Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapoc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmapoc 39243
 Description: Express our constructed orthocomplement (polarity) in terms of the Hilbert space definition of orthocomplement. Lines 24 and 25 in [Holland95] p. 14. (Contributed by NM, 17-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapoc.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapoc.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapoc.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapoc.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmapoc.z 0 = (0g𝑅)
hdmapoc.o 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapoc.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapoc.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmapoc.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
hdmapoc (𝜑 → (𝑂𝑋) = {𝑦𝑉 ∣ ∀𝑧𝑋 ((𝑆𝑧)‘𝑦) = 0 })
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝑂   𝑧,𝑉   𝑦,𝑋,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑦,𝑧)   𝑆(𝑦,𝑧)   𝑈(𝑦,𝑧)   𝐻(𝑦,𝑧)   𝐾(𝑦,𝑧)   𝑉(𝑦)   𝑊(𝑦,𝑧)   0 (𝑦,𝑧)

Proof of Theorem hdmapoc
StepHypRef Expression
1 hdmapoc.k . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 hdmapoc.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑉)
3 hdmapoc.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 hdmapoc.u . . . . . . . 8 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 hdmapoc.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑈)
6 hdmapoc.o . . . . . . . 8 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
73, 4, 5, 6dochssv 38667 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑂𝑋) ⊆ 𝑉)
81, 2, 7syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂𝑋) ⊆ 𝑉)
98sseld 3914 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑂𝑋) → 𝑦𝑉))
109pm4.71rd 566 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑂𝑋) ↔ (𝑦𝑉𝑦 ∈ (𝑂𝑋))))
11 eqid 2798 . . . . . . . . 9 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
12 eqid 2798 . . . . . . . . 9 (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
133, 4, 1dvhlmod 38422 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
1413adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑉) → 𝑈 ∈ LMod)
153, 4, 5, 11, 6dochlss 38666 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑂𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑈))
161, 2, 15syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑂𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑈))
1716adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑉) → (𝑂𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑈))
18 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑉) → 𝑦𝑉)
195, 11, 12, 14, 17, 18lspsnel5 19763 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑉) → (𝑦 ∈ (𝑂𝑋) ↔ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑦}) ⊆ (𝑂𝑋)))
20 eqid 2798 . . . . . . . . 9 ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
211adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑉) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
223, 4, 5, 12, 20dihlsprn 38643 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑦𝑉) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑦}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
2321, 18, 22syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑉) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑦}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
243, 20, 4, 5, 6dochcl 38665 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑂𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
251, 2, 24syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑂𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
2625adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑉) → (𝑂𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
273, 20, 6, 21, 23, 26dochord 38682 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑉) → (((LSpan‘𝑈)‘{𝑦}) ⊆ (𝑂𝑋) ↔ (𝑂‘(𝑂𝑋)) ⊆ (𝑂‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑦}))))
2818snssd 4702 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝑉) → {𝑦} ⊆ 𝑉)
293, 4, 6, 5, 12, 21, 28dochocsp 38691 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝑉) → (𝑂‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑦})) = (𝑂‘{𝑦}))
3029sseq2d 3947 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑉) → ((𝑂‘(𝑂𝑋)) ⊆ (𝑂‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑦})) ↔ (𝑂‘(𝑂𝑋)) ⊆ (𝑂‘{𝑦})))
312adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝑉) → 𝑋𝑉)
323, 20, 4, 5, 6dochcl 38665 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ {𝑦} ⊆ 𝑉) → (𝑂‘{𝑦}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
