Theorem ellspsn5 21277

Description: Relationship between a vector and the 1-dim (or 0-dim) subspace it generates. (Contributed by NM, 20-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ellspsn5.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
ellspsn5.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
ellspsn5.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ellspsn5.a	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
ellspsn5.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
ellspsn5	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem ellspsn5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellspsn5.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		ellspsn5.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		ellspsn5.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5		ellspsn5.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		ellspsn5.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
7	2, 3	lssel 21218	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
8	6, 1, 7	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
9	2, 3, 4, 5, 6, 8	ellspsn5b 21276	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))
10	1, 9	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895  {csn 4584  ‘cfv 6539  Basecbs 17393  LModclmod 21141  LSubSpclss 21212  LSpanclspn 21252

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-0g 17618  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-grp 19153  df-lmod 21143  df-lss 21213  df-lsp 21253

This theorem is used by:  lssats2  21281  lspsn  21283  lspsnvsi  21285  lsmelval2  21366  lspprabs  21376  lspvadd  21377  lspabs3  21405  lsmcv  21425  lspsnat  21429  lsppratlem6  21436  issubassa2  22206  lshpnel  40134  lsatel  40156  lsmsat  40159  lssatomic  40162  lssats  40163  lsat0cv  40184  dia2dimlem10  42224  dochsatshpb  42603  lclkrlem2f  42663  lcfrlem25  42718  lcfrlem35  42728  mapdval2N  42781  mapdrvallem2  42796  mapdpglem8  42830  mapdpglem13  42835  mapdindp0  42870  mapdh6aN  42886  mapdh8e  42935  mapdh9a  42940  hdmap1l6a  42960  hdmapval0  42984  hdmapval3lemN  42988  hdmap10lem  42990  hdmap11lem1  42992  hdmap11lem2  42993  hdmaprnlem4N  43004  hdmaprnlem3eN  43009