Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsncmp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsncmp 19888
 Description: Comparable spans of nonzero singletons are equal. (Contributed by NM, 27-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsncmp.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsncmp.o 0 = (0g𝑊)
lspsncmp.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsncmp.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspsncmp.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lspsncmp.y (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
lspsncmp (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))

Proof of Theorem lspsncmp
StepHypRef Expression
1 lspsncmp.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lspsncmp.o . . . 4 0 = (0g𝑊)
3 lspsncmp.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4 lspsncmp.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
54adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑊 ∈ LVec)
6 lspsncmp.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
76adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑌𝑉)
8 eqid 2824 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
9 lveclmod 19878 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
104, 9syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
111, 8, 3lspsncl 19749 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
1210, 6, 11syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
13 lspsncmp.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1413eldifad 3931 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
151, 8, 3, 10, 12, 14lspsnel5 19767 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})))
1615biimpar 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
17 eldifsni 4707 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑋0 )
1813, 17syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑋0 )
1918adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})) → 𝑋0 )
201, 2, 3, 5, 7, 16, 19lspsneleq 19887 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
2120ex 416 . 2 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
22 eqimss 4009 . 2 ((𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
2321, 22impbid1 228 1 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014   ∖ cdif 3916   ⊆ wss 3919  {csn 4550  ‘cfv 6343  Basecbs 16483  0gc0g 16713  LModclmod 19634  LSubSpclss 19703  LSpanclspn 19743  LVecclvec 19874 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-tpos 7888  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-oppr 19376  df-dvdsr 19394  df-unit 19395  df-invr 19425  df-drng 19504  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lsp 19744  df-lvec 19875 This theorem is referenced by:  lspsnne1  19889  lspabs2  19892  lspabs3  19893  lsatfixedN  36250  mapdindp0  38960  hdmaprnlem4N  39094
 Copyright terms: Public domain W3C validator