Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapoc Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hdmapoc 41269
Description: Express our constructed orthocomplement (polarity) in terms of the Hilbert space definition of orthocomplement. Lines 24 and 25 in [Holland95] p. 14. (Contributed by NM, 17-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapoc.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
hdmapoc.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmapoc.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
hdmapoc.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
hdmapoc.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
hdmapoc.o 𝑂 = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmapoc.s 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmapoc.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
hdmapoc.x (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑉)
Assertion
Ref Expression
hdmapoc (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) = {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘†β€˜π‘§)β€˜π‘¦) = 0 })
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝑂   𝑧,𝑉   𝑦,𝑋,𝑧   πœ‘,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦,𝑧)   𝑆(𝑦,𝑧)   π‘ˆ(𝑦,𝑧)   𝐻(𝑦,𝑧)   𝐾(𝑦,𝑧)   𝑉(𝑦)   π‘Š(𝑦,𝑧)   0 (𝑦,𝑧)
Proof of Theorem hdmapoc
StepHypRef Expression
1 hdmapoc.k . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 hdmapoc.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑉)
3 hdmapoc.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
4 hdmapoc.u . . . . . . . 8 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 hdmapoc.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
6 hdmapoc.o . . . . . . . 8 𝑂 = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
73, 4, 5, 6dochssv 40693 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉) β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) βŠ† 𝑉)
81, 2, 7syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) βŠ† 𝑉)
98sseld 3981 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (π‘‚β€˜π‘‹) β†’ 𝑦 ∈ 𝑉))
109pm4.71rd 562 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (π‘‚β€˜π‘‹) ↔ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ (π‘‚β€˜π‘‹))))
11 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
12 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (LSpanβ€˜π‘ˆ) = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
133, 4, 1dvhlmod 40448 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
1413adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
153, 4, 5, 11, 6dochlss 40692 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉) β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
161, 2, 15syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
1716adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
18 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ 𝑦 ∈ 𝑉)
195, 11, 12, 14, 17, 18lspsnel5 20838 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 ∈ (π‘‚β€˜π‘‹) ↔ ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑦}) βŠ† (π‘‚β€˜π‘‹)))
20 eqid 2731 . . . . . . . . 9 ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
211adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
223, 4, 5, 12, 20dihlsprn 40669 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑦}) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
2321, 18, 22syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑦}) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
243, 20, 4, 5, 6dochcl 40691 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉) β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
251, 2, 24syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
2625adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
273, 20, 6, 21, 23, 26dochord 40708 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑦}) βŠ† (π‘‚β€˜π‘‹) ↔ (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜π‘‹)) βŠ† (π‘‚β€˜((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑦}))))
2818snssd 4812 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ {𝑦} βŠ† 𝑉)
293, 4, 6, 5, 12, 21, 28dochocsp 40717 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (π‘‚β€˜((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑦})) = (π‘‚β€˜{𝑦}))
3029sseq2d 4014 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘‚β€˜π‘‹)) βŠ† (π‘‚β€˜((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑦})) ↔ (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜π‘‹)) βŠ† (π‘‚β€˜{𝑦})))
312adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 βŠ† 𝑉)
