MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnne1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsnne1 19889
Description: Two ways to express that vectors have different spans. (Contributed by NM, 28-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnne1.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnne1.o 0 = (0g𝑊)
lspsnne1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsnne1.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspsnne1.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lspsnne1.y (𝜑𝑌𝑉)
lspsnne1.e (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
Assertion
Ref Expression
lspsnne1 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))

Proof of Theorem lspsnne1
StepHypRef Expression
1 lspsnne1.e . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
2 lspsnne1.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 eqid 2824 . . . . 5 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
4 lspsnne1.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5 lspsnne1.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
6 lveclmod 19878 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
8 lspsnne1.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
92, 3, 4lspsncl 19749 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
107, 8, 9syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
11 lspsnne1.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1211eldifad 3931 . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
132, 3, 4, 7, 10, 12lspsnel5 19767 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})))
1413notbid 321 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ ¬ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})))
15 lspsnne1.o . . . . 5 0 = (0g𝑊)
162, 15, 4, 5, 11, 8lspsncmp 19888 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
1716necon3bbid 3051 . . 3 (𝜑 → (¬ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌})))
1814, 17bitrd 282 . 2 (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌})))
191, 18mpbird 260 1 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  cdif 3916  wss 3919  {csn 4550  cfv 6343  Basecbs 16483  0gc0g 16713  LModclmod 19634  LSubSpclss 19703  LSpanclspn 19743  LVecclvec 19874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-tpos 7888  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-oppr 19376  df-dvdsr 19394  df-unit 19395  df-invr 19425  df-drng 19504  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lsp 19744  df-lvec 19875
This theorem is referenced by:  lspsnnecom  19891  lsatfixedN  36253  baerlem5amN  38960  baerlem5bmN  38961  baerlem5abmN  38962  mapdh6dN  38983  hdmaplem4  39018  hdmap1l6d  39057  hdmaprnlem3N  39094
  Copyright terms: Public domain W3C validator