Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdindp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdindp 38288
Description: Transfer (part of) vector independence condition from domain to range of projectivity mapd. (Contributed by NM, 11-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdindp.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdindp.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdindp.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdindp.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdindp.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdindp.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdindp.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdindp.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdindp.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdindp.f (𝜑𝐹𝐷)
mapdindp.mx (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdindp.x (𝜑𝑋𝑉)
mapdindp.y (𝜑𝑌𝑉)
mapdindp.g (𝜑𝐺𝐷)
mapdindp.my (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdindp.z (𝜑𝑍𝑉)
mapdindp.e (𝜑𝐸𝐷)
mapdindp.mg (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐽‘{𝐸}))
mapdindp.xn (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
Assertion
Ref Expression
mapdindp (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ (𝐽‘{𝐺, 𝐸}))

Proof of Theorem mapdindp
StepHypRef Expression
1 mapdindp.xn . 2 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
2 mapdindp.d . . . 4 𝐷 = (Base‘𝐶)
3 eqid 2793 . . . 4 (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
4 mapdindp.j . . . 4 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
5 mapdindp.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 mapdindp.c . . . . 5 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
7 mapdindp.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
85, 6, 7lcdlmod 38209 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
9 mapdindp.g . . . . 5 (𝜑𝐺𝐷)
10 mapdindp.e . . . . 5 (𝜑𝐸𝐷)
112, 3, 4, 8, 9, 10lspprcl 19428 . . . 4 (𝜑 → (𝐽‘{𝐺, 𝐸}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
12 mapdindp.f . . . 4 (𝜑𝐹𝐷)
132, 3, 4, 8, 11, 12lspsnel5 19445 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽‘{𝐺, 𝐸}) ↔ (𝐽‘{𝐹}) ⊆ (𝐽‘{𝐺, 𝐸})))
14 mapdindp.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
15 eqid 2793 . . . . 5 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
16 mapdindp.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
17 mapdindp.u . . . . . 6 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
185, 17, 7dvhlmod 37727 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
19 mapdindp.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
20 mapdindp.z . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑉)
2114, 15, 16, 18, 19, 20lspprcl 19428 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
22 mapdindp.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
2314, 15, 16, 18, 21, 22lspsnel5 19445 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})))
24 mapdindp.m . . . . 5 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
2514, 15, 16lspsncl 19427 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
2618, 22, 25syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
275, 17, 15, 24, 7, 26, 21mapdord 38255 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊆ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌, 𝑍})) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})))
28 mapdindp.mx . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
29 eqid 2793 . . . . . . . . 9 (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
3014, 16, 29, 18, 19, 20lsmpr 19539 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) = ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})))
3130fveq2d 6534 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌, 𝑍})) = (𝑀‘((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))))
32 eqid 2793 . . . . . . . 8 (LSSum‘𝐶) = (LSSum‘𝐶)
3314, 15, 16lspsncl 19427 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
3418, 19, 33syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
3514, 15, 16lspsncl 19427 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑉) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
3618, 20, 35syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
375, 24, 17, 15, 29, 6, 32, 7, 34, 36mapdlsm 38281 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) = ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑍}))))
38 mapdindp.my . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}))
39 mapdindp.mg . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐽‘{𝐸}))
4038, 39oveq12d 7025 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑍}))) = ((𝐽‘{𝐺})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})))
4131, 37, 403eqtrd 2833 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌, 𝑍})) = ((𝐽‘{𝐺})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})))
422, 4, 32, 8, 9, 10lsmpr 19539 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽‘{𝐺, 𝐸}) = ((𝐽‘{𝐺})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})))
4341, 42eqtr4d 2832 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌, 𝑍})) = (𝐽‘{𝐺, 𝐸}))
4428, 43sseq12d 3916 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊆ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌, 𝑍})) ↔ (𝐽‘{𝐹}) ⊆ (𝐽‘{𝐺, 𝐸})))
4523, 27, 443bitr2rd 309 . . 3 (𝜑 → ((𝐽‘{𝐹}) ⊆ (𝐽‘{𝐺, 𝐸}) ↔ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})))
4613, 45bitrd 280 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽‘{𝐺, 𝐸}) ↔ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})))
471, 46mtbird 326 1 (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ (𝐽‘{𝐺, 𝐸}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1520  wcel 2079  wss 3854  {csn 4466  {cpr 4468  cfv 6217  (class class class)co 7007  Basecbs 16300  LSSumclsm 18477  LModclmod 19312  LSubSpclss 19381  LSpanclspn 19421  HLchlt 35967  LHypclh 36601  DVecHcdvh 37695  LCDualclcd 38203  mapdcmpd 38241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449  ax-riotaBAD 35570
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-fal 1533  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-iun 4821  df-iin 4822  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-of 7258  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-tpos 7734  df-undef 7781  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-1o 7944  df-oadd 7948  df-er 8130  df-map 8249  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-4 11539  df-5 11540  df-6 11541  df-n0 11735  df-z 11819  df-uz 12083  df-fz 12732  df-struct 16302  df-ndx 16303  df-slot 16304  df-base 16306  df-sets 16307  df-ress 16308  df-plusg 16395  df-mulr 16396  df-sca 16398  df-vsca 16399  df-0g 16532  df-mre 16674  df-mrc 16675  df-acs 16677  df-proset 17355  df-poset 17373  df-plt 17385  df-lub 17401  df-glb 17402  df-join 17403  df-meet 17404  df-p0 17466  df-p1 17467  df-lat 17473  df-clat 17535  df-mgm 17669  df-sgrp 17711  df-mnd 17722  df-submnd 17763  df-grp 17852  df-minusg 17853  df-sbg 17854  df-subg 18018  df-cntz 18176  df-oppg 18203  df-lsm 18479  df-cmn 18623  df-abl 18624  df-mgp 18918  df-ur 18930  df-ring 18977  df-oppr 19051  df-dvdsr 19069  df-unit 19070  df-invr 19100  df-dvr 19111  df-drng 19182  df-lmod 19314  df-lss 19382  df-lsp 19422  df-lvec 19553  df-lsatoms 35593  df-lshyp 35594  df-lcv 35636  df-lfl 35675  df-lkr 35703  df-ldual 35741  df-oposet 35793  df-ol 35795  df-oml 35796  df-covers 35883  df-ats 35884  df-atl 35915  df-cvlat 35939  df-hlat 35968  df-llines 36115  df-lplanes 36116  df-lvols 36117  df-lines 36118  df-psubsp 36120  df-pmap 36121  df-padd 36413  df-lhyp 36605  df-laut 36606  df-ldil 36721  df-ltrn 36722  df-trl 36776  df-tgrp 37360  df-tendo 37372  df-edring 37374  df-dveca 37620  df-disoa 37646  df-dvech 37696  df-dib 37756  df-dic 37790  df-dih 37846  df-doch 37965  df-djh 38012  df-lcdual 38204  df-mapd 38242
This theorem is referenced by:  mapdheq4lem  38348  mapdh6lem1N  38350  mapdh6lem2N  38351  hdmap1l6lem1  38424  hdmap1l6lem2  38425
  Copyright terms: Public domain W3C validator