MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspindpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspindpi 21022
Description: Partial independence property. (Contributed by NM, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspindpi.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspindpi.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lspindpi.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lspindpi.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lspindpi.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
lspindpi.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
lspindpi.e (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
Assertion
Ref Expression
lspindpi (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}) ∧ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑍})))

Proof of Theorem lspindpi
StepHypRef Expression
1 lspindpi.e . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
2 lspindpi.w . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
3 lveclmod 20993 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
5 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
65lsssssubg 20844 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ LMod β†’ (LSubSpβ€˜π‘Š) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
74, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (LSubSpβ€˜π‘Š) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
8 lspindpi.y . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
9 lspindpi.v . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
10 lspindpi.n . . . . . . . . . . 11 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
119, 5, 10lspsncl 20863 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
124, 8, 11syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
137, 12sseldd 3973 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
14 lspindpi.z . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
159, 5, 10lspsncl 20863 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
164, 14, 15syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
177, 16sseldd 3973 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑍}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
18 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (LSSumβ€˜π‘Š) = (LSSumβ€˜π‘Š)
1918lsmub1 19614 . . . . . . . 8 (((π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜{𝑍}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ† ((π‘β€˜{π‘Œ})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{𝑍})))
2013, 17, 19syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ† ((π‘β€˜{π‘Œ})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{𝑍})))
219, 10, 18, 4, 8, 14lsmpr 20976 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) = ((π‘β€˜{π‘Œ})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{𝑍})))
2220, 21sseqtrrd 4013 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ† (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
23 sseq1 3997 . . . . . 6 ((π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}) β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) βŠ† (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) ↔ (π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ† (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍})))
2422, 23syl5ibrcom 246 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍})))
259, 5, 10, 4, 8, 14lspprcl 20864 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
26 lspindpi.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
279, 5, 10, 4, 25, 26lspsnel5 20881 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) ↔ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍})))
2824, 27sylibrd 258 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍})))
2928necon3bd 2944 . . 3 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ})))
301, 29mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
3118lsmub2 19615 . . . . . . . 8 (((π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜{𝑍}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜{𝑍}) βŠ† ((π‘β€˜{π‘Œ})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{𝑍})))
3213, 17, 31syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑍}) βŠ† ((π‘β€˜{π‘Œ})(LSSumβ€˜π‘Š)(π‘β€˜{𝑍})))
3332, 21sseqtrrd 4013 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑍}) βŠ† (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
34 sseq1 3997 . . . . . 6 ((π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{𝑍}) β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) βŠ† (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) ↔ (π‘β€˜{𝑍}) βŠ† (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍})))
3533, 34syl5ibrcom 246 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{𝑍}) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍})))
3635, 27sylibrd 258 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{𝑍}) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍})))
3736necon3bd 2944 . . 3 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑍})))
381, 37mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑍}))
3930, 38jca 510 1 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}) ∧ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑍})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   βŠ† wss 3939  {csn 4622  {cpr 4624  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7414  Basecbs 17177  SubGrpcsubg 19077  LSSumclsm 19591  LModclmod 20745  LSubSpclss 20817  LSpanclspn 20857  LVecclvec 20989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4943  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-subg 19080  df-cntz 19270  df-lsm 19593  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-ur 20124  df-ring 20177  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-lsp 20858  df-lvec 20990
This theorem is referenced by:  lspindp1  21023  baerlem5amN  41217  baerlem5bmN  41218  baerlem5abmN  41219  mapdindp4  41224  mapdh6bN  41238  mapdh6cN  41239  mapdh6dN  41240  mapdh6eN  41241  mapdh6fN  41242  mapdh6hN  41244  mapdh7eN  41249  mapdh7dN  41251  mapdh7fN  41252  mapdh75fN  41256  mapdh8aa  41277  mapdh8ab  41278  mapdh8ad  41280  mapdh8c  41282  mapdh8d0N  41283  mapdh8d  41284  mapdh8e  41285  mapdh9a  41290  mapdh9aOLDN  41291  hdmap1eq4N  41307  hdmap1l6b  41312  hdmap1l6c  41313  hdmap1l6d  41314  hdmap1l6e  41315  hdmap1l6f  41316  hdmap1l6h  41318  hdmap1eulemOLDN  41324  hdmapval0  41334  hdmapval3lemN  41338  hdmap10lem  41340  hdmap11lem1  41342  hdmap14lem11  41379
  Copyright terms: Public domain W3C validator