MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspindpi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspindpi 19890
Description: Partial independence property. (Contributed by NM, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspindpi.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspindpi.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspindpi.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspindpi.x (𝜑𝑋𝑉)
lspindpi.y (𝜑𝑌𝑉)
lspindpi.z (𝜑𝑍𝑉)
lspindpi.e (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
Assertion
Ref Expression
lspindpi (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))

Proof of Theorem lspindpi
StepHypRef Expression
1 lspindpi.e . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
2 lspindpi.w . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
3 lveclmod 19864 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
5 eqid 2824 . . . . . . . . . . 11 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
65lsssssubg 19716 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
74, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
8 lspindpi.y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌𝑉)
9 lspindpi.v . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (Base‘𝑊)
10 lspindpi.n . . . . . . . . . . 11 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
119, 5, 10lspsncl 19735 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
124, 8, 11syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
137, 12sseldd 3952 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
14 lspindpi.z . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍𝑉)
159, 5, 10lspsncl 19735 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑉) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
164, 14, 15syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
177, 16sseldd 3952 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
18 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
1918lsmub1 18771 . . . . . . . 8 (((𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑍})))
2013, 17, 19syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑍})))
219, 10, 18, 4, 8, 14lsmpr 19847 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) = ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑍})))
2220, 21sseqtrrd 3992 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
23 sseq1 3976 . . . . . 6 ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ↔ (𝑁‘{𝑌}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})))
2422, 23syl5ibrcom 250 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})))
259, 5, 10, 4, 8, 14lspprcl 19736 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
26 lspindpi.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
279, 5, 10, 4, 25, 26lspsnel5 19753 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})))
2824, 27sylibrd 262 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})))
2928necon3bd 3027 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌})))
301, 29mpd 15 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
3118lsmub2 18772 . . . . . . . 8 (((𝑁‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑍}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑍}) ⊆ ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑍})))
3213, 17, 31syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ⊆ ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑍})))
3332, 21sseqtrrd 3992 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
34 sseq1 3976 . . . . . 6 ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑍}) → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ↔ (𝑁‘{𝑍}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})))
3533, 34syl5ibrcom 250 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑍}) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})))
3635, 27sylibrd 262 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑍}) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})))
3736necon3bd 3027 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
381, 37mpd 15 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
3930, 38jca 515 1 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3013  wss 3918  {csn 4548  {cpr 4550  cfv 6336  (class class class)co 7138  Basecbs 16472  SubGrpcsubg 18262  LSSumclsm 18748  LModclmod 19620  LSubSpclss 19689  LSpanclspn 19729  LVecclvec 19860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-2 11686  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-sets 16479  df-ress 16480  df-plusg 16567  df-0g 16704  df-mgm 17841  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17946  df-grp 18095  df-minusg 18096  df-sbg 18097  df-subg 18265  df-cntz 18436  df-lsm 18750  df-cmn 18897  df-abl 18898  df-mgp 19229  df-ur 19241  df-ring 19288  df-lmod 19622  df-lss 19690  df-lsp 19730  df-lvec 19861
This theorem is referenced by:  lspindp1  19891  baerlem5amN  38912  baerlem5bmN  38913  baerlem5abmN  38914  mapdindp4  38919  mapdh6bN  38933  mapdh6cN  38934  mapdh6dN  38935  mapdh6eN  38936  mapdh6fN  38937  mapdh6hN  38939  mapdh7eN  38944  mapdh7dN  38946  mapdh7fN  38947  mapdh75fN  38951  mapdh8aa  38972  mapdh8ab  38973  mapdh8ad  38975  mapdh8c  38977  mapdh8d0N  38978  mapdh8d  38979  mapdh8e  38980  mapdh9a  38985  mapdh9aOLDN  38986  hdmap1eq4N  39002  hdmap1l6b  39007  hdmap1l6c  39008  hdmap1l6d  39009  hdmap1l6e  39010  hdmap1l6f  39011  hdmap1l6h  39013  hdmap1eulemOLDN  39019  hdmapval0  39029  hdmapval3lemN  39033  hdmap10lem  39035  hdmap11lem1  39037  hdmap14lem11  39074
  Copyright terms: Public domain W3C validator