Theorem ex-in 30360

Description: Example for df-in 3923. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-in	⊢ ({1, 3} ∩ {1, 8}) = {1}

Proof of Theorem ex-in

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4594	. . 3 ⊢ {1, 8} = ({1} ∪ {8})
2	1	ineq2i 4182	. 2 ⊢ ({1, 3} ∩ {1, 8}) = ({1, 3} ∩ ({1} ∪ {8}))
3		indi 4249	. . 3 ⊢ ({1, 3} ∩ ({1} ∪ {8})) = (({1, 3} ∩ {1}) ∪ ({1, 3} ∩ {8}))
4		snsspr1 4780	. . . . . 6 ⊢ {1} ⊆ {1, 3}
5		sseqin2 4188	. . . . . 6 ⊢ ({1} ⊆ {1, 3} ↔ ({1, 3} ∩ {1}) = {1})
6	4, 5	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ ({1, 3} ∩ {1}) = {1}
7		1re 11180	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		1lt8 12385	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 8
9	7, 8	gtneii 11292	. . . . . . 7 ⊢ 8 ≠ 1
10		3re 12267	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
11		3lt8 12383	. . . . . . . 8 ⊢ 3 < 8
12	10, 11	gtneii 11292	. . . . . . 7 ⊢ 8 ≠ 3
13	9, 12	nelpri 4621	. . . . . 6 ⊢ ¬ 8 ∈ {1, 3}
14		disjsn 4677	. . . . . 6 ⊢ (({1, 3} ∩ {8}) = ∅ ↔ ¬ 8 ∈ {1, 3})
15	13, 14	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ ({1, 3} ∩ {8}) = ∅
16	6, 15	uneq12i 4131	. . . 4 ⊢ (({1, 3} ∩ {1}) ∪ ({1, 3} ∩ {8})) = ({1} ∪ ∅)
17		un0 4359	. . . 4 ⊢ ({1} ∪ ∅) = {1}
18	16, 17	eqtri 2753	. . 3 ⊢ (({1, 3} ∩ {1}) ∪ ({1, 3} ∩ {8})) = {1}
19	3, 18	eqtri 2753	. 2 ⊢ ({1, 3} ∩ ({1} ∪ {8})) = {1}
20	2, 19	eqtri 2753	1 ⊢ ({1, 3} ∩ {1, 8}) = {1}

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3914   ∩ cin 3915   ⊆ wss 3916  ∅c0 4298  {csn 4591  {cpr 4593  1c1 11075  3c3 12243  8c8 12248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5535  df-po 5548  df-so 5549  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256

This theorem is referenced by: (None)