Theorem ex-in 30520

Description: Example for df-in 3897. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-in	⊢ ({1, 3} ∩ {1, 8}) = {1}

Proof of Theorem ex-in

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4565	. . 3 ⊢ {1, 8} = ({1} ∪ {8})
2	1	ineq2i 4153	. 2 ⊢ ({1, 3} ∩ {1, 8}) = ({1, 3} ∩ ({1} ∪ {8}))
3		indi 4219	. . 3 ⊢ ({1, 3} ∩ ({1} ∪ {8})) = (({1, 3} ∩ {1}) ∪ ({1, 3} ∩ {8}))
4		snsspr1 4752	. . . . . 6 ⊢ {1} ⊆ {1, 3}
5		sseqin2 4159	. . . . . 6 ⊢ ({1} ⊆ {1, 3} ↔ ({1, 3} ∩ {1}) = {1})
6	4, 5	mpbi 231	. . . . 5 ⊢ ({1, 3} ∩ {1}) = {1}
7		1re 11142	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		1lt8 12372	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 8
9	7, 8	gtneii 11256	. . . . . . 7 ⊢ 8 ≠ 1
10		3re 12259	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
11		3lt8 12370	. . . . . . . 8 ⊢ 3 < 8
12	10, 11	gtneii 11256	. . . . . . 7 ⊢ 8 ≠ 3
13	9, 12	nelpri 4594	. . . . . 6 ⊢ ¬ 8 ∈ {1, 3}
14		disjsn 4650	. . . . . 6 ⊢ (({1, 3} ∩ {8}) = ∅ ↔ ¬ 8 ∈ {1, 3})
15	13, 14	mpbir 232	. . . . 5 ⊢ ({1, 3} ∩ {8}) = ∅
16	6, 15	uneq12i 4103	. . . 4 ⊢ (({1, 3} ∩ {1}) ∪ ({1, 3} ∩ {8})) = ({1} ∪ ∅)
17		un0 4329	. . . 4 ⊢ ({1} ∪ ∅) = {1}
18	16, 17	eqtri 2763	. . 3 ⊢ (({1, 3} ∩ {1}) ∪ ({1, 3} ∩ {8})) = {1}
19	3, 18	eqtri 2763	. 2 ⊢ ({1, 3} ∩ ({1} ∪ {8})) = {1}
20	2, 19	eqtri 2763	1 ⊢ ({1, 3} ∩ {1, 8}) = {1}

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∪ cun 3888   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4268  {csn 4562  {cpr 4564  1c1 11037  3c3 12235  8c8 12240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248

This theorem is referenced by: (None)