Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapoc Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hdmapoc 40740
Description: Express our constructed orthocomplement (polarity) in terms of the Hilbert space definition of orthocomplement. Lines 24 and 25 in [Holland95] p. 14. (Contributed by NM, 17-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapoc.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
hdmapoc.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmapoc.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
hdmapoc.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
hdmapoc.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
hdmapoc.o 𝑂 = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmapoc.s 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmapoc.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
hdmapoc.x (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑉)
Assertion
Ref Expression
hdmapoc (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) = {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘†β€˜π‘§)β€˜π‘¦) = 0 })
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝑂   𝑧,𝑉   𝑦,𝑋,𝑧   πœ‘,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦,𝑧)   𝑆(𝑦,𝑧)   π‘ˆ(𝑦,𝑧)   𝐻(𝑦,𝑧)   𝐾(𝑦,𝑧)   𝑉(𝑦)   π‘Š(𝑦,𝑧)   0 (𝑦,𝑧)
Proof of Theorem hdmapoc
StepHypRef Expression
1 hdmapoc.k . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 hdmapoc.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑉)
3 hdmapoc.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
4 hdmapoc.u . . . . . . . 8 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 hdmapoc.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
6 hdmapoc.o . . . . . . . 8 𝑂 = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
73, 4, 5, 6dochssv 40164 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉) β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) βŠ† 𝑉)
81, 2, 7syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) βŠ† 𝑉)
98sseld 3980 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (π‘‚β€˜π‘‹) β†’ 𝑦 ∈ 𝑉))
109pm4.71rd 564 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (π‘‚β€˜π‘‹) ↔ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ (π‘‚β€˜π‘‹))))
11 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
12 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (LSpanβ€˜π‘ˆ) = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
133, 4, 1dvhlmod 39919 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
1413adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
153, 4, 5, 11, 6dochlss 40163 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉) β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
161, 2, 15syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
1716adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
18 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ 𝑦 ∈ 𝑉)
195, 11, 12, 14, 17, 18lspsnel5 20594 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 ∈ (π‘‚β€˜π‘‹) ↔ ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑦}) βŠ† (π‘‚β€˜π‘‹)))
20 eqid 2733 . . . . . . . . 9 ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
211adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
223, 4, 5, 12, 20dihlsprn 40140 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑦}) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
2321, 18, 22syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑦}) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
243, 20, 4, 5, 6dochcl 40162 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉) β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
251, 2, 24syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
2625adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
273, 20, 6, 21, 23, 26dochord 40179 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑦}) βŠ† (π‘‚β€˜π‘‹) ↔ (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜π‘‹)) βŠ† (π‘‚β€˜((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑦}))))
2818snssd 4811 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ {𝑦} βŠ† 𝑉)
293, 4, 6, 5, 12, 21, 28dochocsp 40188 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (π‘‚β€˜((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑦})) = (π‘‚β€˜{𝑦}))
3029sseq2d 4013 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘‚β€˜π‘‹)) βŠ† (π‘‚β€˜((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑦})) ↔ (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜π‘‹)) βŠ† (π‘‚β€˜{𝑦})))
312adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 βŠ† 𝑉)
