1, 9	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913  {csn 4591  ‘cfv 6533  Basecbs 17265  LModclmod 20955  LSubSpclss 21026  LSpanclspn 21066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-0g 17490  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-grp 18999  df-lmod 20957  df-lss 21027  df-lsp 21067

This theorem is referenced by:  lssats2  21095  lspsn  21097  lspsnvsi  21099  lsmelval2  21180  lspprabs  21190  lspvadd  21191  lspabs3  21219  lsmcv  21239  lspsnat  21243  lsppratlem6  21250  issubassa2  22007  lshpnel  39642  lsatel  39664  lsmsat  39667  lssatomic  39670  lssats  39671  lsat0cv  39692  dia2dimlem10  41732  dochsatshpb  42111  lclkrlem2f  42171  lcfrlem25  42226  lcfrlem35  42236  mapdval2N  42289  mapdrvallem2  42304  mapdpglem8  42338  mapdpglem13  42343  mapdindp0  42378  mapdh6aN  42394  mapdh8e  42443  mapdh9a  42448  hdmap1l6a  42468  hdmapval0  42492  hdmapval3lemN  42496  hdmap10lem  42498  hdmap11lem1  42500  hdmap11lem2  42501  hdmaprnlem4N  42512  hdmaprnlem3eN  42517