3321, 28, 32syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝑉) → (𝑂‘{𝑦}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
343, 4, 5, 20, 6, 21, 31, 33dochsscl 38680 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝑉) → (𝑋 ⊆ (𝑂‘{𝑦}) ↔ (𝑂‘(𝑂𝑋)) ⊆ (𝑂‘{𝑦})))
3530, 34bitr4d 285 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑉) → ((𝑂‘(𝑂𝑋)) ⊆ (𝑂‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑦})) ↔ 𝑋 ⊆ (𝑂‘{𝑦})))
3619, 27, 353bitrd 308 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑉) → (𝑦 ∈ (𝑂𝑋) ↔ 𝑋 ⊆ (𝑂‘{𝑦})))
37 dfss3 3903 . . . . . . 7 (𝑋 ⊆ (𝑂‘{𝑦}) ↔ ∀𝑧𝑋 𝑧 ∈ (𝑂‘{𝑦}))
3836, 37syl6bb 290 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑉) → (𝑦 ∈ (𝑂𝑋) ↔ ∀𝑧𝑋 𝑧 ∈ (𝑂‘{𝑦})))
39 hdmapoc.r . . . . . . . . 9 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
40 hdmapoc.z . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑅)
41 hdmapoc.s . . . . . . . . 9 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
421ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝑉) ∧ 𝑧𝑋) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
4331sselda 3915 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝑉) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑧𝑉)
44 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝑉) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑦𝑉)
453, 6, 4, 5, 39, 40, 41, 42, 43, 44hdmapellkr 39226 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝑉) ∧ 𝑧𝑋) → (((𝑆𝑧)‘𝑦) = 0𝑦 ∈ (𝑂‘{𝑧})))
463, 6, 4, 5, 42, 44, 43dochsncom 38694 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝑉) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑦 ∈ (𝑂‘{𝑧}) ↔ 𝑧 ∈ (𝑂‘{𝑦})))
4745, 46bitrd 282 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝑉) ∧ 𝑧𝑋) → (((𝑆𝑧)‘𝑦) = 0𝑧 ∈ (𝑂‘{𝑦})))
4847ralbidva 3161 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑉) → (∀𝑧𝑋 ((𝑆𝑧)‘𝑦) = 0 ↔ ∀𝑧𝑋 𝑧 ∈ (𝑂‘{𝑦})))
4938, 48bitr4d 285 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑉) → (𝑦 ∈ (𝑂𝑋) ↔ ∀𝑧𝑋 ((𝑆𝑧)‘𝑦) = 0 ))
5049pm5.32da 582 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦𝑉𝑦 ∈ (𝑂𝑋)) ↔ (𝑦𝑉 ∧ ∀𝑧𝑋 ((𝑆𝑧)‘𝑦) = 0 )))
5110, 50bitrd 282 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑂𝑋) ↔ (𝑦𝑉 ∧ ∀𝑧𝑋 ((𝑆𝑧)‘𝑦) = 0 )))
5251abbi2dv 2927 . 2 (𝜑 → (𝑂𝑋) = {𝑦 ∣ (𝑦𝑉 ∧ ∀𝑧𝑋 ((𝑆𝑧)‘𝑦) = 0 )})
53 df-rab 3115 . 2 {𝑦𝑉 ∣ ∀𝑧𝑋 ((𝑆𝑧)‘𝑦) = 0 } = {𝑦 ∣ (𝑦𝑉 ∧ ∀𝑧𝑋 ((𝑆𝑧)‘𝑦) = 0 )}
5452, 53eqtr4di 2851 1 (𝜑 → (𝑂𝑋) = {𝑦𝑉 ∣ ∀𝑧𝑋 ((𝑆𝑧)‘𝑦) = 0 })
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {cab 2776  ∀wral 3106  {crab 3110   ⊆ wss 3881  {csn 4525  ran crn 5520  ‘cfv 6324  Basecbs 16477  Scalarcsca 16562  0gc0g 16707  LModclmod 19630  LSubSpclss 19699  LSpanclspn 19739  HLchlt 36662  LHypclh 37296  DVecHcdvh 38390  DIsoHcdih 38540  ocHcoch 38659  HDMapchdma 39104 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605  ax-riotaBAD 36265 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-ot 4534  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7390  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-tpos 7877  df-undef 7924  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-oadd 8091  df-er 8274  df-map 8393  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-nn 11628  df-2 11690  df-3 11691  df-4 11692  df-5 11693  df-6 11694  df-n0 11888  df-z 11972  df-uz 12234  df-fz 12888  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-0g 16709  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-proset 17532  df-poset 17550  df-plt 17562  df-lub 17578  df-glb 17579  df-join 17580  df-meet 17581  df-p0 17643  df-p1 17644  df-lat 17650  df-clat 17712  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-subg 18271  df-cntz 18442  df-oppg 18469  df-lsm 18756  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-dvr 19432  df-drng 19500  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-lsp 19740  df-lvec 19871  df-lsatoms 36288  df-lshyp 36289  df-lcv 36331  df-lfl 36370  df-lkr 36398  df-ldual 36436  df-oposet 36488  df-ol 36490  df-oml 36491  df-covers 36578  df-ats 36579  df-atl 36610  df-cvlat 36634  df-hlat 36663  df-llines 36810  df-lplanes 36811  df-lvols 36812  df-lines 36813  df-psubsp 36815  df-pmap 36816  df-padd 37108  df-lhyp 37300  df-laut 37301  df-ldil 37416  df-ltrn 37417  df-trl 37471  df-tgrp 38055  df-tendo 38067  df-edring 38069  df-dveca 38315  df-disoa 38341  df-dvech 38391  df-dib 38451  df-dic 38485  df-dih 38541  df-doch 38660  df-djh 38707  df-lcdual 38899  df-mapd 38937  df-hvmap 39069  df-hdmap1 39105  df-hdmap 39106 This theorem is referenced by:  hlhilocv  39269
 Copyright terms: Public domain W3C validator