323, 20, 4, 5, 6dochcl 40162 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ {𝑦} βŠ† 𝑉) β†’ (π‘‚β€˜{𝑦}) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
3321, 28, 32syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (π‘‚β€˜{𝑦}) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
343, 4, 5, 20, 6, 21, 31, 33dochsscl 40177 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 βŠ† (π‘‚β€˜{𝑦}) ↔ (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜π‘‹)) βŠ† (π‘‚β€˜{𝑦})))
3530, 34bitr4d 282 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘‚β€˜π‘‹)) βŠ† (π‘‚β€˜((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑦})) ↔ 𝑋 βŠ† (π‘‚β€˜{𝑦})))
3619, 27, 353bitrd 305 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 ∈ (π‘‚β€˜π‘‹) ↔ 𝑋 βŠ† (π‘‚β€˜{𝑦})))
37 dfss3 3969 . . . . . . 7 (𝑋 βŠ† (π‘‚β€˜{𝑦}) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 𝑧 ∈ (π‘‚β€˜{𝑦}))
3836, 37bitrdi 287 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 ∈ (π‘‚β€˜π‘‹) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 𝑧 ∈ (π‘‚β€˜{𝑦})))
39 hdmapoc.r . . . . . . . . 9 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
40 hdmapoc.z . . . . . . . . 9 0 = (0gβ€˜π‘…)
41 hdmapoc.s . . . . . . . . 9 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
421ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
4331sselda 3981 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉)
44 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑦 ∈ 𝑉)
453, 6, 4, 5, 39, 40, 41, 42, 43, 44hdmapellkr 40723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘†β€˜π‘§)β€˜π‘¦) = 0 ↔ 𝑦 ∈ (π‘‚β€˜{𝑧})))
463, 6, 4, 5, 42, 44, 43dochsncom 40191 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ∈ (π‘‚β€˜{𝑧}) ↔ 𝑧 ∈ (π‘‚β€˜{𝑦})))
4745, 46bitrd 279 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘†β€˜π‘§)β€˜π‘¦) = 0 ↔ 𝑧 ∈ (π‘‚β€˜{𝑦})))
4847ralbidva 3176 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘†β€˜π‘§)β€˜π‘¦) = 0 ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 𝑧 ∈ (π‘‚β€˜{𝑦})))
4938, 48bitr4d 282 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 ∈ (π‘‚β€˜π‘‹) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘†β€˜π‘§)β€˜π‘¦) = 0 ))
5049pm5.32da 580 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ (π‘‚β€˜π‘‹)) ↔ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘†β€˜π‘§)β€˜π‘¦) = 0 )))
5110, 50bitrd 279 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (π‘‚β€˜π‘‹) ↔ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘†β€˜π‘§)β€˜π‘¦) = 0 )))
5251eqabdv 2868 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘†β€˜π‘§)β€˜π‘¦) = 0 )})
53 df-rab 3434 . 2 {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘†β€˜π‘§)β€˜π‘¦) = 0 } = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘†β€˜π‘§)β€˜π‘¦) = 0 )}
5452, 53eqtr4di 2791 1 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) = {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘†β€˜π‘§)β€˜π‘¦) = 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710  βˆ€wral 3062  {crab 3433   βŠ† wss 3947  {csn 4627  ran crn 5676  β€˜cfv 6540  Basecbs 17140  Scalarcsca 17196  0gc0g 17381  LModclmod 20459  LSubSpclss 20530  LSpanclspn 20570  HLchlt 38158  LHypclh 38793  DVecHcdvh 39887  DIsoHcdih 40037  ocHcoch 40156  HDMapchdma 40601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-riotaBAD 37761
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-undef 8253  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-0g 17383  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-oppg 19203  df-lsm 19497  df-cmn 19643  df-abl 19644  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-oppr 20139  df-dvdsr 20160  df-unit 20161  df-invr 20191  df-dvr 20204  df-drng 20306  df-lmod 20461  df-lss 20531  df-lsp 20571  df-lvec 20702  df-lsatoms 37784  df-lshyp 37785  df-lcv 37827  df-lfl 37866  df-lkr 37894  df-ldual 37932  df-oposet 37984  df-ol 37986  df-oml 37987  df-covers 38074  df-ats 38075  df-atl 38106  df-cvlat 38130  df-hlat 38159  df-llines 38307  df-lplanes 38308  df-lvols 38309  df-lines 38310  df-psubsp 38312  df-pmap 38313  df-padd 38605  df-lhyp 38797  df-laut 38798  df-ldil 38913  df-ltrn 38914  df-trl 38968  df-tgrp 39552  df-tendo 39564  df-edring 39566  df-dveca 39812  df-disoa 39838  df-dvech 39888  df-dib 39948  df-dic 39982  df-dih 40038  df-doch 40157  df-djh 40204  df-lcdual 40396  df-mapd 40434  df-hvmap 40566  df-hdmap1 40602  df-hdmap 40603
This theorem is referenced by:  hlhilocv  40770
  Copyright terms: Public domain W3C validator