Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh8ab Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh8ab 41282
Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 13-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
mapdh8a.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh8a.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
mapdh8a.s βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
mapdh8a.o 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
mapdh8a.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
mapdh8a.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh8a.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
mapdh8a.r 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
mapdh8a.q 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
mapdh8a.j 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
mapdh8a.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh8a.i 𝐼 = (π‘₯ ∈ V ↦ if((2nd β€˜π‘₯) = 0 , 𝑄, (β„©β„Ž ∈ 𝐷 ((π‘€β€˜(π‘β€˜{(2nd β€˜π‘₯)})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{((1st β€˜(1st β€˜π‘₯)) βˆ’ (2nd β€˜π‘₯))})) = (π½β€˜{((2nd β€˜(1st β€˜π‘₯))π‘…β„Ž)})))))
mapdh8a.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
mapdh8ab.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh8ab.mn (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
mapdh8ab.eg (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) = 𝐺)
mapdh8ab.ee (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©) = 𝐸)
mapdh8ab.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdh8ab.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdh8ab.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdh8ab.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdh8ab.yz (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{𝑍}))
mapdh8ab.xn (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
mapdh8ab.yn (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{𝑇}))
Assertion
Ref Expression
mapdh8ab (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘Œ, 𝐺, π‘‡βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘, 𝐸, π‘‡βŸ©))
Distinct variable groups:   π‘₯,β„Ž, βˆ’   0 ,β„Ž,π‘₯   𝐢,β„Ž   𝐷,β„Ž,π‘₯   β„Ž,𝐹,π‘₯   β„Ž,𝐼   β„Ž,𝐺,π‘₯   β„Ž,𝐽,π‘₯   β„Ž,𝑀,π‘₯   β„Ž,𝑁,π‘₯   πœ‘,β„Ž   𝑅,β„Ž,π‘₯   π‘₯,𝑄   𝑇,β„Ž,π‘₯   π‘ˆ,β„Ž   β„Ž,𝑋,π‘₯   β„Ž,π‘Œ,π‘₯   β„Ž,𝐸,π‘₯   β„Ž,𝑍,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐢(π‘₯)   𝑄(β„Ž)   π‘ˆ(π‘₯)   𝐻(π‘₯,β„Ž)   𝐼(π‘₯)   𝐾(π‘₯,β„Ž)   𝑉(π‘₯,β„Ž)   π‘Š(π‘₯,β„Ž)

Proof of Theorem mapdh8ab
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.h . 2 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 mapdh8a.u . 2 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 mapdh8a.v . 2 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
4 mapdh8a.s . 2 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
5 mapdh8a.o . 2 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
6 mapdh8a.n . 2 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
7 mapdh8a.c . 2 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 mapdh8a.d . 2 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
9 mapdh8a.r . 2 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
10 mapdh8a.q . 2 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
11 mapdh8a.j . 2 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
12 mapdh8a.m . 2 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
13 mapdh8a.i . 2 𝐼 = (π‘₯ ∈ V ↦ if((2nd β€˜π‘₯) = 0 , 𝑄, (β„©β„Ž ∈ 𝐷 ((π‘€β€˜(π‘β€˜{(2nd β€˜π‘₯)})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{((1st β€˜(1st β€˜π‘₯)) βˆ’ (2nd β€˜π‘₯))})) = (π½β€˜{((2nd β€˜(1st β€˜π‘₯))π‘…β„Ž)})))))
14 mapdh8a.k . 2 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
15 mapdh8ab.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
16 mapdh8ab.mn . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
17 mapdh8ab.eg . 2 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘ŒβŸ©) = 𝐺)
18 mapdh8ab.ee . 2 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘βŸ©) = 𝐸)
19 mapdh8ab.x . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
20 mapdh8ab.y . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
21 mapdh8ab.z . 2 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
221, 2, 14dvhlvec 40614 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
2319eldifad 3961 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
2420eldifad 3961 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
2521eldifad 3961 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
26 mapdh8ab.xn . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
273, 6, 22, 23, 24, 25, 26lspindpi 21027 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}) ∧ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑍})))
2827simprd 494 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑍}))
2928necomd 2993 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑍}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}))
30 mapdh8ab.yn . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{𝑇}))
3129, 30neeqtrd 3007 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑍}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))
32 mapdh8ab.t . 2 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
3330sseq1d 4013 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) βŠ† (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) ↔ (π‘β€˜{𝑇}) βŠ† (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍})))
34 eqid 2728 . . . . . 6 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
351, 2, 14dvhlmod 40615 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
363, 34, 6, 35, 24, 25lspprcl 20869 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
373, 34, 6, 35, 36, 23lspsnel5 20886 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) ↔ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍})))
3832eldifad 3961 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑉)
393, 34, 6, 35, 36, 38lspsnel5 20886 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) ↔ (π‘β€˜{𝑇}) βŠ† (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍})))
4033, 37, 393bitr4d 310 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}) ↔ 𝑇 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍})))
4126, 40mtbid 323 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑇 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
4222adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
4320adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
4438adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ 𝑇 ∈ 𝑉)
4525adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ 𝑍 ∈ 𝑉)
46 mapdh8ab.yz . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{𝑍}))
4746adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) β‰  (π‘β€˜{𝑍}))
48 simpr 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇}))
49 prcom 4741 . . . . . 6 {𝑍, 𝑇} = {𝑇, 𝑍}
5049fveq2i 6905 . . . . 5 (π‘β€˜{𝑍, 𝑇}) = (π‘β€˜{𝑇, 𝑍})
5148, 50eleqtrdi 2839 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑇, 𝑍}))
523, 5, 6, 42, 43, 44, 45, 47, 51lspexch 21024 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇})) β†’ 𝑇 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ, 𝑍}))
5341, 52mtand 814 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{𝑍, 𝑇}))
541, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 31, 32, 53, 26mapdh8aa 41281 1 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘Œ, 𝐺, π‘‡βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘, 𝐸, π‘‡βŸ©))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  ifcif 4532  {csn 4632  {cpr 4634  βŸ¨cotp 4640   ↦ cmpt 5235  β€˜cfv 6553  β„©crio 7381  (class class class)co 7426  1st c1st 7997  2nd c2nd 7998  Basecbs 17187  0gc0g 17428  -gcsg 18899  LSubSpclss 20822  LSpanclspn 20862  LVecclvec 20994  HLchlt 38854  LHypclh 39489  DVecHcdvh 40583  LCDualclcd 41091  mapdcmpd 41129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-riotaBAD 38457
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-undef 8285  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-0g 17430  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-p1 18425  df-lat 18431  df-clat 18498  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-subg 19085  df-cntz 19275  df-oppg 19304  df-lsm 19598  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-dvr 20347  df-drng 20633  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-lvec 20995  df-lsatoms 38480  df-lshyp 38481  df-lcv 38523  df-lfl 38562  df-lkr 38590  df-ldual 38628  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855  df-llines 39003  df-lplanes 39004  df-lvols 39005  df-lines 39006  df-psubsp 39008  df-pmap 39009  df-padd 39301  df-lhyp 39493  df-laut 39494  df-ldil 39609  df-ltrn 39610  df-trl 39664  df-tgrp 40248  df-tendo 40260  df-edring 40262  df-dveca 40508  df-disoa 40534  df-dvech 40584  df-dib 40644  df-dic 40678  df-dih 40734  df-doch 40853  df-djh 40900  df-lcdual 41092  df-mapd 41130
This theorem is referenced by:  mapdh8ac  41283
  Copyright terms: Public domain W3C validator