323, 20, 4, 5, 6dochcl 40691 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ {𝑦} βŠ† 𝑉) β†’ (π‘‚β€˜{𝑦}) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
3321, 28, 32syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (π‘‚β€˜{𝑦}) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
343, 4, 5, 20, 6, 21, 31, 33dochsscl 40706 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 βŠ† (π‘‚β€˜{𝑦}) ↔ (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜π‘‹)) βŠ† (π‘‚β€˜{𝑦})))
3530, 34bitr4d 282 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘‚β€˜π‘‹)) βŠ† (π‘‚β€˜((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑦})) ↔ 𝑋 βŠ† (π‘‚β€˜{𝑦})))
3619, 27, 353bitrd 305 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 ∈ (π‘‚β€˜π‘‹) ↔ 𝑋 βŠ† (π‘‚β€˜{𝑦})))
37 dfss3 3970 . . . . . . 7 (𝑋 βŠ† (π‘‚β€˜{𝑦}) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 𝑧 ∈ (π‘‚β€˜{𝑦}))
3836, 37bitrdi 287 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 ∈ (π‘‚β€˜π‘‹) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 𝑧 ∈ (π‘‚β€˜{𝑦})))
39 hdmapoc.r . . . . . . . . 9 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
40 hdmapoc.z . . . . . . . . 9 0 = (0gβ€˜π‘…)
41 hdmapoc.s . . . . . . . . 9 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
421ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
4331sselda 3982 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉)
44 simplr 766 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑦 ∈ 𝑉)
453, 6, 4, 5, 39, 40, 41, 42, 43, 44hdmapellkr 41252 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘†β€˜π‘§)β€˜π‘¦) = 0 ↔ 𝑦 ∈ (π‘‚β€˜{𝑧})))
463, 6, 4, 5, 42, 44, 43dochsncom 40720 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ∈ (π‘‚β€˜{𝑧}) ↔ 𝑧 ∈ (π‘‚β€˜{𝑦})))
4745, 46bitrd 279 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘†β€˜π‘§)β€˜π‘¦) = 0 ↔ 𝑧 ∈ (π‘‚β€˜{𝑦})))
4847ralbidva 3174 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘†β€˜π‘§)β€˜π‘¦) = 0 ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 𝑧 ∈ (π‘‚β€˜{𝑦})))
4938, 48bitr4d 282 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (𝑦 ∈ (π‘‚β€˜π‘‹) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘†β€˜π‘§)β€˜π‘¦) = 0 ))
5049pm5.32da 578 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ (π‘‚β€˜π‘‹)) ↔ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘†β€˜π‘§)β€˜π‘¦) = 0 )))
5110, 50bitrd 279 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (π‘‚β€˜π‘‹) ↔ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘†β€˜π‘§)β€˜π‘¦) = 0 )))
5251eqabdv 2866 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘†β€˜π‘§)β€˜π‘¦) = 0 )})
53 df-rab 3432 . 2 {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘†β€˜π‘§)β€˜π‘¦) = 0 } = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘†β€˜π‘§)β€˜π‘¦) = 0 )}
5452, 53eqtr4di 2789 1 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜π‘‹) = {𝑦 ∈ 𝑉 ∣ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 ((π‘†β€˜π‘§)β€˜π‘¦) = 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {cab 2708  βˆ€wral 3060  {crab 3431   βŠ† wss 3948  {csn 4628  ran crn 5677  β€˜cfv 6543  Basecbs 17151  Scalarcsca 17207  0gc0g 17392  LModclmod 20702  LSubSpclss 20774  LSpanclspn 20814  HLchlt 38687  LHypclh 39322  DVecHcdvh 40416  DIsoHcdih 40566  ocHcoch 40685  HDMapchdma 41130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-riotaBAD 38290
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8217  df-undef 8264  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-0g 17394  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-p1 18389  df-lat 18395  df-clat 18462  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19046  df-cntz 19229  df-oppg 19258  df-lsm 19552  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-drng 20585  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815  df-lvec 20947  df-lsatoms 38313  df-lshyp 38314  df-lcv 38356  df-lfl 38395  df-lkr 38423  df-ldual 38461  df-oposet 38513  df-ol 38515  df-oml 38516  df-covers 38603  df-ats 38604  df-atl 38635  df-cvlat 38659  df-hlat 38688  df-llines 38836  df-lplanes 38837  df-lvols 38838  df-lines 38839  df-psubsp 38841  df-pmap 38842  df-padd 39134  df-lhyp 39326  df-laut 39327  df-ldil 39442  df-ltrn 39443  df-trl 39497  df-tgrp 40081  df-tendo 40093  df-edring 40095  df-dveca 40341  df-disoa 40367  df-dvech 40417  df-dib 40477  df-dic 40511  df-dih 40567  df-doch 40686  df-djh 40733  df-lcdual 40925  df-mapd 40963  df-hvmap 41095  df-hdmap1 41131  df-hdmap 41132
This theorem is referenced by:  hlhilocv  41299
  Copyright terms: Public domain W3C validator