Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh8e Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh8e 38912
Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. Eliminate 𝑤. (Contributed by NM, 10-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh8a.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh8a.s = (-g𝑈)
mapdh8a.o 0 = (0g𝑈)
mapdh8a.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh8a.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh8a.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdh8a.q 𝑄 = (0g𝐶)
mapdh8a.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh8a.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.i 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
mapdh8a.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdh8e.f (𝜑𝐹𝐷)
mapdh8e.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh8e.eg (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
mapdh8e.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8e.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8e.t (𝜑𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8e.xy (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdh8e.xt (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8e.yt (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8e.e (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))
Assertion
Ref Expression
mapdh8e (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩))
Distinct variable groups:   𝑥,,   0 ,,𝑥   𝐶,   𝐷,,𝑥   ,𝐹,𝑥   ,𝐼   ,𝐺,𝑥   ,𝐽,𝑥   ,𝑀,𝑥   ,𝑁,𝑥   𝜑,   𝑅,,𝑥   𝑥,𝑄   𝑇,,𝑥   𝑈,   ,𝑋,𝑥   ,𝑌,𝑥   𝑥,𝐼   ,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑄()   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥,)   𝐾(𝑥,)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥,)

Proof of Theorem mapdh8e
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdh8a.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdh8a.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 mapdh8a.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5 mapdh8a.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
6 mapdh8e.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
76eldifad 3946 . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
8 mapdh8e.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
98eldifad 3946 . . 3 (𝜑𝑌𝑉)
101, 2, 3, 4, 5, 7, 9dvh3dim 38574 . 2 (𝜑 → ∃𝑤𝑉 ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
11 mapdh8a.s . . . 4 = (-g𝑈)
12 mapdh8a.o . . . 4 0 = (0g𝑈)
13 mapdh8a.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
14 mapdh8a.d . . . 4 𝐷 = (Base‘𝐶)
15 mapdh8a.r . . . 4 𝑅 = (-g𝐶)
16 mapdh8a.q . . . 4 𝑄 = (0g𝐶)
17 mapdh8a.j . . . 4 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
18 mapdh8a.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
19 mapdh8a.i . . . 4 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
2053ad2ant1 1128 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
21 mapdh8e.f . . . . 5 (𝜑𝐹𝐷)
22213ad2ant1 1128 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝐹𝐷)
23 mapdh8e.mn . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
24233ad2ant1 1128 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
25 mapdh8e.eg . . . . 5 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
26253ad2ant1 1128 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
2763ad2ant1 1128 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2883ad2ant1 1128 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
29 mapdh8e.t . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
30293ad2ant1 1128 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
31 mapdh8e.yt . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
32313ad2ant1 1128 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
33 eqid 2819 . . . . 5 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
341, 2, 5dvhlmod 38238 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
35343ad2ant1 1128 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑈 ∈ LMod)
363, 33, 4, 34, 7, 9lspprcl 19742 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
37363ad2ant1 1128 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
38 simp2 1132 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑤𝑉)
39 simp3 1133 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
4012, 33, 35, 37, 38, 39lssneln0 19716 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
411, 2, 5dvhlvec 38237 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
4229eldifad 3946 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇𝑉)
43 mapdh8e.xy . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
44 mapdh8e.e . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))
45 prcom 4660 . . . . . . . . . . 11 {𝑌, 𝑇} = {𝑇, 𝑌}
4645fveq2i 6666 . . . . . . . . . 10 (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑇, 𝑌})
4744, 46eleqtrdi 2921 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑇, 𝑌}))
483, 12, 4, 41, 6, 42, 9, 43, 47lspexch 19893 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
4933, 4, 34, 36, 48lspsnel5a 19760 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
50493ad2ant1 1128 . . . . . 6 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
5134adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤𝑉) → 𝑈 ∈ LMod)
5236adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤𝑉) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
53 simpr 487 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤𝑉) → 𝑤𝑉)
543, 33, 4, 51, 52, 53lspsnel5 19759 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤𝑉) → (𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑤}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
5554biimprd 250 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤𝑉) → ((𝑁‘{𝑤}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) → 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
5655con3d 155 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤𝑉) → (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) → ¬ (𝑁‘{𝑤}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
57563impia 1112 . . . . . 6 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → ¬ (𝑁‘{𝑤}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
58 nssne2 4026 . . . . . 6 (((𝑁‘{𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ (𝑁‘{𝑤}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑇}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
5950, 57, 58syl2anc 586 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑇}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
6059necomd 3069 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
61 mapdh8e.xt . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
62613ad2ant1 1128 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
63413ad2ant1 1128 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑈 ∈ LVec)
6473ad2ant1 1128 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑋𝑉)
6593ad2ant1 1128 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑌𝑉)
663, 4, 63, 38, 64, 65, 39lspindpi 19896 . . . . . 6 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌})))
6766simprd 498 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
6867necomd 3069 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
69433ad2ant1 1128 . . . . . 6 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
703, 12, 4, 63, 27, 65, 38, 69, 39lspindp2l 19898 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → ((𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑤}) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤})))
7170simprd 498 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
721, 2, 3, 11, 12, 4, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 40, 60, 62, 68, 71mapdh8d 38911 . . 3 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩))
7372rexlimdv3a 3284 . 2 (𝜑 → (∃𝑤𝑉 ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩)))
7410, 73mpd 15 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 398  w3a 1082   = wceq 1531  wcel 2108  wne 3014  wrex 3137  Vcvv 3493  cdif 3931  wss 3934  ifcif 4465  {csn 4559  {cpr 4561  cotp 4567  cmpt 5137  cfv 6348  crio 7105  (class class class)co 7148  1st c1st 7679  2nd c2nd 7680  Basecbs 16475  0gc0g 16705  -gcsg 18097  LModclmod 19626  LSubSpclss 19695  LSpanclspn 19735  LVecclvec 19866  HLchlt 36478  LHypclh 37112  DVecHcdvh 38206  LCDualclcd 38714  mapdcmpd 38752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-riotaBAD 36081
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-fal 1544  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-ot 4568  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-tpos 7884  df-undef 7931  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-0g 16707  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-clat 17710  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-cntz 18439  df-oppg 18466  df-lsm 18753  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-oppr 19365  df-dvdsr 19383  df-unit 19384  df-invr 19414  df-dvr 19425  df-drng 19496  df-lmod 19628  df-lss 19696  df-lsp 19736  df-lvec 19867  df-lsatoms 36104  df-lshyp 36105  df-lcv 36147  df-lfl 36186  df-lkr 36214  df-ldual 36252  df-oposet 36304  df-ol 36306  df-oml 36307  df-covers 36394  df-ats 36395  df-atl 36426  df-cvlat 36450  df-hlat 36479  df-llines 36626  df-lplanes 36627  df-lvols 36628  df-lines 36629  df-psubsp 36631  df-pmap 36632  df-padd 36924  df-lhyp 37116  df-laut 37117  df-ldil 37232  df-ltrn 37233  df-trl 37287  df-tgrp 37871  df-tendo 37883  df-edring 37885  df-dveca 38131  df-disoa 38157  df-dvech 38207  df-dib 38267  df-dic 38301  df-dih 38357  df-doch 38476  df-djh 38523  df-lcdual 38715  df-mapd 38753
This theorem is referenced by:  mapdh8g  38913
  Copyright terms: Public domain W3C validator