Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem36 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem36 41107
Description: Lemma for lcfr 41114. (Contributed by NM, 6-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem17.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
lcfrlem17.o βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lcfrlem17.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lcfrlem17.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem17.p + = (+gβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem17.z 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem17.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem17.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem17.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
lcfrlem17.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
lcfrlem17.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
lcfrlem17.ne (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
lcfrlem22.b 𝐡 = ((π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∩ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}))
lcfrlem24.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
lcfrlem24.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem24.q 𝑄 = (0gβ€˜π‘†)
lcfrlem24.r 𝑅 = (Baseβ€˜π‘†)
lcfrlem24.j 𝐽 = (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))))
lcfrlem24.ib (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐡)
lcfrlem24.l 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem25.d 𝐷 = (LDualβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem28.jn (πœ‘ β†’ ((π½β€˜π‘Œ)β€˜πΌ) β‰  𝑄)
lcfrlem29.i 𝐹 = (invrβ€˜π‘†)
lcfrlem30.m βˆ’ = (-gβ€˜π·)
lcfrlem30.c 𝐢 = ((π½β€˜π‘‹) βˆ’ (((πΉβ€˜((π½β€˜π‘Œ)β€˜πΌ))(.rβ€˜π‘†)((π½β€˜π‘‹)β€˜πΌ))( ·𝑠 β€˜π·)(π½β€˜π‘Œ)))
Assertion
Ref Expression
lcfrlem36 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΆ)))
Distinct variable groups:   𝑣,π‘˜,𝑀,π‘₯, βŠ₯   + ,π‘˜,𝑣,𝑀,π‘₯   𝑅,π‘˜,𝑣,π‘₯   𝑆,π‘˜   Β· ,π‘˜,𝑣,𝑀,π‘₯   𝑣,𝑉,π‘₯   π‘˜,𝑋,𝑣,𝑀,π‘₯   π‘˜,π‘Œ,𝑣,𝑀,π‘₯   π‘₯, 0
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑀,𝑣,π‘˜)   𝐴(π‘₯,𝑀,𝑣,π‘˜)   𝐡(π‘₯,𝑀,𝑣,π‘˜)   𝐢(π‘₯,𝑀,𝑣,π‘˜)   𝐷(π‘₯,𝑀,𝑣,π‘˜)   𝑄(π‘₯,𝑀,𝑣,π‘˜)   𝑅(𝑀)   𝑆(π‘₯,𝑀,𝑣)   π‘ˆ(π‘₯,𝑀,𝑣,π‘˜)   𝐹(π‘₯,𝑀,𝑣,π‘˜)   𝐻(π‘₯,𝑀,𝑣,π‘˜)   𝐼(π‘₯,𝑀,𝑣,π‘˜)   𝐽(π‘₯,𝑀,𝑣,π‘˜)   𝐾(π‘₯,𝑀,𝑣,π‘˜)   𝐿(π‘₯,𝑀,𝑣,π‘˜)   βˆ’ (π‘₯,𝑀,𝑣,π‘˜)   𝑁(π‘₯,𝑀,𝑣,π‘˜)   𝑉(𝑀,π‘˜)   π‘Š(π‘₯,𝑀,𝑣,π‘˜)   0 (𝑀,𝑣,π‘˜)

Proof of Theorem lcfrlem36
StepHypRef Expression
1 lcfrlem17.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 lcfrlem17.u . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 lcfrlem17.o . . . . 5 βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 lcfrlem17.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
5 lcfrlem17.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
6 lcfrlem17.k . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
7 lcfrlem17.p . . . . . . 7 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
8 lcfrlem17.z . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
9 lcfrlem17.a . . . . . . 7 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)
10 lcfrlem17.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
11 lcfrlem17.y . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
12 lcfrlem17.ne . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
131, 3, 2, 4, 7, 8, 5, 9, 6, 10, 11, 12lcfrlem17 41088 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
1413eldifad 3951 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝑉)
151, 2, 3, 4, 5, 6, 14dochocsn 40910 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})) = (π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}))
16 lcfrlem22.b . . . . . 6 𝐡 = ((π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∩ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}))
17 lcfrlem24.t . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
18 lcfrlem24.s . . . . . 6 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
19 lcfrlem24.q . . . . . 6 𝑄 = (0gβ€˜π‘†)
20 lcfrlem24.r . . . . . 6 𝑅 = (Baseβ€˜π‘†)
21 lcfrlem24.j . . . . . 6 𝐽 = (π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ↦ (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (β„©π‘˜ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘€ ∈ ( βŠ₯ β€˜{π‘₯})𝑣 = (𝑀 + (π‘˜ Β· π‘₯)))))
