Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh8e Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh8e 41122
Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. Eliminate 𝑀. (Contributed by NM, 10-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
mapdh8a.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh8a.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
mapdh8a.s βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
mapdh8a.o 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
mapdh8a.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
mapdh8a.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh8a.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
mapdh8a.r 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
mapdh8a.q 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
mapdh8a.j 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
mapdh8a.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh8a.i 𝐼 = (π‘₯ ∈ V ↦ if((2nd β€˜π‘₯) = 0 , 𝑄, (β„©β„Ž ∈ 𝐷 ((π‘€β€˜(π‘β€˜{(2nd β€˜π‘₯)})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{((1st β€˜(1st β€˜π‘₯)) βˆ’ (2nd β€˜π‘₯))})) = (π½β€˜{((2nd β€˜(1st β€˜π‘₯))π‘…β„Ž)})))))
mapdh8a.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
mapdh8e.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh8e.mn (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
mapdh8e.eg (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) = 𝐺)
mapdh8e.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdh8e.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdh8e.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdh8e.xy (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
mapdh8e.xt (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))
mapdh8e.yt (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))
mapdh8e.e (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}))
Assertion
Ref Expression
mapdh8e (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘Œ, 𝐺, π‘‡βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘‡βŸ©))
Distinct variable groups:   π‘₯,β„Ž, βˆ’   0 ,β„Ž,π‘₯   𝐢,β„Ž   𝐷,β„Ž,π‘₯   β„Ž,𝐹,π‘₯   β„Ž,𝐼   β„Ž,𝐺,π‘₯   β„Ž,𝐽,π‘₯   β„Ž,𝑀,π‘₯   β„Ž,𝑁,π‘₯   πœ‘,β„Ž   𝑅,β„Ž,π‘₯   π‘₯,𝑄   𝑇,β„Ž,π‘₯   π‘ˆ,β„Ž   β„Ž,𝑋,π‘₯   β„Ž,π‘Œ,π‘₯   π‘₯,𝐼   β„Ž,𝑉
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐢(π‘₯)   𝑄(β„Ž)   π‘ˆ(π‘₯)   𝐻(π‘₯,β„Ž)   𝐾(π‘₯,β„Ž)   𝑉(π‘₯)   π‘Š(π‘₯,β„Ž)

Proof of Theorem mapdh8e
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 mapdh8a.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 mapdh8a.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
4 mapdh8a.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
5 mapdh8a.k . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
6 mapdh8e.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
76eldifad 3960 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
8 mapdh8e.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
98eldifad 3960 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
101, 2, 3, 4, 5, 7, 9dvh3dim 40784 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
11 mapdh8a.s . . . 4 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
12 mapdh8a.o . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
13 mapdh8a.c . . . 4 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
14 mapdh8a.d . . . 4 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
15 mapdh8a.r . . . 4 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
16 mapdh8a.q . . . 4 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
17 mapdh8a.j . . . 4 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
18 mapdh8a.m . . . 4 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
19 mapdh8a.i . . . 4 𝐼 = (π‘₯ ∈ V ↦ if((2nd β€˜π‘₯) = 0 , 𝑄, (β„©β„Ž ∈ 𝐷 ((π‘€β€˜(π‘β€˜{(2nd β€˜π‘₯)})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{((1st β€˜(1st β€˜π‘₯)) βˆ’ (2nd β€˜π‘₯))})) = (π½β€˜{((2nd β€˜(1st β€˜π‘₯))π‘…β„Ž)})))))
2053ad2ant1 1132 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
21 mapdh8e.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
22213ad2ant1 1132 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
23 mapdh8e.mn . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
24233ad2ant1 1132 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
25 mapdh8e.eg . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) = 𝐺)
26253ad2ant1 1132 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) = 𝐺)
2763ad2ant1 1132 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
2883ad2ant1 1132 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
29 mapdh8e.t . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
30293ad2ant1 1132 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ 𝑇 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
31 mapdh8e.yt . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))
32313ad2ant1 1132 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))
33 eqid 2731 . . . . 5 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
341, 2, 5dvhlmod 40448 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
35343ad2ant1 1132 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
363, 33, 4, 34, 7, 9lspprcl 20821 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
37363ad2ant1 1132 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
38 simp2 1136 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ 𝑀 ∈ 𝑉)
39 simp3 1137 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
4012, 33, 35, 37, 38, 39lssneln0 20796 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
