Theorem ex-in 30395

Description: Example for df-in 3907. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-in	⊢ ({1, 3} ∩ {1, 8}) = {1}

Proof of Theorem ex-in

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4577	. . 3 ⊢ {1, 8} = ({1} ∪ {8})
2	1	ineq2i 4165	. 2 ⊢ ({1, 3} ∩ {1, 8}) = ({1, 3} ∩ ({1} ∪ {8}))
3		indi 4232	. . 3 ⊢ ({1, 3} ∩ ({1} ∪ {8})) = (({1, 3} ∩ {1}) ∪ ({1, 3} ∩ {8}))
4		snsspr1 4764	. . . . . 6 ⊢ {1} ⊆ {1, 3}
5		sseqin2 4171	. . . . . 6 ⊢ ({1} ⊆ {1, 3} ↔ ({1, 3} ∩ {1}) = {1})
6	4, 5	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ ({1, 3} ∩ {1}) = {1}
7		1re 11104	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		1lt8 12310	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 8
9	7, 8	gtneii 11217	. . . . . . 7 ⊢ 8 ≠ 1
10		3re 12197	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
11		3lt8 12308	. . . . . . . 8 ⊢ 3 < 8
12	10, 11	gtneii 11217	. . . . . . 7 ⊢ 8 ≠ 3
13	9, 12	nelpri 4606	. . . . . 6 ⊢ ¬ 8 ∈ {1, 3}
14		disjsn 4662	. . . . . 6 ⊢ (({1, 3} ∩ {8}) = ∅ ↔ ¬ 8 ∈ {1, 3})
15	13, 14	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ ({1, 3} ∩ {8}) = ∅
16	6, 15	uneq12i 4114	. . . 4 ⊢ (({1, 3} ∩ {1}) ∪ ({1, 3} ∩ {8})) = ({1} ∪ ∅)
17		un0 4342	. . . 4 ⊢ ({1} ∪ ∅) = {1}
18	16, 17	eqtri 2753	. . 3 ⊢ (({1, 3} ∩ {1}) ∪ ({1, 3} ∩ {8})) = {1}
19	3, 18	eqtri 2753	. 2 ⊢ ({1, 3} ∩ ({1} ∪ {8})) = {1}
20	2, 19	eqtri 2753	1 ⊢ ({1, 3} ∩ {1, 8}) = {1}

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ∪ cun 3898   ∩ cin 3899   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  {csn 4574  {cpr 4576  1c1 10999  3c3 12173  8c8 12178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-7 12185  df-8 12186

This theorem is referenced by: (None)