Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap1l6a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap1l6a 41338
Description: Lemma for hdmap1l6 41350. Part (6) in [Baer] p. 47, case 1. (Contributed by NM, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap1l6.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
hdmap1l6.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap1l6.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
hdmap1l6.p + = (+gβ€˜π‘ˆ)
hdmap1l6.s βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
hdmap1l6c.o 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
hdmap1l6.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
hdmap1l6.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap1l6.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
hdmap1l6.a ✚ = (+gβ€˜πΆ)
hdmap1l6.r 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
hdmap1l6.q 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
hdmap1l6.l 𝐿 = (LSpanβ€˜πΆ)
hdmap1l6.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap1l6.i 𝐼 = ((HDMap1β€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmap1l6.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
hdmap1l6.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
hdmap1l6cl.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
hdmap1l6.mn (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (πΏβ€˜{𝐹}))
hdmap1l6e.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
hdmap1l6e.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
hdmap1l6e.xn (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
hdmap1l6.yz (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{𝑍}))
hdmap1l6.fg (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) = 𝐺)
hdmap1l6.fe (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©) = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
hdmap1l6a (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩) = ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©)))

Proof of Theorem hdmap1l6a
StepHypRef Expression
1 hdmap1l6.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 hdmap1l6.u . . . 4 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 hdmap1l6.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
4 hdmap1l6.p . . . 4 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
5 hdmap1l6.s . . . 4 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
6 hdmap1l6c.o . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
7 hdmap1l6.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
8 hdmap1l6.c . . . 4 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 hdmap1l6.d . . . 4 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
10 hdmap1l6.a . . . 4 ✚ = (+gβ€˜πΆ)
11 hdmap1l6.r . . . 4 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
12 hdmap1l6.q . . . 4 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
13 hdmap1l6.l . . . 4 𝐿 = (LSpanβ€˜πΆ)
14 hdmap1l6.m . . . 4 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
15 hdmap1l6.i . . . 4 𝐼 = ((HDMap1β€˜πΎ)β€˜π‘Š)
16 hdmap1l6.k . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
17 hdmap1l6.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
18 hdmap1l6cl.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
19 hdmap1l6.mn . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (πΏβ€˜{𝐹}))
20 hdmap1l6e.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
21 hdmap1l6e.z . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
22 hdmap1l6e.xn . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
23 hdmap1l6.yz . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{𝑍}))
24 hdmap1l6.fg . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) = 𝐺)
25 hdmap1l6.fe . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©) = 𝐸)
261, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25hdmap1l6lem2 41337 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)})) = (πΏβ€˜{(𝐺 ✚ 𝐸)}))
2724, 25oveq12d 7434 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©)) = (𝐺 ✚ 𝐸))
2827sneqd 4636 . . . 4 (πœ‘ β†’ {((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©))} = {(𝐺 ✚ 𝐸)})
2928fveq2d 6896 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜{((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©))}) = (πΏβ€˜{(𝐺 ✚ 𝐸)}))
3026, 29eqtr4d 2768 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)})) = (πΏβ€˜{((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©))}))
311, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25hdmap1l6lem1 41336 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))})) = (πΏβ€˜{(𝐹𝑅(𝐺 ✚ 𝐸))}))
3227oveq2d 7432 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹𝑅((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©))) = (𝐹𝑅(𝐺 ✚ 𝐸)))
3332sneqd 4636 . . . 4 (πœ‘ β†’ {(𝐹𝑅((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©)))} = {(𝐹𝑅(𝐺 ✚ 𝐸))})
3433fveq2d 6896 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜{(𝐹𝑅((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©)))}) = (πΏβ€˜{(𝐹𝑅(𝐺 ✚ 𝐸))}))
3531, 34eqtr4d 2768 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))})) = (πΏβ€˜{(𝐹𝑅((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©)))}))
361, 2, 16dvhlmod 40639 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
3720eldifad 3951 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
