Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh8ab Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh8ab 40269
Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 13-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
mapdh8a.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh8a.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
mapdh8a.s βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
mapdh8a.o 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
mapdh8a.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
mapdh8a.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh8a.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
mapdh8a.r 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
mapdh8a.q 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
mapdh8a.j 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
mapdh8a.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh8a.i 𝐼 = (π‘₯ ∈ V ↦ if((2nd β€˜π‘₯) = 0 , 𝑄, (β„©β„Ž ∈ 𝐷 ((π‘€β€˜(π‘β€˜{(2nd β€˜π‘₯)})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{((1st β€˜(1st β€˜π‘₯)) βˆ’ (2nd β€˜π‘₯))})) = (π½β€˜{((2nd β€˜(1st β€˜π‘₯))π‘…β„Ž)})))))
mapdh8a.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
mapdh8ab.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh8ab.mn (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
mapdh8ab.eg (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) = 𝐺)
mapdh8ab.ee (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©) = 𝐸)
mapdh8ab.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdh8ab.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdh8ab.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdh8ab.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdh8ab.yz (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{𝑍}))
mapdh8ab.xn (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
mapdh8ab.yn (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{𝑇}))
Assertion
Ref Expression
mapdh8ab (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘Œ, 𝐺, π‘‡βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘, 𝐸, π‘‡βŸ©))
Distinct variable groups:   π‘₯,β„Ž, βˆ’   0 ,β„Ž,π‘₯   𝐢,β„Ž   𝐷,β„Ž,π‘₯   β„Ž,𝐹,π‘₯   β„Ž,𝐼   β„Ž,𝐺,π‘₯   β„Ž,𝐽,π‘₯   β„Ž,𝑀,π‘₯   β„Ž,𝑁,π‘₯   πœ‘,β„Ž   𝑅,β„Ž,π‘₯   π‘₯,𝑄   𝑇,β„Ž,π‘₯   π‘ˆ,β„Ž   β„Ž,𝑋,π‘₯   β„Ž,π‘Œ,π‘₯   β„Ž,𝐸,π‘₯   β„Ž,𝑍,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐢(π‘₯)   𝑄(β„Ž)   π‘ˆ(π‘₯)   𝐻(π‘₯,β„Ž)   𝐼(π‘₯)   𝐾(π‘₯,β„Ž)   𝑉(π‘₯,β„Ž)   π‘Š(π‘₯,β„Ž)

Proof of Theorem mapdh8ab
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.h . 2 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 mapdh8a.u . 2 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 mapdh8a.v . 2 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
4 mapdh8a.s . 2 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
5 mapdh8a.o . 2 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
6 mapdh8a.n . 2 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
7 mapdh8a.c . 2 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 mapdh8a.d . 2 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
9 mapdh8a.r . 2 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
10 mapdh8a.q . 2 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
11 mapdh8a.j . 2 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
12 mapdh8a.m . 2 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
13 mapdh8a.i . 2 𝐼 = (π‘₯ ∈ V ↦ if((2nd β€˜π‘₯) = 0 , 𝑄, (β„©β„Ž ∈ 𝐷 ((π‘€β€˜(π‘β€˜{(2nd β€˜π‘₯)})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{((1st β€˜(1st β€˜π‘₯)) βˆ’ (2nd β€˜π‘₯))})) = (π½β€˜{((2nd β€˜(1st β€˜π‘₯))π‘…β„Ž)})))))
14 mapdh8a.k . 2 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
15 mapdh8ab.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
16 mapdh8ab.mn . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
17 mapdh8ab.eg . 2 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) = 𝐺)
18 mapdh8ab.ee . 2 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©) = 𝐸)
19 mapdh8ab.x . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
20 mapdh8ab.y . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
21 mapdh8ab.z . 2 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
221, 2, 14dvhlvec 39601 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
2319eldifad 3927 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
2420eldifad 3927 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
2521eldifad 3927 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
26 mapdh8ab.xn . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
273, 6, 22, 23, 24, 25, 26lspindpi 20609 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}) ∧ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑍})))
2827simprd 497 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑍}))
2928necomd 3000 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑍}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}))
30 mapdh8ab.yn . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{𝑇}))
3129, 30neeqtrd 3014 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑍}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))
32 mapdh8ab.t . 2 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
3330sseq1d 3980 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) βŠ† (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) ↔ (π‘β€˜{𝑇}) βŠ† (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍})))
34 eqid 2737 . . . . . 6 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
351, 2, 14dvhlmod 39602 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
363, 34, 6, 35, 24, 25lspprcl 20455 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
373, 34, 6, 35, 36, 23lspsnel5 20472 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) ↔ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍})))
3832eldifad 3927 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑉)
393, 34, 6, 35, 36, 38lspsnel5 20472 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) ↔ (π‘β€˜{𝑇}) βŠ† (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍})))
4033, 37, 393bitr4d 311 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) ↔ 𝑇 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍})))
4126, 40mtbid 324 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑇 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
4222adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
4320adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
4438adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ 𝑇 ∈ 𝑉)
4525adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
46 mapdh8ab.yz . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{𝑍}))
4746adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{𝑍}))
48 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇}))
49 prcom 4698 . . . . . 6 {𝑍, 𝑇} = {𝑇, 𝑍}
5049fveq2i 6850 . . . . 5 (π‘β€˜{𝑍, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑇, 𝑍})
5148, 50eleqtrdi 2848 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑇, 𝑍}))
523, 5, 6, 42, 43, 44, 45, 47, 51lspexch 20606 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ 𝑇 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
5341, 52mtand 815 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇}))
541, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 31, 32, 53, 26mapdh8aa 40268 1 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘Œ, 𝐺, π‘‡βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘, 𝐸, π‘‡βŸ©))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   βŠ† wss 3915  ifcif 4491  {csn 4591  {cpr 4593  βŸ¨cotp 4599   ↦ cmpt 5193  β€˜cfv 6501  β„©crio 7317  (class class class)co 7362  1st c1st 7924  2nd c2nd 7925  Basecbs 17090  0gc0g 17328  -gcsg 18757  LSubSpclss 20408  LSpanclspn 20448  LVecclvec 20579  HLchlt 37841  LHypclh 38476  DVecHcdvh 39570  LCDualclcd 40078  mapdcmpd 40116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-riotaBAD 37444
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-tpos 8162  df-undef 8209  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-0g 17330  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-proset 18191  df-poset 18209  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-p1 18322  df-lat 18328  df-clat 18395  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-subg 18932  df-cntz 19104  df-oppg 19131  df-lsm 19425  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-dvr 20119  df-drng 20201  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-lvec 20580  df-lsatoms 37467  df-lshyp 37468  df-lcv 37510  df-lfl 37549  df-lkr 37577  df-ldual 37615  df-oposet 37667  df-ol 37669  df-oml 37670  df-covers 37757  df-ats 37758  df-atl 37789  df-cvlat 37813  df-hlat 37842  df-llines 37990  df-lplanes 37991  df-lvols 37992  df-lines 37993  df-psubsp 37995  df-pmap 37996  df-padd 38288  df-lhyp 38480  df-laut 38481  df-ldil 38596  df-ltrn 38597  df-trl 38651  df-tgrp 39235  df-tendo 39247  df-edring 39249  df-dveca 39495  df-disoa 39521  df-dvech 39571  df-dib 39631  df-dic 39665  df-dih 39721  df-doch 39840  df-djh 39887  df-lcdual 40079  df-mapd 40117
This theorem is referenced by:  mapdh8ac  40270
  Copyright terms: Public domain W3C validator