Theorem expnnsval 28597

Description: Value of surreal exponentiation at a natural number. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
expnnsval	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕs) → (𝐴↑s𝑁) = (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘𝑁))

Proof of Theorem expnnsval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzs 28557	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → 𝑁 ∈ ℤs)
2		expsval 28596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℤs) → (𝐴↑s𝑁) = if(𝑁 = 0s , 1s , if( 0s <s 𝑁, (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘𝑁), ( 1s /su (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘( -us ‘𝑁))))))
3	1, 2	sylan2 604	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕs) → (𝐴↑s𝑁) = if(𝑁 = 0s , 1s , if( 0s <s 𝑁, (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘𝑁), ( 1s /su (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘( -us ‘𝑁))))))
4		nnne0s 28508	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → 𝑁 ≠ 0s )
5	4	neneqd 2963	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → ¬ 𝑁 = 0s )
6	5	iffalsed 4499	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → if(𝑁 = 0s , 1s , if( 0s <s 𝑁, (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘𝑁), ( 1s /su (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘( -us ‘𝑁))))) = if( 0s <s 𝑁, (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘𝑁), ( 1s /su (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘( -us ‘𝑁)))))
7		nnsgt0 28510	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → 0s <s 𝑁)
8	7	iftrued 4496	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → if( 0s <s 𝑁, (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘𝑁), ( 1s /su (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘( -us ‘𝑁)))) = (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘𝑁))
9	6, 8	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → if(𝑁 = 0s , 1s , if( 0s <s 𝑁, (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘𝑁), ( 1s /su (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘( -us ‘𝑁))))) = (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘𝑁))
10	9	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕs) → if(𝑁 = 0s , 1s , if( 0s <s 𝑁, (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘𝑁), ( 1s /su (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘( -us ‘𝑁))))) = (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘𝑁))
11	3, 10	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕs) → (𝐴↑s𝑁) = (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ifcif 4488  {csn 4590   class class class wbr 5110   × cxp 5661  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   No csur 27782   <s clts 27783   0_s c0s 27976   1_s c1s 27977   -u_s cnegs 28190   ·_s cmuls 28277   /_su cdivs 28358  seq_scseqs 28454  ℕ_scnns 28484  ℤ_sczs 28549  ↑_scexps 28583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-nadd 8653  df-no 27785  df-lts 27786  df-bday 27787  df-les 27887  df-slts 27929  df-cuts 27931  df-0s 27978  df-1s 27979  df-made 27998  df-old 27999  df-left 28001  df-right 28002  df-norec 28109  df-norec2 28120  df-adds 28131  df-negs 28192  df-subs 28193  df-seqs 28455  df-n0s 28485  df-nns 28486  df-zs 28550  df-exps 28584

This theorem is referenced by:  exps1  28599  expsp1  28600