Theorem mapdh8e 41787

Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. Eliminate 𝑤. (Contributed by NM, 10-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh8a.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh8a.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh8a.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdh8a.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdh8a.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh8a.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh8a.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh8a.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh8a.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh8a.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh8a.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdh8e.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh8e.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh8e.eg	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
mapdh8e.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8e.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8e.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8e.xy	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdh8e.xt	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8e.yt	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8e.e	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))

Assertion

Ref	Expression
mapdh8e	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩))

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ, −   0 ,ℎ,𝑥   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ,𝑥   ℎ,𝐹,𝑥   ℎ,𝐼   ℎ,𝐺,𝑥   ℎ,𝐽,𝑥   ℎ,𝑀,𝑥   ℎ,𝑁,𝑥   𝜑,ℎ   𝑅,ℎ,𝑥   𝑥,𝑄   𝑇,ℎ,𝑥   𝑈,ℎ   ℎ,𝑋,𝑥   ℎ,𝑌,𝑥   𝑥,𝐼   ℎ,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑄(ℎ)   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥,ℎ)   𝐾(𝑥,ℎ)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥,ℎ)

Proof of Theorem mapdh8e

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh8a.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdh8a.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdh8a.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		mapdh8a.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5		mapdh8a.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		mapdh8e.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
7	6	eldifad 3962	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
8		mapdh8e.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
9	8	eldifad 3962	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
10	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9	dvh3dim 41449	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ 𝑉 ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
11		mapdh8a.s	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑈)
12		mapdh8a.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
13		mapdh8a.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
14		mapdh8a.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
15		mapdh8a.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
16		mapdh8a.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
17		mapdh8a.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
18		mapdh8a.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
19		mapdh8a.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
20	5	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
21		mapdh8e.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
22	21	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝐹 ∈ 𝐷)
23		mapdh8e.mn	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
24	23	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
25		mapdh8e.eg	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
26	25	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
27	6	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
28	8	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
29		mapdh8e.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
30	29	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
31		mapdh8e.yt	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
32	31	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
33		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
34	1, 2, 5	dvhlmod 41113	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
35	34	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑈 ∈ LMod)
36	3, 33, 4, 34, 7, 9	lspprcl 20977	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
37	36	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
38		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑤 ∈ 𝑉)
39		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
40	12, 33, 35, 37, 38, 39	lssneln0 20952	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
41	1, 2, 5	dvhlvec 41112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
42	29	eldifad 3962	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
43		mapdh8e.xy	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
44		mapdh8e.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))
45		prcom 4731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑌, 𝑇} = {𝑇, 𝑌}
46	45	fveq2i 6908	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑇, 𝑌})
47	44, 46	eleqtrdi 2850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑇, 𝑌}))
48	3, 12, 4, 41, 6, 42, 9, 43, 47	lspexch 21132	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
49	33, 4, 34, 36, 48	ellspsn5 20995	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
50	49	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
51	34	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → 𝑈 ∈ LMod)
52	36	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
53		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → 𝑤 ∈ 𝑉)
54	3, 33, 4, 51, 52, 53	ellspsn5b 20994	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → (𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑤}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
55	54	biimprd 248	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑤}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) → 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
56	55	con3d 152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉) → (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) → ¬ (𝑁‘{𝑤}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
57	56	3impia 1117	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → ¬ (𝑁‘{𝑤}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
58		nssne2 4046	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁‘{𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ (𝑁‘{𝑤}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑇}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
59	50, 57, 58	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑇}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
60	59	necomd 2995	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
61		mapdh8e.xt	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
62	61	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
63	41	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑈 ∈ LVec)
64	7	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑋 ∈ 𝑉)
65	9	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑌 ∈ 𝑉)
66	3, 4, 63, 38, 64, 65, 39	lspindpi 21135	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌})))
67	66	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
68	67	necomd 2995	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
69	43	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
70	3, 12, 4, 63, 27, 65, 38, 69, 39	lspindp2l 21137	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → ((𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑤}) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤})))
71	70	simprd 495	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
72	1, 2, 3, 11, 12, 4, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 40, 60, 62, 68, 71	mapdh8d 41786	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩))
73	72	rexlimdv3a 3158	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ 𝑉 ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩)))
74	10, 73	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  ∃wrex 3069  Vcvv 3479   ∖ cdif 3947   ⊆ wss 3950  ifcif 4524  {csn 4625  {cpr 4627  ⟨cotp 4633   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6560  ℩crio 7388  (class class class)co 7432  1^st c1st 8013  2^nd c2nd 8014  Basecbs 17248  0_gc0g 17485  -_gcsg 18954  LModclmod 20859  LSubSpclss 20930  LSpanclspn 20970  LVecclvec 21102  HLchlt 39352  LHypclh 39987  DVecHcdvh 41081  LCDualclcd 41589  mapdcmpd 41627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-riotaBAD 38955

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-ot 4634  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-tpos 8252  df-undef 8299  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17487  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-proset 18341  df-poset 18360  df-plt 18376  df-lub 18392  df-glb 18393  df-join 18394  df-meet 18395  df-p0 18471  df-p1 18472  df-lat 18478  df-clat 18545  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-subg 19142  df-cntz 19336  df-oppg 19365  df-lsm 19655  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-unit 20359  df-invr 20389  df-dvr 20402  df-nzr 20514  df-rlreg 20695  df-domn 20696  df-drng 20732  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lsp 20971  df-lvec 21103  df-lsatoms 38978  df-lshyp 38979  df-lcv 39021  df-lfl 39060  df-lkr 39088  df-ldual 39126  df-oposet 39178  df-ol 39180  df-oml 39181  df-covers 39268  df-ats 39269  df-atl 39300  df-cvlat 39324  df-hlat 39353  df-llines 39501  df-lplanes 39502  df-lvols 39503  df-lines 39504  df-psubsp 39506  df-pmap 39507  df-padd 39799  df-lhyp 39991  df-laut 39992  df-ldil 40107  df-ltrn 40108  df-trl 40162  df-tgrp 40746  df-tendo 40758  df-edring 40760  df-dveca 41006  df-disoa 41032  df-dvech 41082  df-dib 41142  df-dic 41176  df-dih 41232  df-doch 41351  df-djh 41398  df-lcdual 41590  df-mapd 41628

This theorem is referenced by:  mapdh8g  41788