Theorem mapdh8e 41785

Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. Eliminate 𝑤. (Contributed by NM, 10-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh8a.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh8a.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh8a.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdh8a.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdh8a.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh8a.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh8a.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh8a.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh8a.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh8a.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh8a.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdh8e.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh8e.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh8e.eg	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
mapdh8e.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8e.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8e.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8e.xy	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdh8e.xt	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8e.yt	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8e.e	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))

Assertion

Ref	Expression
mapdh8e	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩))

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ, −   0 ,ℎ,𝑥   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ,𝑥   ℎ,𝐹,𝑥   ℎ,𝐼   ℎ,𝐺,𝑥   ℎ,𝐽,𝑥   ℎ,𝑀,𝑥   ℎ,𝑁,𝑥   𝜑,ℎ   𝑅,ℎ,𝑥   𝑥,𝑄   𝑇,ℎ,𝑥   𝑈,ℎ   ℎ,𝑋,𝑥   ℎ,𝑌,𝑥   𝑥,𝐼   ℎ,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑄(ℎ)   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥,ℎ)   𝐾(𝑥,ℎ)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥,ℎ)

Proof of Theorem mapdh8e

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh8a.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdh8a.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdh8a.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		mapdh8a.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5		mapdh8a.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		mapdh8e.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
7	6	eldifad 3929	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
8		mapdh8e.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
9	8	eldifad 3929	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
10	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9	dvh3dim 41447	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ 𝑉 ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
11		mapdh8a.s	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑈)
12		mapdh8a.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
13		mapdh8a.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
14		mapdh8a.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
15		mapdh8a.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
16		mapdh8a.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
17		mapdh8a.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
18		mapdh8a.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
19		mapdh8a.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
20	5	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
21		mapdh8e.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
22	21	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝐹 ∈ 𝐷)
23		mapdh8e.mn	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
24	23	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
25		mapdh8e.eg	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
26	25	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
27	6	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
28	8	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
29		mapdh8e.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
30	29	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
31		mapdh8e.yt	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
32	31	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
33		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
34	1, 2, 5	dvhlmod 41111	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
35	34	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑈 ∈ LMod)
36	3, 33, 4, 34, 7, 9	lspprcl 20891	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
37	36	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
38		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑤 ∈ 𝑉)
39		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
40	12, 33, 35, 37, 38, 39	lssneln0 20866	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
41	1, 2, 5	dvhlvec 41110	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
42	29	eldifad 3929	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
43		mapdh8e.xy	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
44		mapdh8e.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))
45		prcom 4699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑌, 𝑇} = {𝑇, 𝑌}
46	45	fveq2i 6864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑇, 𝑌})
47	44, 46	eleqtrdi 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑇, 𝑌}))
48	3, 12, 4, 41, 6, 42, 9, 43, 47	lspexch 21046	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
49	33, 4, 34, 36, 48	ellspsn5 20909	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
50	49	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
51	34	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ LMod)
52	36	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
53		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → 𝑤 ∈ 𝑉)
54	3, 33, 4, 51, 52, 53	ellspsn5b 20908	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → (𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑤}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
55	54	biimprd 248	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑤}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) → 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
56	55	con3d 152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) → ¬ (𝑁‘{𝑤}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
57	56	3impia 1117	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → ¬ (𝑁‘{𝑤}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
58		nssne2 4013	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁‘{𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ (𝑁‘{𝑤}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑇}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
59	50, 57, 58	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑇}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
60	59	necomd 2981	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
61		mapdh8e.xt	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
62	61	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
63	41	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑈 ∈ LVec)
64	7	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑋 ∈ 𝑉)
65	9	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑌 ∈ 𝑉)
66	3, 4, 63, 38, 64, 65, 39	lspindpi 21049	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌})))
67	66	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
68	67	necomd 2981	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
69	43	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
70	3, 12, 4, 63, 27, 65, 38, 69, 39	lspindp2l 21051	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → ((𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑤}) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤})))
71	70	simprd 495	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
72	1, 2, 3, 11, 12, 4, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 40, 60, 62, 68, 71	mapdh8d 41784	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩))
73	72	rexlimdv3a 3139	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ 𝑉 ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩)))
74	10, 73	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∃wrex 3054  Vcvv 3450   ∖ cdif 3914   ⊆ wss 3917  ifcif 4491  {csn 4592  {cpr 4594  ⟨cotp 4600   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6514  ℩crio 7346  (class class class)co 7390  1^st c1st 7969  2^nd c2nd 7970  Basecbs 17186  0_gc0g 17409  -_gcsg 18874  LModclmod 20773  LSubSpclss 20844  LSpanclspn 20884  LVecclvec 21016  HLchlt 39350  LHypclh 39985  DVecHcdvh 41079  LCDualclcd 41587  mapdcmpd 41625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-riotaBAD 38953

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-ot 4601  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-undef 8255  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-0g 17411  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-proset 18262  df-poset 18281  df-plt 18296  df-lub 18312  df-glb 18313  df-join 18314  df-meet 18315  df-p0 18391  df-p1 18392  df-lat 18398  df-clat 18465  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-subg 19062  df-cntz 19256  df-oppg 19285  df-lsm 19573  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-dvr 20317  df-nzr 20429  df-rlreg 20610  df-domn 20611  df-drng 20647  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-lsp 20885  df-lvec 21017  df-lsatoms 38976  df-lshyp 38977  df-lcv 39019  df-lfl 39058  df-lkr 39086  df-ldual 39124  df-oposet 39176  df-ol 39178  df-oml 39179  df-covers 39266  df-ats 39267  df-atl 39298  df-cvlat 39322  df-hlat 39351  df-llines 39499  df-lplanes 39500  df-lvols 39501  df-lines 39502  df-psubsp 39504  df-pmap 39505  df-padd 39797  df-lhyp 39989  df-laut 39990  df-ldil 40105  df-ltrn 40106  df-trl 40160  df-tgrp 40744  df-tendo 40756  df-edring 40758  df-dveca 41004  df-disoa 41030  df-dvech 41080  df-dib 41140  df-dic 41174  df-dih 41230  df-doch 41349  df-djh 41396  df-lcdual 41588  df-mapd 41626

This theorem is referenced by:  mapdh8g  41786