Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap1l6a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap1l6a 41811
Description: Lemma for hdmap1l6 41823. Part (6) in [Baer] p. 47, case 1. (Contributed by NM, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap1l6.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap1l6.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap1l6.p + = (+g𝑈)
hdmap1l6.s = (-g𝑈)
hdmap1l6c.o 0 = (0g𝑈)
hdmap1l6.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap1l6.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmap1l6.a = (+g𝐶)
hdmap1l6.r 𝑅 = (-g𝐶)
hdmap1l6.q 𝑄 = (0g𝐶)
hdmap1l6.l 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmap1l6.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.i 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmap1l6.f (𝜑𝐹𝐷)
hdmap1l6cl.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1l6.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
hdmap1l6e.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1l6e.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1l6e.xn (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
hdmap1l6.yz (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
hdmap1l6.fg (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
hdmap1l6.fe (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
hdmap1l6a (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))

Proof of Theorem hdmap1l6a
StepHypRef Expression
1 hdmap1l6.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmap1l6.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmap1l6.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 hdmap1l6.p . . . 4 + = (+g𝑈)
5 hdmap1l6.s . . . 4 = (-g𝑈)
6 hdmap1l6c.o . . . 4 0 = (0g𝑈)
7 hdmap1l6.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8 hdmap1l6.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
9 hdmap1l6.d . . . 4 𝐷 = (Base‘𝐶)
10 hdmap1l6.a . . . 4 = (+g𝐶)
11 hdmap1l6.r . . . 4 𝑅 = (-g𝐶)
12 hdmap1l6.q . . . 4 𝑄 = (0g𝐶)
13 hdmap1l6.l . . . 4 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
14 hdmap1l6.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
15 hdmap1l6.i . . . 4 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
16 hdmap1l6.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
17 hdmap1l6.f . . . 4 (𝜑𝐹𝐷)
18 hdmap1l6cl.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19 hdmap1l6.mn . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
20 hdmap1l6e.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21 hdmap1l6e.z . . . 4 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
22 hdmap1l6e.xn . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
23 hdmap1l6.yz . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
24 hdmap1l6.fg . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
25 hdmap1l6.fe . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
261, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25hdmap1l6lem2 41810 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})) = (𝐿‘{(𝐺 𝐸)}))
2724, 25oveq12d 7449 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)) = (𝐺 𝐸))
2827sneqd 4638 . . . 4 (𝜑 → {((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))} = {(𝐺 𝐸)})
2928fveq2d 6910 . . 3 (𝜑 → (𝐿‘{((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))}) = (𝐿‘{(𝐺 𝐸)}))
3026, 29eqtr4d 2780 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})) = (𝐿‘{((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))}))
311, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25hdmap1l6lem1 41809 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅(𝐺 𝐸))}))
3227oveq2d 7447 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑅((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))) = (𝐹𝑅(𝐺 𝐸)))
3332sneqd 4638 . . . 4 (𝜑 → {(𝐹𝑅((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))} = {(𝐹𝑅(𝐺 𝐸))})
3433fveq2d 6910 . . 3 (𝜑 → (𝐿‘{(𝐹𝑅((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))}) = (𝐿‘{(𝐹𝑅(𝐺 𝐸))}))
3531, 34eqtr4d 2780 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))}))
361, 2, 16dvhlmod 41112 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
3720eldifad 3963 . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
3821eldifad 3963 . . . . 5 (𝜑𝑍𝑉)
393, 4lmodvacl 20873 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉𝑍𝑉) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
4036, 37, 38, 39syl3anc 1373 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
413, 4, 6, 7, 36, 37, 38, 23lmodindp1 21012 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 )
42 eldifsn 4786 . . . 4 ((𝑌 + 𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ))
4340, 41, 42sylanbrc 583 . . 3 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
441, 8, 16lcdlmod 41594 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
451, 2, 16dvhlvec 41111 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
4618eldifad 3963 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑉)
473, 6, 7, 45, 37, 21, 46, 23, 22lspindp2 21137 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
4847simpld 494 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
491, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 48, 18, 37hdmap1cl 41806 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)
503, 6, 7, 45, 20, 38, 46, 23, 22lspindp1 21135 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}) ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
5150simpld 494 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
521, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 51, 18, 38hdmap1cl 41806 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) ∈ 𝐷)
539, 10lmodvacl 20873 . . . 4 ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷 ∧ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) ∈ 𝐷) → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)) ∈ 𝐷)
5444, 49, 52, 53syl3anc 1373 . . 3 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)) ∈ 𝐷)
55 eqid 2737 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
563, 55, 7, 36, 37, 38lspprcl 20976 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
573, 4, 7, 36, 37, 38lspprvacl 20997 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
5855, 7, 36, 56, 57ellspsn5 20994 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
593, 55, 7, 36, 56, 46ellspsn5b 20993 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})))
6022, 59mtbid 324 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
61 nssne2 4047 . . . . 5 (((𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∧ ¬ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})) → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
6258, 60, 61syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
6362necomd 2996 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))
641, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 14, 15, 16, 18, 17, 43, 54, 63, 19hdmap1eq 41803 . 2 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)) ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})) = (𝐿‘{((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))}))))
6530, 35, 64mpbir2and 713 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  cdif 3948  wss 3951  {csn 4626  {cpr 4628  cotp 4634  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  0gc0g 17484  -gcsg 18953  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929  LSpanclspn 20969  HLchlt 39351  LHypclh 39986  DVecHcdvh 41080  LCDualclcd 41588  mapdcmpd 41626  HDMap1chdma1 41793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-riotaBAD 38954
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-undef 8298  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-0g 17486  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-oppg 19364  df-lsm 19654  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-nzr 20513  df-rlreg 20694  df-domn 20695  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lvec 21102  df-lsatoms 38977  df-lshyp 38978  df-lcv 39020  df-lfl 39059  df-lkr 39087  df-ldual 39125  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-llines 39500  df-lplanes 39501  df-lvols 39502  df-lines 39503  df-psubsp 39505  df-pmap 39506  df-padd 39798  df-lhyp 39990  df-laut 39991  df-ldil 40106  df-ltrn 40107  df-trl 40161  df-tgrp 40745  df-tendo 40757  df-edring 40759  df-dveca 41005  df-disoa 41031  df-dvech 41081  df-dib 41141  df-dic 41175  df-dih 41231  df-doch 41350  df-djh 41397  df-lcdual 41589  df-mapd 41627  df-hdmap1 41795
This theorem is referenced by:  hdmap1l6d  41815  hdmap1l6e  41816  hdmap1l6f  41817  hdmap1l6j  41821
  Copyright terms: Public domain W3C validator