Theorem lspsncmp 21400

Description: Comparable spans of nonzero singletons are equal. (Contributed by NM, 27-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsncmp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsncmp.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspsncmp.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsncmp.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspsncmp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lspsncmp.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lspsncmp	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))

Proof of Theorem lspsncmp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsncmp.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lspsncmp.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
3		lspsncmp.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4		lspsncmp.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑊 ∈ LVec)
6		lspsncmp.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
7	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑌 ∈ 𝑉)
8		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
9		lveclmod 21387	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
10	4, 9	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
11	1, 8, 3	lspsncl 21258	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
12	10, 6, 11	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
13		lspsncmp.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14	13	eldifad 4051	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
15	1, 8, 3, 10, 12, 14	ellspsn5b 21276	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})))
16	15	biimpar 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
17		eldifsni 4749	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
18	13, 17	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
19	18	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋 ≠ 0 )
20	1, 2, 3, 5, 7, 16, 19	lspsneleq 21399	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
21	20	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
22		eqimss 3966	. 2 ⊢ ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
23	21, 22	impbid1 228	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045  {csn 4584  ‘cfv 6539  Basecbs 17393  0_gc0g 17616  LModclmod 21141  LSubSpclss 21212  LSpanclspn 21252  LVecclvec 21383

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-tpos 8247  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-0g 17618  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-sbg 19155  df-cmn 20002  df-abl 20003  df-mgp 20367  df-rng 20381  df-ur 20414  df-ring 20467  df-oppr 20573  df-dvdsr 20593  df-unit 20594  df-invr 20624  df-drng 20988  df-lmod 21143  df-lss 21213  df-lsp 21253  df-lvec 21384

This theorem is used by:  lspsnne1  21401  lspabs2  21404  lspabs3  21405  lsatfixedN  40160  mapdindp0  42870  hdmaprnlem4N  43004