411, 2, 5dvhlvec 40447 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
4229eldifad 3960 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑉)
43 mapdh8e.xy . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
44 mapdh8e.e . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}))
45 prcom 4736 . . . . . . . . . . 11 {π‘Œ, 𝑇} = {𝑇, π‘Œ}
4645fveq2i 6894 . . . . . . . . . 10 (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑇, π‘Œ})
4744, 46eleqtrdi 2842 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑇, π‘Œ}))
483, 12, 4, 41, 6, 42, 9, 43, 47lspexch 20976 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
4933, 4, 34, 36, 48lspsnel5a 20839 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑇}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
50493ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ (π‘β€˜{𝑇}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
5134adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
5236adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
53 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) β†’ 𝑀 ∈ 𝑉)
543, 33, 4, 51, 52, 53lspsnel5 20838 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) β†’ (𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ↔ (π‘β€˜{𝑀}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
5554biimprd 247 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜{𝑀}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) β†’ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
5655con3d 152 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) β†’ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) β†’ Β¬ (π‘β€˜{𝑀}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})))
57563impia 1116 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ Β¬ (π‘β€˜{𝑀}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}))
58 nssne2 4045 . . . . . 6 (((π‘β€˜{𝑇}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∧ Β¬ (π‘β€˜{𝑀}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ (π‘β€˜{𝑇}) β‰  (π‘β€˜{𝑀}))
5950, 57, 58syl2anc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ (π‘β€˜{𝑇}) β‰  (π‘β€˜{𝑀}))
6059necomd 2995 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))
61 mapdh8e.xt . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))
62613ad2ant1 1132 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))
63413ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
6473ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
6593ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
663, 4, 63, 38, 64, 65, 39lspindpi 20979 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ})))
6766simprd 495 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
6867necomd 2995 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{𝑀}))
69433ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
703, 12, 4, 63, 27, 65, 38, 69, 39lspindp2l 20981 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ ((π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{𝑀}) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑀})))
7170simprd 495 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑀}))
721, 2, 3, 11, 12, 4, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 40, 60, 62, 68, 71mapdh8d 41121 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ})) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘Œ, 𝐺, π‘‡βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘‡βŸ©))
7372rexlimdv3a 3158 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑀 ∈ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘Œ, 𝐺, π‘‡βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘‡βŸ©)))
7410, 73mpd 15 1 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘Œ, 𝐺, π‘‡βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘‡βŸ©))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆƒwrex 3069  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  ifcif 4528  {csn 4628  {cpr 4630  βŸ¨cotp 4636   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  β„©crio 7367  (class class class)co 7412  1st c1st 7977  2nd c2nd 7978  Basecbs 17151  0gc0g 17392  -gcsg 18863  LModclmod 20702  LSubSpclss 20774  LSpanclspn 20814  LVecclvec 20946  HLchlt 38687  LHypclh 39322  DVecHcdvh 40416  LCDualclcd 40924  mapdcmpd 40962
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-riotaBAD 38290
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8217  df-undef 8264  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-0g 17394  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-p1 18389  df-lat 18395  df-clat 18462  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19046  df-cntz 19229  df-oppg 19258  df-lsm 19552  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-drng 20585  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815  df-lvec 20947  df-lsatoms 38313  df-lshyp 38314  df-lcv 38356  df-lfl 38395  df-lkr 38423  df-ldual 38461  df-oposet 38513  df-ol 38515  df-oml 38516  df-covers 38603  df-ats 38604  df-atl 38635  df-cvlat 38659  df-hlat 38688  df-llines 38836  df-lplanes 38837  df-lvols 38838  df-lines 38839  df-psubsp 38841  df-pmap 38842  df-padd 39134  df-lhyp 39326  df-laut 39327  df-ldil 39442  df-ltrn 39443  df-trl 39497  df-tgrp 40081  df-tendo 40093  df-edring 40095  df-dveca 40341  df-disoa 40367  df-dvech 40417  df-dib 40477  df-dic 40511  df-dih 40567  df-doch 40686  df-djh 40733  df-lcdual 40925  df-mapd 40963
This theorem is referenced by:  mapdh8g  41123
  Copyright terms: Public domain W3C validator