Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap1l6a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap1l6a 41792
Description: Lemma for hdmap1l6 41804. Part (6) in [Baer] p. 47, case 1. (Contributed by NM, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap1l6.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap1l6.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap1l6.p + = (+g𝑈)
hdmap1l6.s = (-g𝑈)
hdmap1l6c.o 0 = (0g𝑈)
hdmap1l6.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap1l6.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmap1l6.a = (+g𝐶)
hdmap1l6.r 𝑅 = (-g𝐶)
hdmap1l6.q 𝑄 = (0g𝐶)
hdmap1l6.l 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmap1l6.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.i 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmap1l6.f (𝜑𝐹𝐷)
hdmap1l6cl.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1l6.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
hdmap1l6e.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1l6e.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1l6e.xn (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
hdmap1l6.yz (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
hdmap1l6.fg (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
hdmap1l6.fe (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
hdmap1l6a (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))

Proof of Theorem hdmap1l6a
StepHypRef Expression
1 hdmap1l6.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmap1l6.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmap1l6.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 hdmap1l6.p . . . 4 + = (+g𝑈)
5 hdmap1l6.s . . . 4 = (-g𝑈)
6 hdmap1l6c.o . . . 4 0 = (0g𝑈)
7 hdmap1l6.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8 hdmap1l6.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
9 hdmap1l6.d . . . 4 𝐷 = (Base‘𝐶)
10 hdmap1l6.a . . . 4 = (+g𝐶)
11 hdmap1l6.r . . . 4 𝑅 = (-g𝐶)
12 hdmap1l6.q . . . 4 𝑄 = (0g𝐶)
13 hdmap1l6.l . . . 4 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
14 hdmap1l6.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
15 hdmap1l6.i . . . 4 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
16 hdmap1l6.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
17 hdmap1l6.f . . . 4 (𝜑𝐹𝐷)
18 hdmap1l6cl.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19 hdmap1l6.mn . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
20 hdmap1l6e.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21 hdmap1l6e.z . . . 4 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
22 hdmap1l6e.xn . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
23 hdmap1l6.yz . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
24 hdmap1l6.fg . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
25 hdmap1l6.fe . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
261, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25hdmap1l6lem2 41791 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})) = (𝐿‘{(𝐺 𝐸)}))
2724, 25oveq12d 7449 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)) = (𝐺 𝐸))
2827sneqd 4643 . . . 4 (𝜑 → {((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))} = {(𝐺 𝐸)})
2928fveq2d 6911 . . 3 (𝜑 → (𝐿‘{((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))}) = (𝐿‘{(𝐺 𝐸)}))
3026, 29eqtr4d 2778 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})) = (𝐿‘{((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))}))
311, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25hdmap1l6lem1 41790 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅(𝐺 𝐸))}))
3227oveq2d 7447 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑅((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))) = (𝐹𝑅(𝐺 𝐸)))
3332sneqd 4643 . . . 4 (𝜑 → {(𝐹𝑅((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))} = {(𝐹𝑅(𝐺 𝐸))})
3433fveq2d 6911 . . 3 (𝜑 → (𝐿‘{(𝐹𝑅((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))}) = (𝐿‘{(𝐹𝑅(𝐺 𝐸))}))
3531, 34eqtr4d 2778 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))}))
361, 2, 16dvhlmod 41093 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
3720eldifad 3975 . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
3821eldifad 3975 . . . . 5 (𝜑𝑍𝑉)
393, 4lmodvacl 20890 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉𝑍𝑉) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
4036, 37, 38, 39syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
413, 4, 6, 7, 36, 37, 38, 23lmodindp1 21030 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 )
42 eldifsn 4791 . . . 4 ((𝑌 + 𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉 ∧ (𝑌 + 𝑍) ≠ 0 ))
4340, 41, 42sylanbrc 583 . . 3 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
441, 8, 16lcdlmod 41575 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
451, 2, 16dvhlvec 41092 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
4618eldifad 3975 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑉)
473, 6, 7, 45, 37, 21, 46, 23, 22lspindp2 21155 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
4847simpld 494 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
491, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 48, 18, 37hdmap1cl 41787 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)
503, 6, 7, 45, 20, 38, 46, 23, 22lspindp1 21153 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}) ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
5150simpld 494 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
521, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 51, 18, 38hdmap1cl 41787 . . . 4 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) ∈ 𝐷)
539, 10lmodvacl 20890 . . . 4 ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷 ∧ (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) ∈ 𝐷) → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)) ∈ 𝐷)
5444, 49, 52, 53syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)) ∈ 𝐷)
55 eqid 2735 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
563, 55, 7, 36, 37, 38lspprcl 20994 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
573, 4, 7, 36, 37, 38lspprvacl 21015 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
5855, 7, 36, 56, 57ellspsn5 21012 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
593, 55, 7, 36, 56, 46ellspsn5b 21011 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})))
6022, 59mtbid 324 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
61 nssne2 4059 . . . . 5 (((𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∧ ¬ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})) → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
6258, 60, 61syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
6362necomd 2994 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}))
641, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 14, 15, 16, 18, 17, 43, 54, 63, 19hdmap1eq 41784 . 2 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)) ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})) = (𝐿‘{((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩))}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))}))))
6530, 35, 64mpbir2and 713 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, (𝑌 + 𝑍)⟩) = ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  cdif 3960  wss 3963  {csn 4631  {cpr 4633  cotp 4639  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  0gc0g 17486  -gcsg 18966  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947  LSpanclspn 20987  HLchlt 39332  LHypclh 39967  DVecHcdvh 41061  LCDualclcd 41569  mapdcmpd 41607  HDMap1chdma1 41774
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-riotaBAD 38935
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-undef 8297  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17488  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-oppg 19377  df-lsm 19669  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-nzr 20530  df-rlreg 20711  df-domn 20712  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lvec 21120  df-lsatoms 38958  df-lshyp 38959  df-lcv 39001  df-lfl 39040  df-lkr 39068  df-ldual 39106  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-llines 39481  df-lplanes 39482  df-lvols 39483  df-lines 39484  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-padd 39779  df-lhyp 39971  df-laut 39972  df-ldil 40087  df-ltrn 40088  df-trl 40142  df-tgrp 40726  df-tendo 40738  df-edring 40740  df-dveca 40986  df-disoa 41012  df-dvech 41062  df-dib 41122  df-dic 41156  df-dih 41212  df-doch 41331  df-djh 41378  df-lcdual 41570  df-mapd 41608  df-hdmap1 41776
This theorem is referenced by:  hdmap1l6d  41796  hdmap1l6e  41797  hdmap1l6f  41798  hdmap1l6j  41802
  Copyright terms: Public domain W3C validator