Theorem ex-in 31027

Description: Example for df-in 4091. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-in	⊢ ({1, 3} ∩ {1, 8}) = {1}

Proof of Theorem ex-in

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4586	. . 3 ⊢ {1, 8} = ({1} ∪ {8})
2	1	ineq2i 4114	. 2 ⊢ ({1, 3} ∩ {1, 8}) = ({1, 3} ∩ ({1} ∪ {8}))
3		indi 4229	. . 3 ⊢ ({1, 3} ∩ ({1} ∪ {8})) = (({1, 3} ∩ {1}) ∪ ({1, 3} ∩ {8}))
4		snsspr1 4774	. . . . . 6 ⊢ {1} ⊆ {1, 3}
5		sseqin2 4120	. . . . . 6 ⊢ ({1} ⊆ {1, 3} ↔ ({1, 3} ∩ {1}) = {1})
6	4, 5	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ ({1, 3} ∩ {1}) = {1}
7		1re 11309	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		1lt8 12544	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 8
9	7, 8	gtneii 11423	. . . . . . 7 ⊢ 8 ≠ 1
10		3re 12424	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
11		3lt8 12542	. . . . . . . 8 ⊢ 3 < 8
12	10, 11	gtneii 11423	. . . . . . 7 ⊢ 8 ≠ 3
13	9, 12	nelpri 4615	. . . . . 6 ⊢ ¬ 8 ∈ {1, 3}
14		disjsn 4671	. . . . . 6 ⊢ (({1, 3} ∩ {8}) = ∅ ↔ ¬ 8 ∈ {1, 3})
15	13, 14	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ ({1, 3} ∩ {8}) = ∅
16	6, 15	uneq12i 4165	. . . 4 ⊢ (({1, 3} ∩ {1}) ∪ ({1, 3} ∩ {8})) = ({1} ∪ ∅)
17		un0 4343	. . . 4 ⊢ ({1} ∪ ∅) = {1}
18	16, 17	eqtri 2783	. . 3 ⊢ (({1, 3} ∩ {1}) ∪ ({1, 3} ∩ {8})) = {1}
19	3, 18	eqtri 2783	. 2 ⊢ ({1, 3} ∩ ({1} ∪ {8})) = {1}
20	2, 19	eqtri 2783	1 ⊢ ({1, 3} ∩ {1, 8}) = {1}

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089   ∪ cun 4149  ∅c0 4278  {csn 4583  {cpr 4585  1c1 11202  3c3 12399  8c8 12404

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412

This theorem is used by: (None)