3821eldifad 3951 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
393, 4lmodvacl 20762 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Œ + 𝑍) ∈ 𝑉)
4036, 37, 38, 39syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + 𝑍) ∈ 𝑉)
413, 4, 6, 7, 36, 37, 38, 23lmodindp1 20902 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 )
42 eldifsn 4786 . . . 4 ((π‘Œ + 𝑍) ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ↔ ((π‘Œ + 𝑍) ∈ 𝑉 ∧ (π‘Œ + 𝑍) β‰  0 ))
4340, 41, 42sylanbrc 581 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + 𝑍) ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
441, 8, 16lcdlmod 41121 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LMod)
451, 2, 16dvhlvec 40638 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
4618eldifad 3951 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
473, 6, 7, 45, 37, 21, 46, 23, 22lspindp2 21027 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}) ∧ Β¬ 𝑍 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
4847simpld 493 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
491, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 48, 18, 37hdmap1cl 41333 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ∈ 𝐷)
503, 6, 7, 45, 20, 38, 46, 23, 22lspindp1 21025 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑍}) ∧ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑍})))
5150simpld 493 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑍}))
521, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 51, 18, 38hdmap1cl 41333 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©) ∈ 𝐷)
539, 10lmodvacl 20762 . . . 4 ((𝐢 ∈ LMod ∧ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ∈ 𝐷 ∧ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©) ∈ 𝐷) β†’ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©)) ∈ 𝐷)
5444, 49, 52, 53syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©)) ∈ 𝐷)
55 eqid 2725 . . . . . 6 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
563, 55, 7, 36, 37, 38lspprcl 20866 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
573, 4, 7, 36, 37, 38lspprvacl 20887 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + 𝑍) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
5855, 7, 36, 56, 57lspsnel5a 20884 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}) βŠ† (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
593, 55, 7, 36, 56, 46lspsnel5 20883 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) ↔ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍})))
6022, 59mtbid 323 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
61 nssne2 4036 . . . . 5 (((π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}) βŠ† (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) ∧ Β¬ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍})) β†’ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}))
6258, 60, 61syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}))
6362necomd 2986 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)}))
641, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 14, 15, 16, 18, 17, 43, 54, 63, 19hdmap1eq 41330 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩) = ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©)) ↔ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{(π‘Œ + 𝑍)})) = (πΏβ€˜{((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©))}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ (π‘Œ + 𝑍))})) = (πΏβ€˜{(𝐹𝑅((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©)))}))))
6530, 35, 64mpbir2and 711 1 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, (π‘Œ + 𝑍)⟩) = ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) ✚ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   βˆ– cdif 3936   βŠ† wss 3939  {csn 4624  {cpr 4626  βŸ¨cotp 4632  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  0gc0g 17420  -gcsg 18896  LModclmod 20747  LSubSpclss 20819  LSpanclspn 20859  HLchlt 38878  LHypclh 39513  DVecHcdvh 40607  LCDualclcd 41115  mapdcmpd 41153  HDMap1chdma1 41320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-riotaBAD 38481
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-undef 8277  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-0g 17422  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-p1 18417  df-lat 18423  df-clat 18490  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-cntz 19272  df-oppg 19301  df-lsm 19595  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-dvr 20344  df-drng 20630  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lsp 20860  df-lvec 20992  df-lsatoms 38504  df-lshyp 38505  df-lcv 38547  df-lfl 38586  df-lkr 38614  df-ldual 38652  df-oposet 38704  df-ol 38706  df-oml 38707  df-covers 38794  df-ats 38795  df-atl 38826  df-cvlat 38850  df-hlat 38879  df-llines 39027  df-lplanes 39028  df-lvols 39029  df-lines 39030  df-psubsp 39032  df-pmap 39033  df-padd 39325  df-lhyp 39517  df-laut 39518  df-ldil 39633  df-ltrn 39634  df-trl 39688  df-tgrp 40272  df-tendo 40284  df-edring 40286  df-dveca 40532  df-disoa 40558  df-dvech 40608  df-dib 40668  df-dic 40702  df-dih 40758  df-doch 40877  df-djh 40924  df-lcdual 41116  df-mapd 41154  df-hdmap1 41322
This theorem is referenced by:  hdmap1l6d  41342  hdmap1l6e  41343  hdmap1l6f  41344  hdmap1l6j  41348
  Copyright terms: Public domain W3C validator