Theorem mapdh8e 41783

Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. Eliminate 𝑤. (Contributed by NM, 10-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh8a.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh8a.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh8a.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdh8a.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdh8a.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh8a.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh8a.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh8a.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh8a.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh8a.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh8a.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdh8e.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh8e.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh8e.eg	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
mapdh8e.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8e.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8e.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8e.xy	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdh8e.xt	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8e.yt	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8e.e	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))

Assertion

Ref	Expression
mapdh8e	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩))

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ, −   0 ,ℎ,𝑥   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ,𝑥   ℎ,𝐹,𝑥   ℎ,𝐼   ℎ,𝐺,𝑥   ℎ,𝐽,𝑥   ℎ,𝑀,𝑥   ℎ,𝑁,𝑥   𝜑,ℎ   𝑅,ℎ,𝑥   𝑥,𝑄   𝑇,ℎ,𝑥   𝑈,ℎ   ℎ,𝑋,𝑥   ℎ,𝑌,𝑥   𝑥,𝐼   ℎ,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑄(ℎ)   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥,ℎ)   𝐾(𝑥,ℎ)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥,ℎ)

Proof of Theorem mapdh8e

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh8a.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdh8a.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdh8a.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		mapdh8a.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5		mapdh8a.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		mapdh8e.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
7	6	eldifad 3917	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
8		mapdh8e.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
9	8	eldifad 3917	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
10	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9	dvh3dim 41445	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ 𝑉 ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
11		mapdh8a.s	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑈)
12		mapdh8a.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
13		mapdh8a.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
14		mapdh8a.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
15		mapdh8a.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
16		mapdh8a.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
17		mapdh8a.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
18		mapdh8a.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
19		mapdh8a.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
20	5	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
21		mapdh8e.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
22	21	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝐹 ∈ 𝐷)
23		mapdh8e.mn	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
24	23	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
25		mapdh8e.eg	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
26	25	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
27	6	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
28	8	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
29		mapdh8e.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
30	29	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
31		mapdh8e.yt	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
32	31	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
33		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
34	1, 2, 5	dvhlmod 41109	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
35	34	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑈 ∈ LMod)
36	3, 33, 4, 34, 7, 9	lspprcl 20900	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
37	36	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
38		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑤 ∈ 𝑉)
39		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
40	12, 33, 35, 37, 38, 39	lssneln0 20875	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
41	1, 2, 5	dvhlvec 41108	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
42	29	eldifad 3917	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
43		mapdh8e.xy	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
44		mapdh8e.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))
45		prcom 4686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑌, 𝑇} = {𝑇, 𝑌}
46	45	fveq2i 6829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑇, 𝑌})
47	44, 46	eleqtrdi 2838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑇, 𝑌}))
48	3, 12, 4, 41, 6, 42, 9, 43, 47	lspexch 21055	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
49	33, 4, 34, 36, 48	ellspsn5 20918	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
50	49	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
51	34	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ LMod)
52	36	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
53		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → 𝑤 ∈ 𝑉)
54	3, 33, 4, 51, 52, 53	ellspsn5b 20917	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → (𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑤}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
55	54	biimprd 248	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑤}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) → 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
56	55	con3d 152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) → ¬ (𝑁‘{𝑤}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
57	56	3impia 1117	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → ¬ (𝑁‘{𝑤}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
58		nssne2 4001	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁‘{𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ (𝑁‘{𝑤}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑇}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
59	50, 57, 58	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑇}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
60	59	necomd 2980	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
61		mapdh8e.xt	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
62	61	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
63	41	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑈 ∈ LVec)
64	7	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑋 ∈ 𝑉)
65	9	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑌 ∈ 𝑉)
66	3, 4, 63, 38, 64, 65, 39	lspindpi 21058	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌})))
67	66	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
68	67	necomd 2980	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
69	43	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
70	3, 12, 4, 63, 27, 65, 38, 69, 39	lspindp2l 21060	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → ((𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑤}) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤})))
71	70	simprd 495	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
72	1, 2, 3, 11, 12, 4, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 40, 60, 62, 68, 71	mapdh8d 41782	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩))
73	72	rexlimdv3a 3134	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ 𝑉 ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩)))
74	10, 73	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  Vcvv 3438   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  ifcif 4478  {csn 4579  {cpr 4581  ⟨cotp 4587   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6486  ℩crio 7309  (class class class)co 7353  1^st c1st 7929  2^nd c2nd 7930  Basecbs 17139  0_gc0g 17362  -_gcsg 18833  LModclmod 20782  LSubSpclss 20853  LSpanclspn 20893  LVecclvec 21025  HLchlt 39348  LHypclh 39983  DVecHcdvh 41077  LCDualclcd 41585  mapdcmpd 41623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-riotaBAD 38951

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-ot 4588  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-undef 8213  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12755  df-fz 13430  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-ress 17161  df-plusg 17193  df-mulr 17194  df-sca 17196  df-vsca 17197  df-0g 17364  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-proset 18219  df-poset 18238  df-plt 18253  df-lub 18269  df-glb 18270  df-join 18271  df-meet 18272  df-p0 18348  df-p1 18349  df-lat 18357  df-clat 18424  df-mgm 18533  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18677  df-grp 18834  df-minusg 18835  df-sbg 18836  df-subg 19021  df-cntz 19215  df-oppg 19244  df-lsm 19534  df-cmn 19680  df-abl 19681  df-mgp 20045  df-rng 20057  df-ur 20086  df-ring 20139  df-oppr 20241  df-dvdsr 20261  df-unit 20262  df-invr 20292  df-dvr 20305  df-nzr 20417  df-rlreg 20598  df-domn 20599  df-drng 20635  df-lmod 20784  df-lss 20854  df-lsp 20894  df-lvec 21026  df-lsatoms 38974  df-lshyp 38975  df-lcv 39017  df-lfl 39056  df-lkr 39084  df-ldual 39122  df-oposet 39174  df-ol 39176  df-oml 39177  df-covers 39264  df-ats 39265  df-atl 39296  df-cvlat 39320  df-hlat 39349  df-llines 39497  df-lplanes 39498  df-lvols 39499  df-lines 39500  df-psubsp 39502  df-pmap 39503  df-padd 39795  df-lhyp 39987  df-laut 39988  df-ldil 40103  df-ltrn 40104  df-trl 40158  df-tgrp 40742  df-tendo 40754  df-edring 40756  df-dveca 41002  df-disoa 41028  df-dvech 41078  df-dib 41138  df-dic 41172  df-dih 41228  df-doch 41347  df-djh 41394  df-lcdual 41586  df-mapd 41624

This theorem is referenced by:  mapdh8g  41784