Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh8ab Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh8ab 41142
Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 13-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh8a.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh8a.s = (-g𝑈)
mapdh8a.o 0 = (0g𝑈)
mapdh8a.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh8a.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh8a.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdh8a.q 𝑄 = (0g𝐶)
mapdh8a.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh8a.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.i 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
mapdh8a.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdh8ab.f (𝜑𝐹𝐷)
mapdh8ab.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh8ab.eg (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
mapdh8ab.ee (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
mapdh8ab.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8ab.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8ab.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8ab.t (𝜑𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8ab.yz (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
mapdh8ab.xn (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
mapdh8ab.yn (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇}))
Assertion
Ref Expression
mapdh8ab (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, 𝐸, 𝑇⟩))
Distinct variable groups:   𝑥,,   0 ,,𝑥   𝐶,   𝐷,,𝑥   ,𝐹,𝑥   ,𝐼   ,𝐺,𝑥   ,𝐽,𝑥   ,𝑀,𝑥   ,𝑁,𝑥   𝜑,   𝑅,,𝑥   𝑥,𝑄   𝑇,,𝑥   𝑈,   ,𝑋,𝑥   ,𝑌,𝑥   ,𝐸,𝑥   ,𝑍,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑄()   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥,)   𝐼(𝑥)   𝐾(𝑥,)   𝑉(𝑥,)   𝑊(𝑥,)

Proof of Theorem mapdh8ab
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.h . 2 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdh8a.u . 2 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdh8a.v . 2 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 mapdh8a.s . 2 = (-g𝑈)
5 mapdh8a.o . 2 0 = (0g𝑈)
6 mapdh8a.n . 2 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7 mapdh8a.c . 2 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8 mapdh8a.d . 2 𝐷 = (Base‘𝐶)
9 mapdh8a.r . 2 𝑅 = (-g𝐶)
10 mapdh8a.q . 2 𝑄 = (0g𝐶)
11 mapdh8a.j . 2 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12 mapdh8a.m . 2 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13 mapdh8a.i . 2 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
14 mapdh8a.k . 2 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
15 mapdh8ab.f . 2 (𝜑𝐹𝐷)
16 mapdh8ab.mn . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
17 mapdh8ab.eg . 2 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
18 mapdh8ab.ee . 2 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
19 mapdh8ab.x . 2 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
20 mapdh8ab.y . 2 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21 mapdh8ab.z . 2 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
221, 2, 14dvhlvec 40474 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
2319eldifad 3953 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
2420eldifad 3953 . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
2521eldifad 3953 . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑉)
26 mapdh8ab.xn . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
273, 6, 22, 23, 24, 25, 26lspindpi 20975 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
2827simprd 495 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
2928necomd 2988 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
30 mapdh8ab.yn . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇}))
3129, 30neeqtrd 3002 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
32 mapdh8ab.t . 2 (𝜑𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3330sseq1d 4006 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ↔ (𝑁‘{𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})))
34 eqid 2724 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
351, 2, 14dvhlmod 40475 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
363, 34, 6, 35, 24, 25lspprcl 20817 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
373, 34, 6, 35, 36, 23lspsnel5 20834 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})))
3832eldifad 3953 . . . . . 6 (𝜑𝑇𝑉)
393, 34, 6, 35, 36, 38lspsnel5 20834 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ↔ (𝑁‘{𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})))
4033, 37, 393bitr4d 311 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ↔ 𝑇 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})))
4126, 40mtbid 324 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑇 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
4222adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → 𝑈 ∈ LVec)
4320adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
4438adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → 𝑇𝑉)
4525adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → 𝑍𝑉)
46 mapdh8ab.yz . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
4746adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
48 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))
49 prcom 4729 . . . . . 6 {𝑍, 𝑇} = {𝑇, 𝑍}
5049fveq2i 6885 . . . . 5 (𝑁‘{𝑍, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑇, 𝑍})
5148, 50eleqtrdi 2835 . . . 4 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑇, 𝑍}))
523, 5, 6, 42, 43, 44, 45, 47, 51lspexch 20972 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → 𝑇 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
5341, 52mtand 813 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))
541, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 31, 32, 53, 26mapdh8aa 41141 1 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, 𝐸, 𝑇⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932  Vcvv 3466  cdif 3938  wss 3941  ifcif 4521  {csn 4621  {cpr 4623  cotp 4629  cmpt 5222  cfv 6534  crio 7357  (class class class)co 7402  1st c1st 7967  2nd c2nd 7968  Basecbs 17145  0gc0g 17386  -gcsg 18857  LSubSpclss 20770  LSpanclspn 20810  LVecclvec 20942  HLchlt 38714  LHypclh 39349  DVecHcdvh 40443  LCDualclcd 40951  mapdcmpd 40989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-riotaBAD 38317
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-ot 4630  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-tpos 8207  df-undef 8254  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-fz 13483  df-struct 17081  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-0g 17388  df-mre 17531  df-mrc 17532  df-acs 17534  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19042  df-cntz 19225  df-oppg 19254  df-lsm 19548  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20032  df-rng 20050  df-ur 20079  df-ring 20132  df-oppr 20228  df-dvdsr 20251  df-unit 20252  df-invr 20282  df-dvr 20295  df-drng 20581  df-lmod 20700  df-lss 20771  df-lsp 20811  df-lvec 20943  df-lsatoms 38340  df-lshyp 38341  df-lcv 38383  df-lfl 38422  df-lkr 38450  df-ldual 38488  df-oposet 38540  df-ol 38542  df-oml 38543  df-covers 38630  df-ats 38631  df-atl 38662  df-cvlat 38686  df-hlat 38715  df-llines 38863  df-lplanes 38864  df-lvols 38865  df-lines 38866  df-psubsp 38868  df-pmap 38869  df-padd 39161  df-lhyp 39353  df-laut 39354  df-ldil 39469  df-ltrn 39470  df-trl 39524  df-tgrp 40108  df-tendo 40120  df-edring 40122  df-dveca 40368  df-disoa 40394  df-dvech 40444  df-dib 40504  df-dic 40538  df-dih 40594  df-doch 40713  df-djh 40760  df-lcdual 40952  df-mapd 40990
This theorem is referenced by:  mapdh8ac  41143
  Copyright terms: Public domain W3C validator