Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh8ab Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh8ab 39414
Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 13-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh8a.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh8a.s = (-g𝑈)
mapdh8a.o 0 = (0g𝑈)
mapdh8a.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh8a.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh8a.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdh8a.q 𝑄 = (0g𝐶)
mapdh8a.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh8a.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.i 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
mapdh8a.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdh8ab.f (𝜑𝐹𝐷)
mapdh8ab.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh8ab.eg (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
mapdh8ab.ee (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
mapdh8ab.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8ab.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8ab.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8ab.t (𝜑𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8ab.yz (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
mapdh8ab.xn (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
mapdh8ab.yn (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇}))
Assertion
Ref Expression
mapdh8ab (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, 𝐸, 𝑇⟩))
Distinct variable groups:   𝑥,,   0 ,,𝑥   𝐶,   𝐷,,𝑥   ,𝐹,𝑥   ,𝐼   ,𝐺,𝑥   ,𝐽,𝑥   ,𝑀,𝑥   ,𝑁,𝑥   𝜑,   𝑅,,𝑥   𝑥,𝑄   𝑇,,𝑥   𝑈,   ,𝑋,𝑥   ,𝑌,𝑥   ,𝐸,𝑥   ,𝑍,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑄()   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥,)   𝐼(𝑥)   𝐾(𝑥,)   𝑉(𝑥,)   𝑊(𝑥,)

Proof of Theorem mapdh8ab
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.h . 2 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdh8a.u . 2 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdh8a.v . 2 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 mapdh8a.s . 2 = (-g𝑈)
5 mapdh8a.o . 2 0 = (0g𝑈)
6 mapdh8a.n . 2 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7 mapdh8a.c . 2 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8 mapdh8a.d . 2 𝐷 = (Base‘𝐶)
9 mapdh8a.r . 2 𝑅 = (-g𝐶)
10 mapdh8a.q . 2 𝑄 = (0g𝐶)
11 mapdh8a.j . 2 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12 mapdh8a.m . 2 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13 mapdh8a.i . 2 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
14 mapdh8a.k . 2 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
15 mapdh8ab.f . 2 (𝜑𝐹𝐷)
16 mapdh8ab.mn . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
17 mapdh8ab.eg . 2 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
18 mapdh8ab.ee . 2 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
19 mapdh8ab.x . 2 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
20 mapdh8ab.y . 2 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21 mapdh8ab.z . 2 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
221, 2, 14dvhlvec 38746 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
2319eldifad 3855 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
2420eldifad 3855 . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
2521eldifad 3855 . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑉)
26 mapdh8ab.xn . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
273, 6, 22, 23, 24, 25, 26lspindpi 20023 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
2827simprd 499 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
2928necomd 2989 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
30 mapdh8ab.yn . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇}))
3129, 30neeqtrd 3003 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
32 mapdh8ab.t . 2 (𝜑𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3330sseq1d 3908 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ↔ (𝑁‘{𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})))
34 eqid 2738 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
351, 2, 14dvhlmod 38747 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
363, 34, 6, 35, 24, 25lspprcl 19869 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
373, 34, 6, 35, 36, 23lspsnel5 19886 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})))
3832eldifad 3855 . . . . . 6 (𝜑𝑇𝑉)
393, 34, 6, 35, 36, 38lspsnel5 19886 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ↔ (𝑁‘{𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})))
4033, 37, 393bitr4d 314 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ↔ 𝑇 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})))
4126, 40mtbid 327 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑇 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
4222adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → 𝑈 ∈ LVec)
4320adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
4438adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → 𝑇𝑉)
4525adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → 𝑍𝑉)
46 mapdh8ab.yz . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
4746adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
48 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))
49 prcom 4623 . . . . . 6 {𝑍, 𝑇} = {𝑇, 𝑍}
5049fveq2i 6677 . . . . 5 (𝑁‘{𝑍, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑇, 𝑍})
5148, 50eleqtrdi 2843 . . . 4 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑇, 𝑍}))
523, 5, 6, 42, 43, 44, 45, 47, 51lspexch 20020 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → 𝑇 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
5341, 52mtand 816 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))
541, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 31, 32, 53, 26mapdh8aa 39413 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, 𝐸, 𝑇⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934  Vcvv 3398  cdif 3840  wss 3843  ifcif 4414  {csn 4516  {cpr 4518  cotp 4524  cmpt 5110  cfv 6339  crio 7126  (class class class)co 7170  1st c1st 7712  2nd c2nd 7713  Basecbs 16586  0gc0g 16816  -gcsg 18221  LSubSpclss 19822  LSpanclspn 19862  LVecclvec 19993  HLchlt 36987  LHypclh 37621  DVecHcdvh 38715  LCDualclcd 39223  mapdcmpd 39261
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-riotaBAD 36590
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-ot 4525  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-tpos 7921  df-undef 7968  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-fz 12982  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-0g 16818  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-proset 17654  df-poset 17672  df-plt 17684  df-lub 17700  df-glb 17701  df-join 17702  df-meet 17703  df-p0 17765  df-p1 17766  df-lat 17772  df-clat 17834  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-submnd 18073  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-sbg 18224  df-subg 18394  df-cntz 18565  df-oppg 18592  df-lsm 18879  df-cmn 19026  df-abl 19027  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-oppr 19495  df-dvdsr 19513  df-unit 19514  df-invr 19544  df-dvr 19555  df-drng 19623  df-lmod 19755  df-lss 19823  df-lsp 19863  df-lvec 19994  df-lsatoms 36613  df-lshyp 36614  df-lcv 36656  df-lfl 36695  df-lkr 36723  df-ldual 36761  df-oposet 36813  df-ol 36815  df-oml 36816  df-covers 36903  df-ats 36904  df-atl 36935  df-cvlat 36959  df-hlat 36988  df-llines 37135  df-lplanes 37136  df-lvols 37137  df-lines 37138  df-psubsp 37140  df-pmap 37141  df-padd 37433  df-lhyp 37625  df-laut 37626  df-ldil 37741  df-ltrn 37742  df-trl 37796  df-tgrp 38380  df-tendo 38392  df-edring 38394  df-dveca 38640  df-disoa 38666  df-dvech 38716  df-dib 38776  df-dic 38810  df-dih 38866  df-doch 38985  df-djh 39032  df-lcdual 39224  df-mapd 39262
This theorem is referenced by:  mapdh8ac  39415
  Copyright terms: Public domain W3C validator