Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh8e Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh8e 37594
Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. Eliminate 𝑤. (Contributed by NM, 10-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh8a.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh8a.s = (-g𝑈)
mapdh8a.o 0 = (0g𝑈)
mapdh8a.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh8a.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh8a.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdh8a.q 𝑄 = (0g𝐶)
mapdh8a.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh8a.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.i 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
mapdh8a.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdh8e.f (𝜑𝐹𝐷)
mapdh8e.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh8e.eg (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
mapdh8e.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8e.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8e.t (𝜑𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8e.xy (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdh8e.xt (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8e.yt (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
mapdh8e.e (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))
Assertion
Ref Expression
mapdh8e (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩))
Distinct variable groups:   𝑥,,   0 ,,𝑥   𝐶,   𝐷,,𝑥   ,𝐹,𝑥   ,𝐼   ,𝐺,𝑥   ,𝐽,𝑥   ,𝑀,𝑥   ,𝑁,𝑥   𝜑,   𝑅,,𝑥   𝑥,𝑄   𝑇,,𝑥   𝑈,   ,𝑋,𝑥   ,𝑌,𝑥   𝑥,𝐼   ,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑄()   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥,)   𝐾(𝑥,)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥,)

Proof of Theorem mapdh8e
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdh8a.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdh8a.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 mapdh8a.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5 mapdh8a.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
6 mapdh8e.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
76eldifad 3735 . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
8 mapdh8e.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
98eldifad 3735 . . 3 (𝜑𝑌𝑉)
101, 2, 3, 4, 5, 7, 9dvh3dim 37256 . 2 (𝜑 → ∃𝑤𝑉 ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
11 mapdh8a.s . . . 4 = (-g𝑈)
12 mapdh8a.o . . . 4 0 = (0g𝑈)
13 mapdh8a.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
14 mapdh8a.d . . . 4 𝐷 = (Base‘𝐶)
15 mapdh8a.r . . . 4 𝑅 = (-g𝐶)
16 mapdh8a.q . . . 4 𝑄 = (0g𝐶)
17 mapdh8a.j . . . 4 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
18 mapdh8a.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
19 mapdh8a.i . . . 4 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
2053ad2ant1 1127 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
21 mapdh8e.f . . . . 5 (𝜑𝐹𝐷)
22213ad2ant1 1127 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝐹𝐷)
23 mapdh8e.mn . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
24233ad2ant1 1127 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
25 mapdh8e.eg . . . . 5 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
26253ad2ant1 1127 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
2763ad2ant1 1127 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2883ad2ant1 1127 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
29 mapdh8e.t . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
30293ad2ant1 1127 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
31 mapdh8e.yt . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
32313ad2ant1 1127 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
33 eqid 2771 . . . . 5 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
341, 2, 5dvhlmod 36920 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
35343ad2ant1 1127 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑈 ∈ LMod)
363, 33, 4, 34, 7, 9lspprcl 19191 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
37363ad2ant1 1127 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
38 simp2 1131 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑤𝑉)
39 simp3 1132 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
4012, 33, 35, 37, 38, 39lssneln0 19163 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
411, 2, 5dvhlvec 36919 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
4229eldifad 3735 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇𝑉)
43 mapdh8e.xy . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
44 mapdh8e.e . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑇}))
45 prcom 4403 . . . . . . . . . . 11 {𝑌, 𝑇} = {𝑇, 𝑌}
4645fveq2i 6335 . . . . . . . . . 10 (𝑁‘{𝑌, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑇, 𝑌})
4744, 46syl6eleq 2860 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑇, 𝑌}))
483, 12, 4, 41, 6, 42, 9, 43, 47lspexch 19343 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
4933, 4, 34, 36, 48lspsnel5a 19209 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
50493ad2ant1 1127 . . . . . 6 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
5134adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤𝑉) → 𝑈 ∈ LMod)
5236adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤𝑉) → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
53 simpr 471 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤𝑉) → 𝑤𝑉)
543, 33, 4, 51, 52, 53lspsnel5 19208 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤𝑉) → (𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑤}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
5554biimprd 238 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤𝑉) → ((𝑁‘{𝑤}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) → 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
5655con3d 149 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤𝑉) → (¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) → ¬ (𝑁‘{𝑤}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
57563impia 1109 . . . . . 6 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → ¬ (𝑁‘{𝑤}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
58 nssne2 3811 . . . . . 6 (((𝑁‘{𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∧ ¬ (𝑁‘{𝑤}) ⊆ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑇}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
5950, 57, 58syl2anc 573 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑇}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
6059necomd 2998 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
61 mapdh8e.xt . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
62613ad2ant1 1127 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
63413ad2ant1 1127 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑈 ∈ LVec)
6473ad2ant1 1127 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑋𝑉)
6593ad2ant1 1127 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → 𝑌𝑉)
663, 4, 63, 38, 64, 65, 39lspindpi 19346 . . . . . 6 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → ((𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌})))
6766simprd 483 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑤}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
6867necomd 2998 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑤}))
69433ad2ant1 1127 . . . . . 6 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
703, 12, 4, 63, 27, 65, 38, 69, 39lspindp2l 19348 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → ((𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑤}) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤})))
7170simprd 483 . . . 4 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑤}))
721, 2, 3, 11, 12, 4, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 40, 60, 62, 68, 71mapdh8d 37593 . . 3 ((𝜑𝑤𝑉 ∧ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})) → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩))
7372rexlimdv3a 3181 . 2 (𝜑 → (∃𝑤𝑉 ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩)))
7410, 73mpd 15 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑇⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wrex 3062  Vcvv 3351  cdif 3720  wss 3723  ifcif 4225  {csn 4316  {cpr 4318  cotp 4324  cmpt 4863  cfv 6031  crio 6753  (class class class)co 6793  1st c1st 7313  2nd c2nd 7314  Basecbs 16064  0gc0g 16308  -gcsg 17632  LModclmod 19073  LSubSpclss 19142  LSpanclspn 19184  LVecclvec 19315  HLchlt 35159  LHypclh 35792  DVecHcdvh 36888  LCDualclcd 37396  mapdcmpd 37434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-riotaBAD 34761
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-ot 4325  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-tpos 7504  df-undef 7551  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-0g 16310  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-subg 17799  df-cntz 17957  df-oppg 17983  df-lsm 18258  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-dvr 18891  df-drng 18959  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-lvec 19316  df-lsatoms 34785  df-lshyp 34786  df-lcv 34828  df-lfl 34867  df-lkr 34895  df-ldual 34933  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-llines 35306  df-lplanes 35307  df-lvols 35308  df-lines 35309  df-psubsp 35311  df-pmap 35312  df-padd 35604  df-lhyp 35796  df-laut 35797  df-ldil 35912  df-ltrn 35913  df-trl 35968  df-tgrp 36552  df-tendo 36564  df-edring 36566  df-dveca 36812  df-disoa 36839  df-dvech 36889  df-dib 36949  df-dic 36983  df-dih 37039  df-doch 37158  df-djh 37205  df-lcdual 37397  df-mapd 37435
This theorem is referenced by:  mapdh8g  37595
  Copyright terms: Public domain W3C validator