22 lcfrlem24.ib . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐡)
23 lcfrlem24.l . . . . . 6 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
24 lcfrlem25.d . . . . . 6 𝐷 = (LDualβ€˜π‘ˆ)
25 lcfrlem28.jn . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π½β€˜π‘Œ)β€˜πΌ) β‰  𝑄)
26 lcfrlem29.i . . . . . 6 𝐹 = (invrβ€˜π‘†)
27 lcfrlem30.m . . . . . 6 βˆ’ = (-gβ€˜π·)
28 lcfrlem30.c . . . . . 6 𝐢 = ((π½β€˜π‘‹) βˆ’ (((πΉβ€˜((π½β€˜π‘Œ)β€˜πΌ))(.rβ€˜π‘†)((π½β€˜π‘‹)β€˜πΌ))( ·𝑠 β€˜π·)(π½β€˜π‘Œ)))
291, 3, 2, 4, 7, 8, 5, 9, 6, 10, 11, 12, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28lcfrlem35 41106 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}) = (πΏβ€˜πΆ))
3029fveq2d 6896 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})) = ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΆ)))
3115, 30eqtr3d 2767 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}) = ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΆ)))
32 eqimss 4031 . . 3 ((π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}) = ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΆ)) β†’ (π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}) βŠ† ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΆ)))
3331, 32syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}) βŠ† ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΆ)))
34 eqid 2725 . . 3 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
351, 2, 6dvhlmod 40639 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
36 eqid 2725 . . . . 5 (LFnlβ€˜π‘ˆ) = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
371, 3, 2, 4, 7, 8, 5, 9, 6, 10, 11, 12, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28lcfrlem30 41101 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (LFnlβ€˜π‘ˆ))
384, 36, 23, 35, 37lkrssv 38624 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜πΆ) βŠ† 𝑉)
391, 2, 4, 34, 3dochlss 40883 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (πΏβ€˜πΆ) βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΆ)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
406, 38, 39syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΆ)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
414, 34, 5, 35, 40, 14lspsnel5 20883 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑋 + π‘Œ) ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΆ)) ↔ (π‘β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}) βŠ† ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΆ))))
4233, 41mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆƒwrex 3060   βˆ– cdif 3936   ∩ cin 3938   βŠ† wss 3939  {csn 4624  {cpr 4626   ↦ cmpt 5226  β€˜cfv 6543  β„©crio 7371  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  .rcmulr 17233  Scalarcsca 17235   ·𝑠 cvsca 17236  0gc0g 17420  -gcsg 18896  invrcinvr 20330  LSubSpclss 20819  LSpanclspn 20859  LSAtomsclsa 38502  LFnlclfn 38585  LKerclk 38613  LDualcld 38651  HLchlt 38878  LHypclh 39513  DVecHcdvh 40607  ocHcoch 40876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-riotaBAD 38481
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-undef 8277  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-0g 17422  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-p1 18417  df-lat 18423  df-clat 18490  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-cntz 19272  df-oppg 19301  df-lsm 19595  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-dvr 20344  df-drng 20630  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lsp 20860  df-lvec 20992  df-lsatoms 38504  df-lshyp 38505  df-lcv 38547  df-lfl 38586  df-lkr 38614  df-ldual 38652  df-oposet 38704  df-ol 38706  df-oml 38707  df-covers 38794  df-ats 38795  df-atl 38826  df-cvlat 38850  df-hlat 38879  df-llines 39027  df-lplanes 39028  df-lvols 39029  df-lines 39030  df-psubsp 39032  df-pmap 39033  df-padd 39325  df-lhyp 39517  df-laut 39518  df-ldil 39633  df-ltrn 39634  df-trl 39688  df-tgrp 40272  df-tendo 40284  df-edring 40286  df-dveca 40532  df-disoa 40558  df-dvech 40608  df-dib 40668  df-dic 40702  df-dih 40758  df-doch 40877  df-djh 40924
This theorem is referenced by:  lcfrlem37  41108
  Copyright terms: Public domain W3C validator