Theorem expnnsval 28805

Description: Value of surreal exponentiation at a natural number. (Contributed by Scott Fenton, 25-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
expnnsval	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕs) → (𝐴↑s𝑁) = (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘𝑁))

Proof of Theorem expnnsval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnzs 28765	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → 𝑁 ∈ ℤs)
2		expsval 28804	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℤs) → (𝐴↑s𝑁) = if(𝑁 = 0s , 1s , if( 0s <s 𝑁, (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘𝑁), ( 1s /su (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘( -us ‘𝑁))))))
3	1, 2	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕs) → (𝐴↑s𝑁) = if(𝑁 = 0s , 1s , if( 0s <s 𝑁, (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘𝑁), ( 1s /su (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘( -us ‘𝑁))))))
4		nnne0s 28716	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → 𝑁 ≠ 0s )
5	4	neneqd 2961	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → ¬ 𝑁 = 0s )
6	5	iffalsed 4493	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → if(𝑁 = 0s , 1s , if( 0s <s 𝑁, (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘𝑁), ( 1s /su (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘( -us ‘𝑁))))) = if( 0s <s 𝑁, (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘𝑁), ( 1s /su (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘( -us ‘𝑁)))))
7		nnsgt0 28718	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → 0s <s 𝑁)
8	7	iftrued 4490	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → if( 0s <s 𝑁, (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘𝑁), ( 1s /su (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘( -us ‘𝑁)))) = (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘𝑁))
9	6, 8	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕs → if(𝑁 = 0s , 1s , if( 0s <s 𝑁, (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘𝑁), ( 1s /su (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘( -us ‘𝑁))))) = (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘𝑁))
10	9	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕs) → if(𝑁 = 0s , 1s , if( 0s <s 𝑁, (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘𝑁), ( 1s /su (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘( -us ‘𝑁))))) = (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘𝑁))
11	3, 10	eqtrd 2796	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕs) → (𝐴↑s𝑁) = (seqs 1s ( ·s , (ℕs × {𝐴}))‘𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ifcif 4482  {csn 4584   class class class wbr 5103   × cxp 5649  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418   No csur 27990   <s clts 27991   0_s c0s 28184   1_s c1s 28185   -u_s cnegs 28398   ·_s cmuls 28485   /_su cdivs 28566  seq_scseqs 28662  ℕ_scnns 28692  ℤ_sczs 28757  ↑_scexps 28791

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-nadd 8668  df-no 27993  df-lts 27994  df-bday 27995  df-les 28095  df-slts 28137  df-cuts 28139  df-0s 28186  df-1s 28187  df-made 28206  df-old 28207  df-left 28209  df-right 28210  df-norec 28317  df-norec2 28328  df-adds 28339  df-negs 28400  df-subs 28401  df-seqs 28663  df-n0s 28693  df-nns 28694  df-zs 28758  df-exps 28792

This theorem is used by:  exps1  28807  expsp1  28808