Theorem mapdh8ab 37852

Description: Part of Part (8) in [Baer] p. 48. (Contributed by NM, 13-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh8a.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh8a.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh8a.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdh8a.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdh8a.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh8a.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh8a.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh8a.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh8a.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh8a.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh8a.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh8a.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdh8ab.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh8ab.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdh8ab.eg	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
mapdh8ab.ee	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
mapdh8ab.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8ab.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8ab.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8ab.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh8ab.yz	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
mapdh8ab.xn	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
mapdh8ab.yn	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇}))

Assertion

Ref	Expression
mapdh8ab	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, 𝐸, 𝑇⟩))

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ, −   0 ,ℎ,𝑥   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ,𝑥   ℎ,𝐹,𝑥   ℎ,𝐼   ℎ,𝐺,𝑥   ℎ,𝐽,𝑥   ℎ,𝑀,𝑥   ℎ,𝑁,𝑥   𝜑,ℎ   𝑅,ℎ,𝑥   𝑥,𝑄   𝑇,ℎ,𝑥   𝑈,ℎ   ℎ,𝑋,𝑥   ℎ,𝑌,𝑥   ℎ,𝐸,𝑥   ℎ,𝑍,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑄(ℎ)   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥,ℎ)   𝐼(𝑥)   𝐾(𝑥,ℎ)   𝑉(𝑥,ℎ)   𝑊(𝑥,ℎ)

Proof of Theorem mapdh8ab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh8a.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdh8a.u	. 2 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdh8a.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		mapdh8a.s	. 2 ⊢ − = (-g‘𝑈)
5		mapdh8a.o	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
6		mapdh8a.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7		mapdh8a.c	. 2 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
8		mapdh8a.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
9		mapdh8a.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
10		mapdh8a.q	. 2 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
11		mapdh8a.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
12		mapdh8a.m	. 2 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
13		mapdh8a.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
14		mapdh8a.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
15		mapdh8ab.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
16		mapdh8ab.mn	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
17		mapdh8ab.eg	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
18		mapdh8ab.ee	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
19		mapdh8ab.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
20		mapdh8ab.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21		mapdh8ab.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
22	1, 2, 14	dvhlvec 37184	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
23	19	eldifad 3810	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
24	20	eldifad 3810	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
25	21	eldifad 3810	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
26		mapdh8ab.xn	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
27	3, 6, 22, 23, 24, 25, 26	lspindpi 19492	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍})))
28	27	simprd 491	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
29	28	necomd 3054	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑋}))
30		mapdh8ab.yn	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑇}))
31	29, 30	neeqtrd 3068	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
32		mapdh8ab.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
33	30	sseq1d 3857	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ↔ (𝑁‘{𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})))
34		eqid 2825	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
35	1, 2, 14	dvhlmod 37185	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
36	3, 34, 6, 35, 24, 25	lspprcl 19337	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
37	3, 34, 6, 35, 36, 23	lspsnel5 19354	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})))
38	32	eldifad 3810	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
39	3, 34, 6, 35, 36, 38	lspsnel5 19354	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ↔ (𝑁‘{𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})))
40	33, 37, 39	3bitr4d 303	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}) ↔ 𝑇 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})))
41	26, 40	mtbid 316	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑇 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
42	22	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → 𝑈 ∈ LVec)
43	20	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
44	38	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → 𝑇 ∈ 𝑉)
45	25	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → 𝑍 ∈ 𝑉)
46		mapdh8ab.yz	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
47	46	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
48		simpr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))
49		prcom 4485	. . . . . 6 ⊢ {𝑍, 𝑇} = {𝑇, 𝑍}
50	49	fveq2i 6436	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}) = (𝑁‘{𝑇, 𝑍})
51	48, 50	syl6eleq 2916	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑇, 𝑍}))
52	3, 5, 6, 42, 43, 44, 45, 47, 51	lspexch 19489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇})) → 𝑇 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
53	41, 52	mtand 852	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑇}))
54	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 31, 32, 53, 26	mapdh8aa 37851	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑌, 𝐺, 𝑇⟩) = (𝐼‘⟨𝑍, 𝐸, 𝑇⟩))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 2999  Vcvv 3414   ∖ cdif 3795   ⊆ wss 3798  ifcif 4306  {csn 4397  {cpr 4399  ⟨cotp 4405   ↦ cmpt 4952  ‘cfv 6123  ℩crio 6865  (class class class)co 6905  1^st c1st 7426  2^nd c2nd 7427  Basecbs 16222  0_gc0g 16453  -_gcsg 17778  LSubSpclss 19288  LSpanclspn 19330  LVecclvec 19461  HLchlt 35425  LHypclh 36059  DVecHcdvh 37153  LCDualclcd 37661  mapdcmpd 37699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-riotaBAD 35028

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-ot 4406  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-tpos 7617  df-undef 7664  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-0g 16455  df-mre 16599  df-mrc 16600  df-acs 16602  df-proset 17281  df-poset 17299  df-plt 17311  df-lub 17327  df-glb 17328  df-join 17329  df-meet 17330  df-p0 17392  df-p1 17393  df-lat 17399  df-clat 17461  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-submnd 17689  df-grp 17779  df-minusg 17780  df-sbg 17781  df-subg 17942  df-cntz 18100  df-oppg 18126  df-lsm 18402  df-cmn 18548  df-abl 18549  df-mgp 18844  df-ur 18856  df-ring 18903  df-oppr 18977  df-dvdsr 18995  df-unit 18996  df-invr 19026  df-dvr 19037  df-drng 19105  df-lmod 19221  df-lss 19289  df-lsp 19331  df-lvec 19462  df-lsatoms 35051  df-lshyp 35052  df-lcv 35094  df-lfl 35133  df-lkr 35161  df-ldual 35199  df-oposet 35251  df-ol 35253  df-oml 35254  df-covers 35341  df-ats 35342  df-atl 35373  df-cvlat 35397  df-hlat 35426  df-llines 35573  df-lplanes 35574  df-lvols 35575  df-lines 35576  df-psubsp 35578  df-pmap 35579  df-padd 35871  df-lhyp 36063  df-laut 36064  df-ldil 36179  df-ltrn 36180  df-trl 36234  df-tgrp 36818  df-tendo 36830  df-edring 36832  df-dveca 37078  df-disoa 37104  df-dvech 37154  df-dib 37214  df-dic 37248  df-dih 37304  df-doch 37423  df-djh 37470  df-lcdual 37662  df-mapd 37700

This theorem is referenced by:  mapdh8ac  37853